Toán 10 Bài 14 KNTT: Các số đặc trưng đo độ phân tán

Trả lời nhanh

Toán 10 Bài 14 (Kết nối tri thức) học bốn số đo độ phân tán: khoảng biến thiên R = giá trị lớn nhất − giá trị nhỏ nhất; khoảng tứ phân vị ΔQ = Q₃ − Q₁; phương sai s² là trung bình cộng bình phương các độ lệch so với số trung bình; độ lệch chuẩn s = √(s²). Các số này càng lớn thì số liệu càng phân tán. Giá trị x là bất thường khi x < Q₁ − 1,5ΔQ hoặc x > Q₃ + 1,5ΔQ.

Mục lục lời giải Toán 10 Bài 14 Kết nối tri thức

Mỗi mục dưới đây có trang lời giải riêng. Em bấm vào câu cần xem để đọc kỹ hơn:

Giải Toán 10 trang 84 Tập 1
Câu hỏi mở đầu trang 84: điểm trung bình của An và Bình
HĐ1 trang 84: điểm số Leicester City và Everton
Giải Toán 10 trang 85 Tập 1
Luyện tập 1 trang 85: chiều cao các bạn trong tổ
HĐ2 trang 85: nhiệt độ Hà Nội và Điện Biên
Giải Toán 10 trang 86 Tập 1
Luyện tập 2 trang 86: số bài hát mỗi album
Giải Toán 10 trang 87 Tập 1
Luyện tập 3 trang 87: thời gian rơi tự do
Luyện tập 4 trang 87: kiểm tra giá trị bất thường
Giải Toán 10 trang 88 Tập 1
Bài 5.11 trang 88: khẳng định đúng hay sai
Bài 5.12 trang 88: hai biểu đồ chấm điểm
Bài 5.13 trang 88: biến đổi mẫu số liệu
Bài 5.14 trang 88: thuế thuốc lá của 11 thành phố
Bài 5.15 trang 88: cân nặng của 10 trẻ sơ sinh
Bài 5.16 trang 88: tỉ lệ thất nghiệp

Tóm tắt kiến thức cần nhớ

Số đặc trưng	Công thức	Ưu điểm	Hạn chế
Khoảng biến thiên R	R = x_max − x_min	Tính rất nhanh	Chỉ dùng 2 giá trị, dễ bị giá trị bất thường làm sai lệch
Khoảng tứ phân vị ΔQ	ΔQ = Q₃ − Q₁	Ít bị ảnh hưởng bởi giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ	Chỉ phản ánh 50% số liệu ở giữa
Phương sai s²	s² = [(x₁ − x̄)² + … + (x_n − x̄)²] : n	Dùng thông tin của mọi giá trị	Đơn vị là bình phương đơn vị của dữ liệu
Độ lệch chuẩn s	s = √(s²)	Cùng đơn vị với dữ liệu	Tính toán dài hơn

Còn một công thức tính phương sai nhanh hơn: s² = (x₁² + x₂² + … + x_n²) : n − x̄². Với mẫu cho dạng bảng tần số thì nhân mỗi bình phương độ lệch với tần số tương ứng.

Cách tìm tứ phân vị: sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm, tìm trung vị Q₂. Q₁ là trung vị của nửa dưới, Q₃ là trung vị của nửa trên. Nếu n lẻ thì hai nửa đều không lấy Q₂.

Câu hỏi mở đầu trang 84

Đề tóm tắt: điểm trung bình 8 môn của An và Bình đều là 8,0 nhưng Bình học đều hơn. Hỏi dùng số đặc trưng nào để đo mức độ “học đều”?

Đầu tiên, sắp xếp điểm theo thứ tự không giảm:

An: 6,5; 6,8; 7,3; 8,0; 8,0; 8,7; 9,2; 9,5.
Bình: 7,6; 7,8; 7,9; 8,0; 8,1; 8,1; 8,2; 8,3.

Số đo	An	Bình
Khoảng biến thiên	9,5 − 6,5 = 3	8,3 − 7,6 = 0,7
Q₁; Q₃	7,05; 8,95	7,85; 8,15
Khoảng tứ phân vị	1,9	0,3
Tổng bình phương độ lệch	8,36	0,36
Phương sai	8,36 : 8 = 1,045	0,36 : 8 = 0,045
Độ lệch chuẩn	≈ 1,02	≈ 0,21

Kết luận: có thể dùng khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai hoặc độ lệch chuẩn. Số đo nào của Bình cũng nhỏ hơn của An, tức là điểm của Bình ít chênh lệch hơn, nên Bình học đều hơn.

1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

HĐ1 trang 84

Leicester City: 41, 81, 44, 47, 52. Điểm cao nhất 81, thấp nhất 41, chênh lệch 81 − 41 = 40.

Everton: 47, 47, 61, 49, 54. Điểm cao nhất 61, thấp nhất 47, chênh lệch 61 − 47 = 14.

Vì 14 < 40 nên điểm của Everton qua các mùa ít dao động hơn. Em đồng ý với nhận định của cổ động viên: Everton thi đấu ổn định hơn. Lưu ý: giá trị nhỏ nhất của Everton là 47 chứ không phải 41, nhiều bạn nhìn nhầm sang dãy của Leicester.

Luyện tập 1 trang 85

Chiều cao (cm): 163, 159, 172, 167, 165, 168, 170, 161. Giá trị lớn nhất là 172, nhỏ nhất là 159, nên R = 172 − 159 = 13 (cm).

HĐ2 trang 85

a) Hà Nội: R = 35 − 23 = 12. Điện Biên: R = 28 − 16 = 12. Hai khoảng biến thiên bằng nhau.

b) Nếu bỏ giá trị 16 thì nhiệt độ ở Điện Biên chỉ từ 24 đến 28, khoảng biến thiên còn 4. Chỉ một giá trị 16 rất thấp (khác xa các ngày còn lại) đã làm R tăng từ 4 lên 12. Vậy khoảng biến thiên bị ảnh hưởng mạnh bởi giá trị quá nhỏ hoặc quá lớn.

c) Mỗi mẫu có n = 7 (lẻ), dữ liệu đã được sắp xếp sẵn:

Hà Nội: Q₂ = 28; nửa dưới 23, 25, 28 nên Q₁ = 25; nửa trên 32, 33, 35 nên Q₃ = 33. Hiệu Q₃ − Q₁ = 8.
Điện Biên: Q₂ = 26; nửa dưới 16, 24, 25 nên Q₁ = 24; nửa trên 26, 27, 28 nên Q₃ = 27. Hiệu Q₃ − Q₁ = 3.

Hiệu này đo độ dàn trải của nửa giữa mẫu số liệu và không bị giá trị 16 chi phối, nên dùng được để đo độ phân tán. Theo số đo này, nhiệt độ ở Điện Biên ổn định hơn ở Hà Nội, dù hai khoảng biến thiên bằng nhau.

Luyện tập 2 trang 86

Số bài hát ở mỗi album: 12, 7, 10, 9, 12, 9, 10, 11, 10, 14. Sắp xếp lại: 7, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 14 (n = 10).

Khoảng biến thiên: R = 14 − 7 = 7.
Q₂ = (10 + 10) : 2 = 10.
Nửa dưới 7, 9, 9, 10, 10 nên Q₁ = 9. Nửa trên 10, 11, 12, 12, 14 nên Q₃ = 12.
Khoảng tứ phân vị: ΔQ = 12 − 9 = 3.

2. Phương sai và độ lệch chuẩn

Luyện tập 3 trang 87

Bảy lần đo thời gian rơi (giây): 0,398; 0,399; 0,408; 0,410; 0,406; 0,405; 0,402.

Tổng là 2,828 nên x̄ = 2,828 : 7 = 0,404 (s). Các độ lệch lần lượt là −0,006; −0,005; 0,004; 0,006; 0,002; 0,001; −0,002.

Tổng bình phương độ lệch: (36 + 25 + 16 + 36 + 4 + 1 + 4) × 10⁻⁶ = 122 × 10⁻⁶.

Phương sai s² = 122 × 10⁻⁶ : 7 ≈ 17,4 × 10⁻⁶. Độ lệch chuẩn s ≈ 0,0042 (s). Các lần đo lệch so với trung bình chỉ khoảng 4 phần nghìn giây, nghĩa là phép đo khá ổn định.

Mẹo: khi số liệu có nhiều chữ số thập phân, nên tính độ lệch theo đơn vị phần nghìn (−6, −5, 4, …) rồi nhân lại với 10⁻⁶ ở bước cuối để tránh nhầm số.

3. Phát hiện giá trị bất thường

Luyện tập 4 trang 87

Q₁ = 56, Q₃ = 84 nên ΔQ = 28 và 1,5ΔQ = 42.

Cận dưới: Q₁ − 1,5ΔQ = 56 − 42 = 14.
Cận trên: Q₃ + 1,5ΔQ = 84 + 42 = 126.

Vì 10 < 14 nên 10 là giá trị bất thường. Vì 14 ≤ 100 ≤ 126 nên 100 không phải giá trị bất thường.

Bài tập trang 88

Bài 5.11

Ý chính để xét từng khẳng định:

Số liệu càng tập trung quanh số trung bình thì độ lệch chuẩn càng nhỏ. Khẳng định nói “càng lớn” là sai.
Khoảng biến thiên chỉ dùng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, bỏ qua các giá trị còn lại. Khẳng định này đúng.
Khoảng tứ phân vị không dùng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, nên khẳng định cho rằng có dùng là sai.
Khoảng tứ phân vị là độ dài đoạn [Q₁; Q₃] chứa nửa giữa của mẫu, không phải khoảng biến thiên của nửa dưới. Khẳng định này sai.
Các số đo độ phân tán đều không âm. Khẳng định này đúng.

Bài 5.12

Đề cho hai biểu đồ chấm điểm và yêu cầu so sánh phương sai mà không cần tính. Cách làm như sau: xác định vị trí trung tâm của mỗi biểu đồ, rồi xem các chấm nằm dồn sát trung tâm hay trải ra hai đầu. Mẫu nào có nhiều chấm ở xa trung tâm hơn thì tổng bình phương độ lệch lớn hơn, do đó phương sai lớn hơn.

Ví dụ tự đặt: mẫu X gồm 2, 5, 5, 5, 8 và mẫu Y gồm 2, 2, 5, 8, 8 đều có trung bình bằng 5. Y có 4 chấm nằm ở hai đầu, X chỉ có 2 nên Y có phương sai lớn hơn (X: 18 : 5 = 3,6; Y: 36 : 5 = 7,2).

Bài 5.13

Mẫu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau.

Nhân mỗi giá trị với 2: mọi khoảng cách giữa các số đều gấp đôi, nên khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn đều gấp 2 lần, còn phương sai gấp 4 lần.
Cộng mỗi giá trị với 2: cả mẫu chỉ dịch chuyển nguyên khối, khoảng cách giữa các số giữ nguyên, nên các số đo độ phân tán không thay đổi.

Tổng quát: với y = ax + b thì s_y = |a|·s_x và R_y = |a|·R_x. Số b không ảnh hưởng đến độ phân tán.

Bài 5.14

Đề cho sẵn giá trị nhỏ nhất, Q₁, Q₂, Q₃ và giá trị lớn nhất của mẫu thuế thuốc lá ở 11 thành phố. Các bước làm:

Khoảng biến thiên R = giá trị lớn nhất − giá trị nhỏ nhất. Khoảng tứ phân vị ΔQ = Q₃ − Q₁.
Tính hai cận Q₁ − 1,5ΔQ và Q₃ + 1,5ΔQ.
Giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất nằm ngoài hai cận thì mẫu có giá trị bất thường.

Ví dụ minh hoạ với số liệu tự đặt: nhỏ nhất 30, Q₁ = 50, Q₃ = 70, lớn nhất 120. Khi đó ΔQ = 20, hai cận là 20 và 100. Vì 120 > 100 nên 120 là giá trị bất thường. Em thay số trong SGK vào và làm tương tự.

Bài 5.15

Với mẫu cân nặng của 10 trẻ sơ sinh, em làm theo các bước:

Sắp xếp 10 giá trị theo thứ tự không giảm.
R = số lớn nhất − số nhỏ nhất.
Q₂ là trung bình cộng của số thứ 5 và số thứ 6. Q₁ là số thứ 3, Q₃ là số thứ 8 (vì mỗi nửa có 5 số).
ΔQ = Q₃ − Q₁. Tiếp theo kiểm tra giá trị bất thường bằng hai cận như ở Luyện tập 4.

Mẹo: khi n = 10, Q₁ và Q₃ luôn là số thứ 3 và số thứ 8 trong dãy đã sắp xếp, không cần tính trung bình cộng.

Bài 5.16

Với mẫu tỉ lệ thất nghiệp, em sắp xếp số liệu, tìm Q₁, Q₃, tính ΔQ, rồi so từng giá trị (chủ yếu là các giá trị ở hai đầu dãy) với hai cận Q₁ − 1,5ΔQ và Q₃ + 1,5ΔQ. Chỉ cần kiểm tra các số nhỏ nhất và lớn nhất: nếu chúng nằm trong hai cận thì không có giá trị bất thường nào.

Lỗi sai thường gặp

Quên sắp xếp số liệu trước khi tìm tứ phân vị.
Khi n lẻ, vẫn đưa Q₂ vào nửa dưới và nửa trên.
Kết luận độ lệch chuẩn mà quên khai căn phương sai, hoặc để nguyên đơn vị bình phương.
Kết luận “R bằng nhau thì độ phân tán như nhau”. HĐ2 cho thấy điều này chưa chắc đúng.
Chia cho n − 1 thay vì chia cho n. Sách Kết nối tri thức dùng phương sai chia cho n.

Bài luyện tập tự kiểm tra

Bài 1. Cho mẫu: 5, 7, 8, 8, 9, 10, 12, 20. Tìm ΔQ và giá trị bất thường (nếu có).

Đáp án: n = 8, Q₁ = (7 + 8) : 2 = 7,5; Q₃ = (10 + 12) : 2 = 11; ΔQ = 3,5. Hai cận là 7,5 − 5,25 = 2,25 và 11 + 5,25 = 16,25. Vì 20 > 16,25 nên 20 là giá trị bất thường.

Bài 2. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu 2, 4, 4, 6, 9.

Đáp án: x̄ = 25 : 5 = 5. Bình phương các độ lệch là 9, 1, 1, 1, 16, có tổng 28. Do đó s² = 28 : 5 = 5,6 và s ≈ 2,37.

Bài 3. Một mẫu có độ lệch chuẩn bằng 1,5. Nếu nhân mỗi giá trị với 3 rồi cộng thêm 4 thì phương sai mới bằng bao nhiêu?

Đáp án: độ lệch chuẩn mới là 3 × 1,5 = 4,5, nên phương sai mới là 4,5² = 20,25. Phép cộng 4 không làm thay đổi kết quả.

Tài liệu học thêm

Lý thuyết Các số đặc trưng đo độ phân tán
20 câu trắc nghiệm Các số đặc trưng đo độ phân tán
Sách bài tập Toán 10 Bài 14
Bài trước: Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
Bài tiếp: Bài tập cuối chương 5
Giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức (cả năm)

Cùng chuyên đề: Bài nằm trong mục lục Giải Toán 10 Bài 11 Kết nối tri thức: Tích vô hướng của hai vectơ. Bài trước: Tổng hợp kiến thức Toán 10 Kết nối tri thức: lý thuyết trọng tâm 9 chương.

Câu hỏi thường gặp

Toán 10 Bài 14 Kết nối tri thức học những số đặc trưng nào?

Bài học có khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn, cùng với cách dùng khoảng tứ phân vị để phát hiện giá trị bất thường.

Khi nào một giá trị được coi là bất thường?

Giá trị x là bất thường nếu x nhỏ hơn Q1 − 1,5ΔQ hoặc lớn hơn Q3 + 1,5ΔQ, với ΔQ = Q3 − Q1.

Vì sao khoảng tứ phân vị tốt hơn khoảng biến thiên khi mẫu có giá trị bất thường?

Khoảng biến thiên chỉ dùng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất nên bị giá trị bất thường làm sai lệch. Khoảng tứ phân vị chỉ phụ thuộc vào 50% số liệu ở giữa nên ổn định hơn.

Cộng thêm một số vào mọi giá trị thì độ lệch chuẩn thay đổi thế nào?

Độ lệch chuẩn không đổi, vì khoảng cách giữa các giá trị và số trung bình vẫn giữ nguyên. Chỉ khi nhân mọi giá trị với a thì độ lệch chuẩn mới gấp |a| lần.