Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Trả lời nhanh

Toán 10 Bài 11 (Kết nối tri thức) học về góc giữa hai vectơ và tích vô hướng. Định nghĩa: u→·v→ = |u→|·|v→|·cos(u→, v→). Theo toạ độ: u→ = (x; y), v→ = (x’; y’) thì u→·v→ = xx’ + yy’. Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng 0. Bên dưới có lời giải tóm tắt cho mọi hoạt động và bài 4.21–4.26 ở trang 66–70.

Kiến thức trọng tâm của bài 11

Mấy công thức dưới đây dùng cho toàn bộ bài tập trong bài. Thuộc bảng này trước rồi hãy làm bài, các em sẽ thấy hầu hết các câu chỉ là áp dụng trực tiếp.

Nội dung	Công thức / Kết luận
Góc giữa hai vectơ	Đặt chung gốc: AB→ = u→, AC→ = v→ thì (u→, v→) = góc BAC, nằm trong đoạn [0°; 180°]
Định nghĩa tích vô hướng	u→·v→ = \|u→\|·\|v→\|·cos(u→, v→)
Bình phương vô hướng	u→² = \|u→\|²
Biểu thức toạ độ	u→ = (x; y), v→ = (x’; y’) ⇒ u→·v→ = xx’ + yy’
Độ dài	\|u→\| = √(x² + y²)
Cosin góc	cos(u→, v→) = (xx’ + yy’) / (√(x²+y²)·√(x’²+y’²))
Vuông góc	u→ ⊥ v→ ⇔ u→·v→ = 0 ⇔ xx’ + yy’ = 0
Tính chất	Giao hoán, phân phối với phép cộng, (ku→)·v→ = k(u→·v→)

Mục lục lời giải theo trang

Giải Toán 10 trang 66 Tập 1
- HĐ1 trang 66: Góc giữa các vectơ trong Hình 4.39
- Câu hỏi trang 66: Khi nào góc giữa hai vectơ bằng 0°, 180°
- Luyện tập 1 trang 66: Tam giác đều, tính (AB→, BC→)
Giải Toán 10 trang 67 Tập 1
- Câu hỏi 1 trang 67: Dấu của tích vô hướng
- Câu hỏi 2 trang 67: Khi nào (u→·v→)2 = u→2·v→2
- Luyện tập 2 trang 67: Tính AB→·AC→ theo a, b, c
Giải Toán 10 trang 68 Tập 1
- HĐ2 trang 68: Tích vô hướng của hai vectơ cùng phương
- HĐ3 trang 68: Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
- Luyện tập 3 trang 68: Tích vô hướng và góc giữa u→, v→
- HĐ4 trang 68: Tính chất phân phối
Giải Toán 10 trang 70 Tập 1
- Luyện tập 4 trang 70: Trực tâm tam giác ABC
- Vận dụng trang 70: Công của lực
- Bài 4.21: Tính góc giữa hai vectơ
- Bài 4.22: Điều kiện của u→, v→
- Bài 4.23: Điểm M trên trục hoành
- Bài 4.24: Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp
- Bài 4.25: Chứng minh hệ thức trong tam giác
- Bài 4.26: Hệ thức với trọng tâm G

1. Góc giữa hai vectơ (trang 66)

HĐ1 trang 66

Góc giữa BC→ và BD→ có chung gốc B nên bằng góc CBD = 30°. Góc giữa DA→ và DB→ là góc ADB. Dùng tính chất góc ngoài của tam giác BCD tại đỉnh C: góc ACB = góc CBD + góc CDB, suy ra góc CDB = 80° − 30° = 50°. Vậy hai góc cần tìm lần lượt là 30° và 50°.

Câu hỏi trang 66

Góc giữa hai vectơ bằng 0° khi chúng cùng hướng, bằng 180° khi chúng ngược hướng.

Luyện tập 1 trang 66

Hai vectơ AB→ và BC→ không chung gốc, nên không được lấy luôn góc ABC = 60°. Đây là chỗ học sinh hay sai nhất bài. Ta dựng điểm D sao cho AD→ = BC→, khi đó (AB→, BC→) = (AB→, AD→) = góc BAD.

ABCD là hình bình hành (cụ thể là hình thoi), nên góc BAD = 180° − góc ABC = 180° − 60° = 120°.

2. Tích vô hướng của hai vectơ (trang 67)

Câu hỏi 1 trang 67

Khi hai vectơ khác vectơ không, |u→|·|v→| > 0 nên u→·v→ cùng dấu với cos(u→, v→). Do đó:

u→·v→ > 0 khi 0° ≤ (u→, v→) < 90° (góc nhọn hoặc bằng 0°);
u→·v→ < 0 khi 90° < (u→, v→) ≤ 180° (góc tù hoặc bằng 180°).

Câu hỏi 2 trang 67

(u→·v→)² = |u→|²|v→|²cos²(u→, v→). Để biểu thức này bằng u→²·v→² = |u→|²|v→|² thì cần cos²(u→, v→) = 1, tức góc bằng 0° hoặc 180°. Nói cách khác, u→ và v→ cùng phương (trường hợp có vectơ không thì đẳng thức cũng đúng).

Luyện tập 2 trang 67

AB→·AC→ = AB·AC·cos A = c·b·(b² + c² − a²)/(2bc) = (b² + c² − a²)/2.

Mẹo: muốn ra nhanh kết quả này thì viết BC→ = AC→ − AB→ rồi bình phương hai vế: a² = b² + c² − 2AB→·AC→.

3. Biểu thức toạ độ và tính chất (trang 68)

HĐ2 trang 68

a) u→ = 0→ thì x = y = 0, nên cả hai vế đều bằng 0.
b) u→ ≠ 0→, k ≥ 0: hai vectơ cùng hướng, cos = 1, u→·v→ = |u→|·|v→| = √(x²+y²)·|k|√(x²+y²) = k(x²+y²).
c) u→ ≠ 0→, k < 0: hai vectơ ngược hướng, cos = −1, u→·v→ = −|k|(x²+y²) = k(x²+y²) vì |k| = −k.

HĐ3 trang 68

Lấy A(x; y), B(x’; y’) để OA→ = u→, OB→ = v→. Từ AB→ = OB→ − OA→, bình phương hai vế: AB² = OA² + OB² − 2OA→·OB→. Thay AB² = (x’ − x)² + (y’ − y)², OA² = x² + y², OB² = x’² + y’², rút gọn được u→·v→ = xx’ + yy’.

Luyện tập 3 trang 68

Với u→ = (0; −5), v→ = (√3; 1): u→·v→ = 0·√3 + (−5)·1 = −5; |u→| = 5; |v→| = √(3 + 1) = 2.

cos(u→, v→) = −5/(5·2) = −1/2 ⇒ (u→, v→) = 120°.

HĐ4 trang 68

Tính hai vế theo toạ độ: u→·(v→ + w→) = x₁(x₂ + x₃) + y₁(y₂ + y₃) = (x₁x₂ + y₁y₂) + (x₁x₃ + y₁y₃) = u→·v→ + u→·w→. Như vậy tích vô hướng có tính chất phân phối đối với phép cộng.

4. Luyện tập 4, Vận dụng và bài tập trang 70

Luyện tập 4: A(−1; 2), B(8; −1), C(8; 8)

a) Tìm trực tâm H. H là trực tâm nên AH→·BC→ = 0 và BH→·CA→ = 0. Gọi H(x; y), ta có BC→ = (0; 9), CA→ = (−9; −6).

AH→·BC→ = 9(y − 2) = 0 ⇒ y = 2.
BH→·CA→ = −9(x − 8) − 6(y + 1) = 0 ⇒ −9x + 72 − 18 = 0 ⇒ x = 6.

Vậy H(6; 2). Kiểm tra lại: CH→ = (−2; −6), AB→ = (9; −3), tích vô hướng −18 + 18 = 0, đúng.

b) Giải tam giác ABC. AB = √90 = 3√10, AC = √117 = 3√13, BC = 9.

cos B = BA→·BC→/(BA·BC) = 27/(3√10·9) = 1/√10 ⇒ B ≈ 71,57°.
cos C = CA→·CB→/(CA·CB) = 54/(3√13·9) = 2/√13 ⇒ C ≈ 56,31°.
A = 180° − B − C ≈ 52,12°.

Vận dụng trang 70: Công của lực

Công của lực F→ khi điểm đặt dời từ A đến B là A = F→·AB→. Phân tích F→ = F→₁ + F→₂, với một thành phần vuông góc với AB và một thành phần cùng phương AB. Theo tính chất phân phối, F→·AB→ = F→₁·AB→ + F→₂·AB→. Thành phần vuông góc cho tích vô hướng bằng 0, nên chỉ thành phần cùng phương với AB sinh công. Đây chính là ý nghĩa vật lí của tích vô hướng.

Bài 4.21: Tính góc giữa a→ và b→

Câu	a→, b→	a→·b→	cos	Góc
a	(−3; 1), (2; 6)	−6 + 6 = 0	0	90°
b	(3; 1), (2; 4)	6 + 4 = 10	10/(√10·√20) = √2/2	45°
c	(−√2; 1), (2; −√2)	−2√2 − √2 = −3√2	−3√2/(√3·√6) = −1	180°

Bài 4.22: Điều kiện của u→, v→

u→·v→ = |u→|·|v→| ⇔ cos = 1 (hoặc có vectơ không) ⇔ u→, v→ cùng hướng.
u→·v→ = −|u→|·|v→| ⇔ cos = −1 (hoặc có vectơ không) ⇔ u→, v→ ngược hướng.

Bài 4.23: A(1; 2), B(−4; 3), M(t; 0)

a) AM→ = (t − 1; −2), BM→ = (t + 4; −3), suy ra AM→·BM→ = (t − 1)(t + 4) + 6 = t² + 3t + 2.

b) Góc AMB = 90° ⇔ AM→·BM→ = 0 ⇔ t² + 3t + 2 = 0 ⇔ t = −1 hoặc t = −2.

Bài 4.24: A(−4; 1), B(2; 4), C(2; −2)

a) AB = AC = 3√5, BC = 6, nên tam giác cân tại A. Chu vi bằng 6 + 6√5. BC nằm trên đường x = 2, khoảng cách từ A đến BC là 6, nên diện tích S = ½·6·6 = 18.
b) Trọng tâm G(0; 1). Trực tâm: đường cao từ A là y = 1; điều kiện BH→·AC→ = 0 với AC→ = (6; −3) cho H(1/2; 1). Tâm ngoại tiếp I(x; 1) thoả IA = IB: (x + 4)² = (x − 2)² + 9 ⇒ x = −1/4, tức I(−1/4; 1).
c) GH→ = (1/2; 0), GI→ = (−1/4; 0) ⇒ GH→ = −2GI→, nên G, H, I thẳng hàng. Đây là đường thẳng Euler.

Bài 4.25: Công thức diện tích bằng tích vô hướng

Cần chứng minh S = ½√(AB²·AC² − (AB→·AC→)²). Ta có AB→·AC→ = bc·cos A, nên biểu thức dưới căn bằng b²c²(1 − cos²A) = b²c²sin²A. Vì sin A > 0, vế phải bằng ½bc·sin A = S.

Bài 4.26: MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC²

Chèn điểm G vào từng vectơ: MA→ = MG→ + GA→, rồi bình phương: MA² = MG² + GA² + 2MG→·GA→. Làm tương tự với B, C rồi cộng lại. Tổng các số hạng chéo là 2MG→·(GA→ + GB→ + GC→) = 0, vì G là trọng tâm. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Lỗi sai thường gặp

Không đưa về chung gốc khi tìm góc (Luyện tập 1). Ví dụ (AB→, BC→) trong tam giác đều bằng 120°, không phải 60°.
Viết tích vô hướng ra một vectơ. Kết quả của u→·v→ luôn là một số.
Quên dấu âm khi lấy hiệu toạ độ, nhất là AM→ = M − A (lấy toạ độ điểm cuối trừ điểm đầu).
Nhầm u→² với hai lần u→. u→² = |u→|² = x² + y².

Bài tập tự luyện (có đáp án)

Cho u→ = (2; −1), v→ = (1; 3). Tính u→·v→ và góc giữa hai vectơ.
Đáp án: u→·v→ = 2 − 3 = −1; cos = −1/(√5·√10) = −1/(5√2) ≈ −0,1414, nên góc ≈ 98,13°.
Tìm m để a→ = (m; 2) vuông góc với b→ = (3; −6).
Đáp án: 3m − 12 = 0 ⇒ m = 4.
Cho hình vuông ABCD cạnh 2. Tính AB→·AC→ và AB→·CD→.
Đáp án: AB→·AC→ = 2·2√2·cos 45° = 4. Vì CD→ ngược hướng AB→ nên AB→·CD→ = −4.

Tài liệu học thêm cho bài 11

Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ
Sách bài tập Toán 10 Bài 11
20 câu trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ
Bài trước: Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng toạ độ
Bài sau: Bài tập cuối chương 4, Bài 12: Số gần đúng và sai số
Giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức (cả năm)

Cùng chuyên đề: Bài nằm trong mục lục Giải SGK Toán 10 Bài 14 Kết nối tri thức: Các số đặc trưng đo độ phân tán. Bài trước: Tổng hợp kiến thức Toán 10 Kết nối tri thức: lý thuyết trọng tâm 9 chương.

Câu hỏi thường gặp

Toán 10 Bài 11 Kết nối tri thức gồm những bài tập nào?

Bài 11 gồm HĐ1–HĐ4, Câu hỏi trang 66 và 67, Luyện tập 1–4, Vận dụng trang 70 và các bài 4.21 đến 4.26, nằm trong trang 66–70 SGK Toán 10 tập 1.

Tích vô hướng của hai vectơ là số hay vectơ?

Là một số thực, tính bằng |u→|·|v→|·cos(u→, v→). Nếu dùng toạ độ thì u→·v→ = xx' + yy'.

Khi nào tích vô hướng bằng 0?

Tích vô hướng bằng 0 khi hai vectơ vuông góc, hoặc khi có ít nhất một vectơ là vectơ không.

Vì sao trong tam giác đều góc (AB→, BC→) bằng 120° chứ không phải 60°?

Vì hai vectơ này không chung gốc. Dựng AD→ = BC→ để đưa về chung gốc A thì góc cần tìm là góc BAD = 180° − 60° = 120°.