Trả lời nhanh
Với AE = ½·BE và AF = 2·CF thì AE/AB = 1/3 còn AF/AC = 2/3. Hai tỉ số này khác nhau nên EF không song song với BC; hai đường thẳng cùng nằm trong mặt phẳng (ABC) nên chúng cắt nhau tại điểm M nằm ngoài đoạn BC, với MB = 4·MC (M nằm phía C).
Đây là dạng câu hỏi quen thuộc ở chương “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian”. Đề thường hỏi: EF song song, cắt hay chéo BC? hoặc tìm giao tuyến của (DEF) và (BCD). Bài dưới đây giải theo đề với AE = ½·BE và AF = 2·CF; nếu đề của em có tỉ số khác, chỉ cần thay số vào cùng phương pháp.
Bước 1: Đổi tỉ số về dạng AE/AB và AF/AC
- AE = ½·BE nên BE = 2·AE, do E thuộc cạnh AB: AB = AE + BE = 3·AE ⇒ AE/AB = 1/3.
- AF = 2·CF nên AC = AF + CF = 3·CF ⇒ AF/AC = 2/3.
Hai tỉ số 1/3 và 2/3 không bằng nhau.
Bước 2: Kết luận về vị trí EF và BC
- E, F, B, C đều thuộc mặt phẳng (ABC) nên EF và BC đồng phẳng, không thể chéo nhau.
- Nếu EF // BC thì theo định lí Thalès AE/AB = AF/AC. Ở đây 1/3 ≠ 2/3 nên không song song.
- EF không trùng BC vì E không thuộc BC (E nằm trên cạnh AB, khác B).
Vậy EF và BC cắt nhau.
Bước 3: Tìm giao điểm M = EF ∩ BC
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến E – F – M (E ∈ AB, F ∈ AC, M ∈ BC):
(AE/EB) · (BM/MC) · (CF/FA) = 1 (độ dài tuyệt đối).
Thay AE/EB = 1/2 và CF/FA = 1/2: (1/2)·(BM/MC)·(1/2) = 1 ⇒ BM/MC = 4.
Vì BM = 4·MC mà M thuộc đường thẳng BC nên M nằm ngoài đoạn BC, về phía C, với MC = BC/3 và BM = 4BC/3.
Kiểm tra lại bằng vectơ
Lấy A làm gốc, đặt AB = b, AC = c. Khi đó AE = b/3, AF = 2c/3.
- Điểm trên EF: b/3 + t(2c/3 − b/3).
- Điểm trên BC: b + s(c − b).
Đồng nhất hệ số của c: 2t/3 = s. Hệ số của b: 1/3 − t/3 = 1 − s. Giải ra t = 2, s = 4/3. Vậy BM = (4/3)·BC, khớp với kết quả Menelaus.
Loại trừ các phương án thường gặp
| Phát biểu | Đúng/Sai | Lí do |
|---|---|---|
| EF // BC | Sai | AE/AB ≠ AF/AC |
| EF cắt BC | Đúng | Đồng phẳng, không song song |
| EF và BC chéo nhau | Sai | Cùng nằm trong (ABC) |
| EF trùng BC | Sai | E không thuộc BC |
Mở rộng: giao tuyến của (DEF) và (BCD)
D là điểm chung thứ nhất. M thuộc EF ⊂ (DEF) và M thuộc BC ⊂ (BCD) nên M là điểm chung thứ hai. Vậy giao tuyến là đường thẳng DM.
Mẹo nhớ và lỗi hay gặp
- Mẹo: so sánh AE/AB với AF/AC. Bằng nhau ⇒ song song; khác nhau ⇒ cắt (khi E, F cùng nằm trong một mặt phẳng với B, C).
- Lỗi 1: đọc “AE = ½ BE” thành AE/AB = 1/2. Thực tế AE/AB = 1/3.
- Lỗi 2: quên rằng điểm cắt M thường nằm ngoài đoạn BC, nên không vẽ M trên cạnh BC.
Bài luyện tập
- Cho tứ diện ABCD, E ∈ AB, F ∈ AC sao cho AE = ½·BE và AF = ½·CF. Xét vị trí EF và BC.
Đáp án: AE/AB = AF/AC = 1/3 nên EF // BC (và EF = BC/3). - Với đề gốc ở trên, tính MC/BC.
Đáp án: MC = BC/3, nên MC/BC = 1/3. - Với AE = BE/2 và AF = 3·CF, hỏi EF có song song BC không?
Đáp án: AE/AB = 1/3, AF/AC = 3/4, khác nhau nên không song song; EF cắt BC.
Câu hỏi thường gặp
Khi nào EF song song với BC trong tứ diện ABCD?
Khi E thuộc AB, F thuộc AC và AE/AB = AF/AC. Khi đó theo định lí Thalès đảo, EF // BC.
Vì sao EF và BC không thể chéo nhau?
Vì cả bốn điểm E, F, B, C đều nằm trong mặt phẳng (ABC), nên hai đường thẳng EF và BC đồng phẳng. Hai đường chéo nhau thì không đồng phẳng.
Giao điểm của EF và BC nằm ở đâu?
Với AE = ½BE và AF = 2CF, giao điểm M thỏa MB = 4MC và nằm ngoài đoạn BC, về phía đỉnh C.
Giao tuyến của hai mặt phẳng (DEF) và (BCD) là gì?
Là đường thẳng DM, trong đó M là giao điểm của EF và BC, vì D và M là hai điểm chung của hai mặt phẳng.