Cấp số nhân: công thức, tính chất và bài tập có lời giải

Trả lời nhanh

Cấp số nhân là dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nhân với một số không đổi q, gọi là công bội: u_n+1 = u_n·q. Ba công thức cần nhớ: số hạng tổng quát u_n = u₁·qⁿ⁻¹; tính chất u_k² = u_k−1·u_k+1; tổng n số hạng đầu S_n = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q) với q ≠ 1.

1. Định nghĩa cấp số nhân và công bội

Dãy số (u_n) gọi là cấp số nhân nếu tồn tại một số q sao cho với mọi n ≥ 1 ta có:

u_n+1 = u_n · q

Số q được gọi là công bội. Khi các số hạng đều khác 0, có thể tính công bội bằng thương q = u_n+1 : u_n. Điểm mấu chốt là thương này không phụ thuộc vào n.

Dãy 3; 6; 12; 24; 48 là cấp số nhân với u₁ = 3, q = 2.
Dãy 81; −27; 9; −3; 1 là cấp số nhân với u₁ = 81, q = −1/3 (các số hạng đổi dấu xen kẽ khi q < 0).
Dãy 7; 7; 7; 7 là cấp số nhân với q = 1 (dãy hằng).

Hình dưới đây cho thấy vì sao người ta hay nói “tăng theo cấp số nhân”: với q = 2, mỗi bước số hạng lại gấp đôi, nên chỉ sau vài bước giá trị đã rất lớn.

2. Các công thức cấp số nhân cần nhớ

2.1. Số hạng tổng quát

Từ u₁, muốn đến u_n ta phải nhân với q đúng (n − 1) lần, nên:

u_n = u₁ · qⁿ⁻¹ (n ≥ 2)

Ví dụ: cấp số nhân có u₁ = 4, q = 3 thì u₅ = 4·3⁴ = 4·81 = 324.

Mở rộng hữu ích: với hai chỉ số bất kì m < n thì u_n = u_m·q^n−m. Chẳng hạn biết u₃ và u₆ thì q³ = u₆ : u₃.

2.2. Tính chất ba số hạng liên tiếp

Với k ≥ 2, ba số hạng liên tiếp u_k−1, u_k, u_k+1 thỏa mãn:

u_k² = u_k−1 · u_k+1

Lí do: u_k−1·u_k+1 = (u_k : q)·(u_k·q) = u_k². Nói cách khác, giá trị tuyệt đối của số hạng giữa bằng trung bình nhân của hai số hạng hai bên – đây cũng là nguồn gốc của tên gọi “cấp số nhân”.

2.3. Tổng n số hạng đầu

Đặt S_n = u₁ + u₂ + … + u_n.

Nếu q ≠ 1: S_n = u₁(1 − qⁿ) / (1 − q), hoặc viết tương đương S_n = u₁(qⁿ − 1) / (q − 1).
Nếu q = 1: mọi số hạng bằng u₁, nên S_n = n·u₁.

Vì sao có công thức này? Nhân S_n với q, ta được q·S_n = u₂ + u₃ + … + u_n+1. Trừ hai đẳng thức, các số hạng ở giữa triệt tiêu, còn S_n − q·S_n = u₁ − u_n+1 = u₁(1 − qⁿ). Chia hai vế cho (1 − q) là xong. Mẹo “nhân q rồi trừ” này còn dùng được cho nhiều tổng khó hơn.

2.4. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân có |q| < 1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Khi n tăng mãi thì qⁿ dần về 0, nên tổng mọi số hạng là:

S = u₁ / (1 − q) (|q| < 1)

Phần này học cùng chương giới hạn; em có thể xem thêm giới hạn của hàm số để hiểu rõ khái niệm “dần về 0”.

3. So sánh cấp số cộng và cấp số nhân

Yếu tố	Cấp số cộng	Cấp số nhân
Quy luật	u_n+1 = u_n + d	u_n+1 = u_n·q
Số hạng tổng quát	u_n = u₁ + (n − 1)d	u_n = u₁·qⁿ⁻¹
Ba số hạng liên tiếp	2u_k = u_k−1 + u_k+1	u_k² = u_k−1·u_k+1
Tổng n số hạng đầu	S_n = n(u₁ + u_n)/2	S_n = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q)

Mẹo nhớ: “cộng ↔ nhân, nhân ↔ lũy thừa, trung bình cộng ↔ trung bình nhân”. Ôn lại phần kia tại bài cấp số cộng.

4. Các dạng bài tập cấp số nhân có lời giải

Dạng 1. Nhận biết một dãy có phải cấp số nhân không

Phương pháp: Lập thương u_n+1 : u_n (khi các số hạng khác 0). Nếu thương là hằng số q thì dãy là cấp số nhân công bội q; nếu thương còn chứa n thì không phải. Với dãy cho bằng vài số hạng, chỉ cần một cặp có thương khác là đủ kết luận “không phải”.

Ví dụ 1. Dãy nào là cấp số nhân? Nếu có, chỉ ra u₁ và q.

a) u_n = 5·3ⁿ; b) u_n = n² + 1; c) u_n = (−1)ⁿ·2ⁿ⁺¹.

Lời giải.

a) u_n+1 : u_n = 5·3ⁿ⁺¹ : (5·3ⁿ) = 3, không đổi. Vậy đây là cấp số nhân với u₁ = 15, q = 3.
b) u₁ = 2, u₂ = 5, u₃ = 10. Ta có 5 : 2 = 2,5 còn 10 : 5 = 2, khác nhau, nên dãy không phải cấp số nhân.
c) u_n+1 : u_n = (−1)·2 = −2, không đổi. Đây là cấp số nhân với u₁ = (−1)·2² = −4, q = −2.

Nhận xét: dãy có dạng u_n = a·bⁿ (a, b khác 0) luôn là cấp số nhân với công bội b.

Dạng 2. Tìm số hạng đầu, công bội và số hạng bất kì

Phương pháp: Chuyển mọi dữ kiện về hai ẩn u₁ và q bằng công thức u_n = u₁qⁿ⁻¹, đặt nhân tử chung rồi chia hai phương trình cho nhau để khử u₁.

Ví dụ 2. Cấp số nhân (u_n) thỏa mãn u₃ − u₁ = 16 và u₄ − u₂ = 48.

a) Tìm u₁ và q. b) Tính u₆. c) Số 1458 là số hạng thứ mấy? d) Tính S₆.

Lời giải.

Hệ trở thành u₁(q² − 1) = 16 và u₁q(q² − 1) = 48. Chia phương trình sau cho phương trình trước được q = 3, suy ra u₁ = 16 : (9 − 1) = 2.
u₆ = 2·3⁵ = 2·243 = 486.
Giả sử u_n = 1458 thì 2·3ⁿ⁻¹ = 1458, nên 3ⁿ⁻¹ = 729 = 3⁶, do đó n = 7. Vậy 1458 là số hạng thứ 7.
S₆ = 2(3⁶ − 1)/(3 − 1) = 729 − 1 = 728.

Khi số mũ khó nhẩm, em dùng logarit để tìm n; xem lại công thức logarit và công thức lũy thừa.

Dạng 3. Tìm điều kiện để các số lập thành cấp số nhân

Phương pháp: Ba số a, b, c (theo thứ tự) lập thành cấp số nhân thì b² = a·c. Với bài “ba số có tổng và tích cho trước”, nên gọi ba số là b/q; b; bq để tích gọn thành b³.

Ví dụ 3. Tìm x để x; x + 2; x + 8 lập thành cấp số nhân.

Lời giải. Điều kiện: (x + 2)² = x(x + 8), tức x² + 4x + 4 = x² + 8x, suy ra x = 1. Thử lại: 1; 3; 9 là cấp số nhân với q = 3.

Ví dụ 4. Tìm ba số lập thành cấp số nhân, biết tổng của chúng là 21 và tích là 216.

Lời giải. Gọi ba số là 6/q… cụ thể, gọi chúng là b/q; b; bq. Tích bằng b³ = 216 nên b = 6. Tổng: 6/q + 6 + 6q = 21, nhân hai vế với q và rút gọn được 2q² − 5q + 2 = 0, suy ra q = 2 hoặc q = 1/2. Cả hai trường hợp đều cho ba số 3; 6; 12 (hoặc theo thứ tự ngược 12; 6; 3).

Dạng 4. Tính tổng và tìm số số hạng

Ví dụ 5. Tính A = 1 + 2 + 2² + … + 2⁹.

Lời giải. Đây là tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân u₁ = 1, q = 2 (lưu ý: từ 2⁰ đến 2⁹ có 10 số hạng). A = (2¹⁰ − 1)/(2 − 1) = 1023.

Ví dụ 6. Cấp số nhân có u₁ = 3, q = 2. Cần lấy bao nhiêu số hạng đầu để tổng bằng 765?

Lời giải. 3(2ⁿ − 1) = 765 nên 2ⁿ − 1 = 255, 2ⁿ = 256 = 2⁸, vậy n = 8.

Ví dụ 7. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,(27) thành phân số.

Lời giải. 0,(27) = 27/100 + 27/100² + … là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 27/100, q = 1/100. Do đó S = (27/100) : (99/100) = 27/99 = 3/11.

Dạng 5. Bài toán thực tế

Cấp số nhân xuất hiện ở mọi quá trình “mỗi bước nhân lên một tỉ lệ cố định”: lãi kép, sinh trưởng vi khuẩn, chu kì bán rã, giá trị tài sản khấu hao.

Ví dụ 8 (lãi kép). Gửi 100 triệu đồng, lãi suất 6%/năm, tiền lãi nhập vào gốc mỗi năm. Sau 5 năm có bao nhiêu tiền?

Lời giải. Mỗi năm số tiền nhân với 1,06. Sau 5 năm: 100·1,06⁵ ≈ 133,82 (triệu đồng).

Ví dụ 9 (vi khuẩn). Một quần thể có 500 vi khuẩn, cứ 20 phút số lượng tăng gấp đôi. Sau 3 giờ có bao nhiêu vi khuẩn?

Lời giải. 3 giờ = 180 phút = 9 lần nhân đôi. Số vi khuẩn: 500·2⁹ = 500·512 = 256 000 con.

Ví dụ 10 (quả bóng nảy). Thả quả bóng từ độ cao 10 m; mỗi lần chạm đất, bóng nảy lên bằng 3/4 độ cao lần trước. Tính tổng quãng đường bóng đi được cho đến khi dừng hẳn.

Lời giải. Lần rơi đầu: 10 m. Sau đó mỗi lần nảy, bóng đi lên rồi rơi xuống cùng một độ cao 7,5; 5,625; … – đây là cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 7,5, q = 3/4. Tổng quãng đường: 10 + 2·7,5/(1 − 3/4) = 10 + 2·30 = 70 (m).

5. Lỗi sai thường gặp

Viết sai số mũ: u_n = u₁·qⁿ là sai; đúng phải là qⁿ⁻¹. Kiểm tra nhanh bằng n = 1: u₁·q⁰ = u₁.
Bỏ sót công bội âm: từ q² = 4 phải có q = 2 hoặc q = −2, mỗi giá trị cho một cấp số nhân khác nhau. Riêng q³ = −8 thì chỉ có q = −2.
Dùng công thức tổng khi q = 1: mẫu số 1 − q bằng 0; trường hợp này S_n = n·u₁.
Đếm sai số số hạng: tổng từ 2⁰ đến 2⁹ có 10 số hạng chứ không phải 9.
Áp dụng S = u₁/(1 − q) khi |q| ≥ 1: lúc đó tổng vô hạn không tồn tại hữu hạn.
Quên tính số lần nhân: trong bài vi khuẩn, giá trị ban đầu là u₁, sau 9 chu kì là u₁₀ = u₁·q⁹.

6. Bài tập luyện tập (có đáp số)

Bài 1. Cấp số nhân có u₁ = −2, q = −3. Tính u₅ và S₅.

Đáp số: u₅ = −2·(−3)⁴ = −162; S₅ = −2(1 − (−3)⁵)/(1 + 3) = −2·244/4 = −122. (Kiểm tra bằng cộng trực tiếp: −2 + 6 − 18 + 54 − 162 = −122.)

Bài 2. Cấp số nhân có u₂ = −6 và u₅ = 48. Tìm u₁, q và u₈.

Đáp số: q³ = 48 : (−6) = −8 nên q = −2; u₁ = −6 : (−2) = 3; u₈ = 3·(−2)⁷ = −384.

Bài 3. Tìm x để ba số 1; x; 16 lập thành cấp số nhân.

Đáp số: x² = 16 nên x = 4 (q = 4) hoặc x = −4 (q = −4).

Bài 4. Tính tổng 9 + 3 + 1 + 1/3 + … (vô hạn số hạng).

Đáp số: u₁ = 9, q = 1/3, S = 9 : (2/3) = 27/2.

Để ôn tập rộng hơn các chủ đề lớp 11 – 12, em tham khảo thêm tổng hợp kiến thức môn Toán.

Câu hỏi thường gặp

Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nhân với một số không đổi q (công bội): u_(n+1) = u_n·q.

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là gì?

u_n = u_1·q^(n−1). Ví dụ u_1 = 4, q = 3 thì u_5 = 4·3^4 = 324.

Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân tính thế nào?

Nếu q ≠ 1 thì S_n = u_1(1 − q^n)/(1 − q); nếu q = 1 thì S_n = n·u_1. Với |q| < 1, tổng vô hạn bằng u_1/(1 − q).

Làm sao chứng minh ba số a, b, c lập thành cấp số nhân?

Kiểm tra đẳng thức b² = a·c (với các số khác 0). Ví dụ 1; 3; 9 thỏa 3² = 1·9 nên lập thành cấp số nhân có công bội 3.