Trả lời nhanh
Cả 2021 số đều là số lẻ, và tổng của 2021 số đó là một số lẻ. Lý do: so sánh hai tổng năm số chỉ khác nhau một số hạng thì thấy mọi số cùng tính chẵn lẻ; nếu cùng chẵn thì tổng năm số sẽ chẵn (trái đề), nên chúng cùng lẻ. Tổng của 2021 số lẻ (một số lượng lẻ các số lẻ) là số lẻ.
Đề bài
Cho 2021 số tự nhiên, trong đó tổng của năm số bất kì đều là một số lẻ. Chứng minh rằng tổng của 2021 số đó là một số lẻ (và thực ra mỗi số trong chúng đều lẻ).
Kiến thức cần nhớ về chẵn lẻ
- Chẵn + chẵn = chẵn; lẻ + lẻ = chẵn; chẵn + lẻ = lẻ.
- Tổng của một số chẵn các số lẻ là số chẵn; tổng của một số lẻ các số lẻ là số lẻ.
- Hai số có tổng với cùng một số thứ ba đều lẻ thì hai số đó cùng tính chẵn lẻ.
Lời giải chi tiết
Bước 1: Chứng minh 2021 số cùng tính chẵn lẻ
Lấy hai số bất kì là a và b trong 2021 số. Còn lại 2019 số khác, ta chọn ra 4 số tuỳ ý, gọi tổng bốn số này là S.
Theo đề, a + S là tổng của năm số nên là số lẻ; b + S cũng là tổng của năm số nên là số lẻ.
Hai số a + S và b + S cùng lẻ, nên hiệu của chúng chia hết cho 2, tức a − b là số chẵn. Vậy a và b cùng tính chẵn lẻ. Vì a, b chọn tuỳ ý nên cả 2021 số cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Bước 2: Loại trường hợp cùng chẵn
Nếu cả 2021 số đều chẵn thì tổng của năm số bất kì là số chẵn, mâu thuẫn với đề (đề cho tổng là số lẻ). Vậy cả 2021 số đều là số lẻ.
Kiểm tra ngược lại: tổng năm số lẻ là số lẻ, đúng với giả thiết, nên trường hợp này có tồn tại (ví dụ 2021 số đều bằng 1).
Bước 3: Tính tổng của 2021 số
Ta có thể nhóm 2020 số thành 1010 cặp, mỗi cặp gồm hai số lẻ nên có tổng chẵn. Do đó tổng của 2020 số là số chẵn. Cộng thêm số thứ 2021 là số lẻ, ta được tổng là số lẻ. ∎
Cách làm khác: dùng tổng 2021 số
Có thể chia 2021 số bằng một cách khác: vì 2021 = 5·404 + 1, ta tách được 404 nhóm năm số (mỗi nhóm có tổng lẻ) và còn dư một số. Tổng 404 số lẻ là số chẵn. Muốn kết luận tổng chung lẻ vẫn cần biết số dư là lẻ, mà điều này có được nhờ bước 2. Vì vậy cách chứng minh “mọi số đều lẻ” ở trên là ngắn và chắc nhất.
Lỗi sai thường gặp
- Kết luận “tất cả đều lẻ” chỉ vì tổng năm số lẻ, không giải thích tại sao không thể có cả số chẵn lẫn số lẻ. Cần Bước 1.
- Quên loại trường hợp cùng chẵn ở Bước 2.
- Nhầm “tổng của 2021 số lẻ” với số chẵn vì nghĩ “lẻ + lẻ = chẵn”. Quy tắc này chỉ áp dụng cho từng cặp; số lượng 2021 là lẻ nên còn dư một số lẻ.
Mẹo nhớ
Với bài “tổng k số bất kì có tính chất X”, hãy so sánh hai tổng chỉ khác nhau đúng một số hạng. Cách này ép mọi số phải cùng tính chẵn lẻ, sau đó chỉ việc thử hai trường hợp “cùng chẵn”, “cùng lẻ”.
Bài luyện tập
- Cho 2025 số tự nhiên mà tổng của ba số bất kì đều là số chẵn. Hỏi các số đó chẵn hay lẻ?
Đáp án: Theo cách làm trên, mọi số cùng tính chẵn lẻ. Nếu cùng lẻ thì tổng ba số lẻ là lẻ, trái đề. Vậy tất cả đều chẵn. - Cho 100 số tự nhiên mà tổng của bốn số bất kì là số chẵn. Tổng của 100 số đó là số chẵn hay lẻ?
Đáp án: Mọi số cùng tính chẵn lẻ. Nếu cùng chẵn, tổng chẵn. Nếu cùng lẻ, tổng của 100 số lẻ (số lượng chẵn) cũng chẵn. Vậy tổng luôn là số chẵn. - Cho 7 số tự nhiên mà tổng của hai số bất kì là số lẻ. Điều đó có xảy ra không?
Đáp án: Không. Trong 7 số, theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất hai số cùng tính chẵn lẻ, tổng của chúng chẵn, mâu thuẫn.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao 2021 số trong bài đều phải là số lẻ?
Vì hai số bất kì cùng cộng với bốn số còn lại đều cho tổng lẻ nên chúng cùng tính chẵn lẻ. Nếu tất cả cùng chẵn thì tổng năm số là chẵn, trái đề, nên tất cả cùng lẻ.
Tổng của 2021 số lẻ là số chẵn hay lẻ?
Là số lẻ. Ghép 2020 số thành 1010 cặp, mỗi cặp có tổng chẵn, cộng thêm một số lẻ còn lại được tổng lẻ.
Có ví dụ cụ thể thoả mãn đề bài không?
Có. Lấy 2021 số đều bằng 1: tổng của năm số bất kì bằng 5, là số lẻ, và tổng cả 2021 số bằng 2021, cũng là số lẻ.