Cho sinx + cosx = 1/2 tính sin³x + cos³x

Trả lời nhanh

Với sinx + cosx = 1/2 (đề gốc viết “12” là thiếu dấu gạch phân số), ta có A = sin³x + cos³x = 11/16. Bình phương giả thiết cho sinx·cosx = −3/8, sau đó A = (sinx + cosx)(1 − sinx·cosx) = (1/2)(1 + 3/8) = 11/16.

Đề bài

Cho sinx + cosx = 1/2. Tính giá trị biểu thức A = sin³x + cos³x.

Lưu ý: đề thường bị gõ thành “sinx + cosx = 12” do mất dấu “/”. Vì |sinx + cosx| ≤ √2 nên giá trị 12 không thể xảy ra; ta hiểu đề là 1/2.

Hướng giải

Biểu thức cần tính là tổng hai lập phương, còn giả thiết cho tổng hai số. Vì vậy ta đặt s = sinx + cosx, p = sinx·cosx rồi biểu diễn A theo s và p. Chỉ còn thiếu p, mà p tìm được từ s nhờ đẳng thức sin²x + cos²x = 1.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Tìm sinx·cosx. Bình phương hai vế của sinx + cosx = 1/2:

sin²x + 2sinx·cosx + cos²x = 1/4

⇒ 1 + 2sinx·cosx = 1/4 ⇒ sinx·cosx = (1/4 − 1)/2 = −3/8.

Bước 2: Phân tích A. Dùng a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²):

A = (sinx + cosx)(sin²x − sinx·cosx + cos²x) = (sinx + cosx)(1 − sinx·cosx).

Bước 3: Thay số.

A = (1/2)·(1 − (−3/8)) = (1/2)·(11/8) = 11/16.

Kiểm tra bằng cách khác

Dùng công thức a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b):

A = (1/2)³ − 3·(−3/8)·(1/2) = 1/8 + 9/16 = 2/16 + 9/16 = 11/16. Hai cách cho cùng kết quả nên đáp số đáng tin cậy.

Đề có hợp lệ không?

Ta viết sinx + cosx = √2·sin(x + π/4), nên giá trị này nằm trong đoạn [−√2; √2]. Do 1/2 thuộc đoạn đó nên tồn tại x thoả mãn; đáp số 11/16 vì thế có nghĩa. Nếu đề cho sinx + cosx = 2 thì không có x nào, và việc tính A sẽ vô nghĩa dù công thức vẫn “ra số”.

Công thức tổng quát cần nhớ

Đặt s = sinx + cosx. Khi đó:

sinx·cosx = (s² − 1)/2
sin³x + cos³x = s(3 − s²)/2
sin⁴x + cos⁴x = 1 − 2(sinx·cosx)²

Thử với s = 1/2: A = (1/2)(3 − 1/4)/2 = (1/2)(11/4)/2 = 11/16, khớp với kết quả trên.

Lỗi sai thường gặp

Viết sai hằng đẳng thức thành (a + b)(a² + ab + b²): dấu của ab phải là dấu trừ.
Quên bình phương hai vế nên không tìm được sinx·cosx.
Sai dấu khi tính 1 − (−3/8): phải ra 1 + 3/8 = 11/8, không phải 5/8.
Cố giải phương trình tìm x trước rồi mới thay vào: vừa dài vừa dễ sai, trong khi chỉ cần biến đổi đối xứng theo s và p.

Mẹo nhớ

Gặp biểu thức đối xứng của sinx và cosx (tổng, lập phương, luỹ thừa bốn…) mà đề cho sinx + cosx hoặc sinx·cosx, hãy nghĩ ngay đến cặp “tổng – tích” giống như định lí Viète, rồi bình phương để chuyển qua lại giữa hai đại lượng.

Bài luyện tập

Cho sinx + cosx = 1. Tính sin³x + cos³x.
Đáp án: sinx·cosx = 0; A = 1·(1 − 0) = 1. (Kiểm tra với x = 0: 0 + 1 = 1.)
Cho sinx + cosx = 1/2. Tính B = sin⁴x + cos⁴x.
Đáp án: B = 1 − 2·(−3/8)² = 1 − 9/32 = 23/32.
Cho sinx + cosx = −1. Tính sin³x + cos³x.
Đáp án: sinx·cosx = 0; A = (−1)(1 − 0) = −1. (Kiểm tra với x = π: 0 + (−1) = −1.)

Câu hỏi thường gặp

Cho sinx + cosx = 1/2 thì sin³x + cos³x bằng bao nhiêu?

Bằng 11/16. Từ giả thiết suy ra sinx·cosx = −3/8, rồi A = (sinx + cosx)(1 − sinx·cosx) = (1/2)(11/8) = 11/16.

Vì sao phải bình phương hai vế của sinx + cosx = 1/2?

Bình phương xuất hiện số hạng 2sinx·cosx, cùng với sin²x + cos²x = 1 giúp tìm được tích sinx·cosx. Tích này cần để tính tổng hai lập phương.

Nếu đề cho sinx + cosx = 12 thì sao?

Không tồn tại x vì |sinx + cosx| ≤ √2 < 12. Đề đúng thường là 1/2 và bị mất dấu gạch phân số khi gõ.

Có công thức nhanh để tính sin³x + cos³x khi biết sinx + cosx không?

Có. Gọi s = sinx + cosx thì sin³x + cos³x = s(3 − s²)/2. Với s = 1/2 cho kết quả 11/16.