Trả lời nhanh
Bài tập về hai đường thẳng song song thường quy về hai việc. Một là chứng minh a // b: chỉ ra một cặp góc đồng vị bằng nhau hoặc một cặp góc so le trong bằng nhau. Hai là khi đã biết a // b thì tính góc: các góc đồng vị bằng nhau, các góc so le trong bằng nhau, rồi kết hợp với góc đối đỉnh (bằng nhau) và góc kề bù (tổng 180°). Dưới đây có 20 bài có lời giải để các em luyện từ dễ đến khó.
1. Tóm tắt kiến thức cần nhớ
Trong cả trang, ta dùng chung một cách đặt tên. Đường thẳng c cắt đường thẳng a tại A và cắt đường thẳng b tại B. Tại mỗi giao điểm, các góc được đánh số 1, 2, 3, 4 ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ góc trên bên phải (xem Hình 1).
- Hai góc đồng vị: nằm ở cùng một “vị trí” tại hai giao điểm. Có 4 cặp: góc A1 và B1, A2 và B2, A3 và B3, A4 và B4.
- Hai góc so le trong: cùng nằm trong dải giữa a và b, nhưng ở hai phía khác nhau của c. Có 2 cặp: góc A3 và B1, A4 và B2.
- Dấu hiệu nhận biết: nếu c cắt a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau hoặc một cặp góc so le trong bằng nhau thì a // b.
- Tiên đề Euclid: qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
- Tính chất: nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau và hai góc so le trong bằng nhau.
- Hệ quả thường dùng: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
Muốn xem lý thuyết đầy đủ hơn, các em đọc bài Lý thuyết Hai đường thẳng song song.
2. Mẹo nhận biết góc nhanh
- Đồng vị là “cùng số”: theo cách đánh số ở Hình 1, góc Ak và góc Bk luôn là hai góc đồng vị. Em cứ hình dung trượt cả giao điểm A dọc theo c xuống trùng với B thì hai góc ấy chồng khít lên nhau.
- So le trong giống hình chữ “Z”: nếu vẽ theo đường a, rồi đi dọc c, rồi đi theo đường b mà được nét chữ Z (hoặc chữ Z ngược) thì hai góc nằm ở hai góc nhọn của chữ Z chính là so le trong.
- Hai góc tại cùng một điểm: nếu chúng đối diện qua giao điểm thì là đối đỉnh (bằng nhau). Nếu chúng nằm cạnh nhau trên một đường thẳng thì là kề bù (tổng bằng 180°).
3. Bài tập tự luận (12 bài)
Bài 1 (nhận biết)
Dựa vào Hình 1, kể tên tất cả các cặp góc đồng vị và các cặp góc so le trong.
Lời giải. Có 4 cặp góc đồng vị: A1 và B1; A2 và B2; A3 và B3; A4 và B4. Có 2 cặp góc so le trong: A3 và B1; A4 và B2.
Bài 2
Ở Hình 1, cho góc A4 = 70° và góc B2 = 70°. Hỏi a và b có song song với nhau không? Vì sao?
Lời giải. Góc A4 và góc B2 ở vị trí so le trong, lại bằng nhau (cùng bằng 70°). Theo dấu hiệu nhận biết, a // b.
Bài 3
Ở Hình 1, cho góc A2 = 115° và góc B1 = 65°. Chứng tỏ rằng a // b.
Lời giải. Góc A2 và góc B1 không phải là cặp góc đồng vị cũng không phải là cặp so le trong, nên phải đi qua một góc trung gian. Góc B1 và góc B2 kề bù nên góc B2 = 180° − 65° = 115°. Như vậy góc A2 = góc B2 = 115°, mà đây là hai góc đồng vị, nên a // b.
Lưu ý: khi hai góc đề cho không “đứng đúng vị trí”, em hãy dùng góc kề bù hoặc góc đối đỉnh để chuyển về một cặp góc đồng vị hay so le trong.
Bài 4
Cho a // b và góc A1 = 52°. Tính số đo bốn góc tại đỉnh B.
Lời giải.
- Vì a // b nên góc B1 = góc A1 = 52° (hai góc đồng vị).
- Góc B3 = góc B1 = 52° (hai góc đối đỉnh).
- Góc B2 = 180° − 52° = 128° (kề bù với góc B1).
- Góc B4 = góc B2 = 128° (hai góc đối đỉnh).
Bài 5
Cho a // b, biết góc A4 gấp đôi góc A3. Tính góc A3, góc A4, góc B1 và góc B2.
Lời giải. Góc A3 và góc A4 kề bù nên tổng của chúng bằng 180°. Vì góc A4 = 2 · góc A3 nên 3 · góc A3 = 180°, suy ra góc A3 = 60° và góc A4 = 120°. Do a // b nên theo tính chất hai góc so le trong: góc B1 = góc A3 = 60° và góc B2 = góc A4 = 120°.
Bài 6
Hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c. Giải thích vì sao a // b.
Lời giải. Vì a ⊥ c nên góc A1 = 90°. Vì b ⊥ c nên góc B1 = 90°. Hai góc đồng vị A1 và B1 bằng nhau, do đó a // b.
Bài 7
Cho a // b, đường thẳng c vuông góc với a. Chứng minh rằng c ⊥ b.
Lời giải. Vì c ⊥ a nên c cắt a và góc A1 = 90°. Đường thẳng c cũng phải cắt b: nếu không cắt thì c // b, khi đó qua A sẽ có hai đường thẳng a và c cùng song song với b, trái với tiên đề Euclid. Do a // b nên góc B1 = góc A1 = 90° (đồng vị). Vậy c ⊥ b.
Bài 8 (vận dụng)
Cho tam giác ABC có góc B = 50° và góc C = 60°. Qua A kẻ đường thẳng xy song song với BC, sao cho tia Ax nằm cùng phía với B và tia Ay nằm cùng phía với C so với đường thẳng đi qua A vuông góc với BC. Tính góc xAB, góc yAC và góc BAC.
Lời giải.
- Vì xy // BC nên góc xAB = góc ABC = 50° (hai góc so le trong, cát tuyến AB).
- Tương tự, góc yAC = góc ACB = 60° (hai góc so le trong, cát tuyến AC).
- Ba góc xAB, BAC, CAy ghép lại thành góc bẹt xAy nên góc BAC = 180° − 50° − 60° = 70°.
Nhận xét: bài này chính là ý tưởng để chứng minh tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°, nội dung các em sẽ học ở chương sau.
Bài 9 (vận dụng cao)
Cho a // b. Lấy A trên a, B trên b, vẽ tia Ax trên a và tia By trên b cùng hướng sang phải. Điểm O nằm giữa hai đường thẳng sao cho góc xAO = 40° và góc yBO = 35° (Hình 2). Tính góc AOB.
Lời giải. Từ O kẻ tia Ot song song với a, hướng ngược chiều với tia Ax (tức là hướng sang trái). Theo tiên đề Euclid thì đường thẳng chứa Ot cũng song song với b.
- Ot // Ax, hai tia ngược hướng, cát tuyến AO, nên góc AOt = góc xAO = 40° (so le trong).
- Ot // By, cát tuyến BO, nên góc tOB = góc yBO = 35° (so le trong).
- Tia Ot nằm giữa hai tia OA và OB nên góc AOB = 40° + 35° = 75°.
Mẹo: khi có một điểm nằm “kẹp” giữa hai đường song song, em hãy kẻ thêm qua điểm đó một đường thẳng song song với hai đường đã cho. Kĩ thuật này dùng được trong rất nhiều bài.
Bài 10
Cho a // b, biết góc A1 lớn hơn góc B2 là 30°. Tính góc A1 và góc B2.
Lời giải. Do a // b nên góc B1 = góc A1 (đồng vị), suy ra góc B1 − góc B2 = 30°. Mặt khác góc B1 + góc B2 = 180° (kề bù). Từ đó góc B1 = (180° + 30°) : 2 = 105° và góc B2 = 75°. Vậy góc A1 = 105°, góc B2 = 75°.
Bài 11
Cho a // b, góc A4 = 3x + 10 (độ) và góc B2 = 5x − 30 (độ). Tìm x và tính số đo của hai góc.
Lời giải. Góc A4 và góc B2 là hai góc so le trong, mà a // b nên chúng bằng nhau: 3x + 10 = 5x − 30, suy ra 2x = 40, tức x = 20. Thử lại: 3 · 20 + 10 = 70 và 5 · 20 − 30 = 70. Vậy mỗi góc bằng 70°.
Bài 12
Cho hai đường thẳng phân biệt a và b cùng song song với đường thẳng d. Chứng minh rằng a // b.
Lời giải. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử a và b không song song. Vì a, b phân biệt nên chúng cắt nhau tại một điểm M. Khi đó qua M có hai đường thẳng phân biệt là a và b cùng song song với d, trái với tiên đề Euclid. Vậy a // b.
4. Bài tập trắc nghiệm (8 câu)
Câu 1. Ở Hình 1, góc A1 và góc B1 là hai góc:
A. so le trong; B. kề bù; C. đồng vị; D. đối đỉnh.
Đáp án C. Hai góc cùng nằm ở vị trí “trên – phải” tại hai giao điểm nên là hai góc đồng vị. Phương án A sai vì hai góc so le trong phải nằm ở hai phía của c. Phương án B và D sai vì kề bù và đối đỉnh chỉ xét hai góc có chung đỉnh.
Câu 2. Cặp góc nào dưới đây là cặp góc so le trong ở Hình 1?
A. A1 và B1; B. A4 và B2; C. A3 và B3; D. A2 và B4.
Đáp án B. Góc A4 và góc B2 đều nằm trong dải giữa a và b, mỗi góc ở một phía của c. Các phương án A và C là cặp đồng vị. Phương án D là cặp hai góc nằm ngoài dải giữa a và b.
Câu 3. Qua điểm M nằm ngoài đường thẳng a, vẽ được bao nhiêu đường thẳng song song với a?
A. 0; B. 1; C. 2; D. Vô số.
Đáp án B. Theo tiên đề Euclid, có đúng một đường thẳng như vậy.
Câu 4. Cho hai điểm phân biệt M, N. Vẽ đường thẳng a đi qua M và đường thẳng b đi qua N sao cho a // b. Có thể vẽ được bao nhiêu cặp a, b như thế?
A. Một cặp; B. Hai cặp; C. Không có cặp nào; D. Vô số cặp.
Đáp án D. Qua M có vô số đường thẳng a. Với mỗi đường thẳng a không đi qua N, qua N có đúng một đường thẳng b song song với a. Vì vậy có vô số cặp. Đừng nhầm với câu 3: ở câu 3 đường thẳng a đã cố định, còn ở đây a được chọn tuỳ ý.
Câu 5. Cho a // b và góc A4 = 48°. Số đo của góc B1 là:
A. 48°; B. 132°; C. 42°; D. 90°.
Đáp án B. Góc B2 = góc A4 = 48° (so le trong), mà góc B1 kề bù với góc B2 nên góc B1 = 180° − 48° = 132°. Phương án A là bẫy dành cho bạn nào tưởng hai góc A4 và B1 bằng nhau. Thật ra đây là hai góc trong cùng phía, có tổng bằng 180°.
Câu 6. Phát biểu nào sau đây sai?
A. Nếu c cắt a, b và có một cặp góc so le trong bằng nhau thì a // b.
B. Nếu c cắt a, b và có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì a // b.
C. Nếu c cắt a, b và có một cặp góc đồng vị bù nhau thì a // b.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Đáp án C. Hai góc đồng vị bù nhau, chẳng hạn 70° và 110°, thì không bằng nhau, nên a và b cắt nhau. Trường hợp duy nhất phát biểu C đúng là khi cả hai góc bằng 90°. Như vậy C không đúng trong mọi trường hợp. Các phương án A, B, D đều là kiến thức đúng trong bài.
Câu 7. Nếu a ⊥ c và b ⊥ c (a, b phân biệt) thì:
A. a ⊥ b; B. a // b; C. a trùng b; D. a cắt b.
Đáp án B. Lý do giống Bài 6: cặp góc đồng vị cùng bằng 90°.
Câu 8. Cho a // b và góc A2 = 3 · góc A1. Số đo của góc B3 là:
A. 45°; B. 135°; C. 60°; D. 90°.
Đáp án A. Góc A1 và góc A2 kề bù nên 4 · góc A1 = 180°, tức góc A1 = 45°. Do đó góc B1 = 45° (đồng vị) và góc B3 = góc B1 = 45° (đối đỉnh).
5. Lỗi sai thường gặp
- Dùng tính chất khi chưa có giả thiết song song. Chỉ khi đề cho a // b (hoặc em đã chứng minh được) thì mới được viết “hai góc đồng vị bằng nhau”. Nếu chưa có thì phải đi theo chiều ngược lại, tức là dùng dấu hiệu nhận biết.
- Nhầm góc trong cùng phía với góc so le trong. Hai góc trong cùng phía (như góc A4 và B1) có tổng bằng 180° chứ không bằng nhau.
- Thiếu lý do trong ngoặc. Mỗi dấu “=” giữa hai góc cần ghi rõ căn cứ: đồng vị, so le trong, đối đỉnh hay kề bù. Thầy cô chấm điểm dựa vào những lý do này.
- Đọc hình sai vì thứ tự đánh số. Mỗi sách hoặc mỗi đề có thể đánh số góc khác nhau. Trước khi làm, em hãy nhìn vị trí thật của góc trên hình chứ đừng chỉ dựa vào chữ số.
6. Tài liệu học tiếp
- Giải SGK Toán 7 Bài 3 (Cánh diều): Hai đường thẳng song song
- Sách bài tập Toán 7 Bài 3 (Cánh diều): Hai đường thẳng song song
- Trắc nghiệm Hai đường thẳng song song (Cánh diều)
- Vở bài tập Toán 7 Bài 3: Hai đường thẳng song song
- Giải SGK Toán 7 – Cánh diều
- Lý thuyết Toán 7 – Cánh diều
- Đề thi Toán 7 – Cánh diều
Cùng chuyên đề: Mục lục khác cùng môn, lớp: Giải SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo Tập 1, Tập 2: mục lục đầy đủ 9 chương.
Câu hỏi thường gặp
Muốn chứng minh hai đường thẳng song song thì làm thế nào?
Em tìm một đường thẳng cắt cả hai đường thẳng đó, rồi chỉ ra một cặp góc đồng vị bằng nhau hoặc một cặp góc so le trong bằng nhau. Một cách khác là chứng minh hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba, hoặc cùng song song với một đường thẳng thứ ba.
Góc đồng vị và góc so le trong khác nhau thế nào?
Hai góc đồng vị nằm cùng một phía của cát tuyến và cùng vị trí trên hoặc dưới tại hai giao điểm. Hai góc so le trong cùng nằm trong dải giữa hai đường thẳng nhưng ở hai phía khác nhau của cát tuyến.
Hai góc trong cùng phía có bằng nhau không?
Không. Khi hai đường thẳng song song, hai góc trong cùng phía có tổng bằng 180°. Chúng chỉ bằng nhau trong trường hợp cả hai góc cùng bằng 90°.
Tiên đề Euclid được dùng khi nào?
Tiên đề Euclid được dùng khi cần khẳng định chỉ có một đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước. Nó thường xuất hiện trong các bài chứng minh bằng phản chứng, hoặc khi kẻ thêm đường phụ song song.