Bài tập đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b Toán 8 có đáp án

Trả lời nhanh

Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng. Đường thẳng này cắt trục tung tại điểm (0; b) và cắt trục hoành tại điểm (−b/a; 0). Hệ số a gọi là hệ số góc. Muốn vẽ đồ thị, em lấy hai điểm thuộc đồ thị rồi nối lại. Hai đường thẳng có hệ số góc bằng nhau và tung độ gốc khác nhau thì song song. Hệ số góc khác nhau thì hai đường thẳng cắt nhau.

Tóm tắt kiến thức cần nhớ

Đồ thị: đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng, còn gọi là “đường thẳng y = ax + b”. Số b được gọi là tung độ gốc.
Vẽ y = ax (b = 0): đường thẳng đi qua gốc O(0; 0) và điểm A(1; a).
Vẽ y = ax + b (b ≠ 0): đường thẳng đi qua P(0; b) và Q(−b/a; 0). Nếu −b/a là phân số khó biểu diễn thì em chọn một giá trị x nguyên khác cho dễ vẽ.
Hệ số góc a: khi a > 0, đường thẳng tạo với tia Ox một góc nhọn. Khi a < 0, góc đó là góc tù. Trong cả hai trường hợp, a càng lớn thì góc càng lớn.
Vị trí tương đối của d: y = ax + b và d’: y = a’x + b’ (a, a’ ≠ 0):
- d song song với d’ khi a = a’ và b ≠ b’.
- d trùng với d’ khi a = a’ và b = b’.
- d cắt d’ khi a ≠ a’.

Mẹo nhớ: “Góc giống nhau, gốc khác nhau thì song song; góc khác nhau thì cắt nhau.” Ở đây “góc” là hệ số góc a, còn “gốc” là tung độ gốc b.

Nếu muốn ôn lại lý thuyết kỹ hơn, em xem Lý thuyết Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0).

Dạng 1: Nhận biết điểm thuộc đồ thị, hệ số góc, vị trí hai đường thẳng

Bài 1. Cho ba đường thẳng d₁: y = 2x + 3; d₂: y = 2x − 1; d₃: y = −x + 3. Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng song song và các cặp đường thẳng cắt nhau.

Lời giải. d₁ và d₂ có cùng a = 2 nhưng b khác nhau (3 ≠ −1), nên d₁ // d₂. Cặp d₁, d₃ có 2 ≠ −1 nên cắt nhau. Hai đường này lại có cùng b = 3, nên chúng cắt nhau tại điểm (0; 3) trên trục tung. Cặp d₂, d₃ cũng có 2 ≠ −1 nên cắt nhau.

Bài 2. Trong các điểm A(1; −1), B(−1; 4), C(2; −4), D(0; −2), điểm nào thuộc đồ thị hàm số y = −3x + 2?

Lời giải. Em thay hoành độ vào công thức rồi so sánh kết quả với tung độ của điểm:

Điểm	Tính −3x + 2	So với tung độ	Kết luận
A(1; −1)	−3 + 2 = −1	bằng	Thuộc
B(−1; 4)	3 + 2 = 5	5 ≠ 4	Không thuộc
C(2; −4)	−6 + 2 = −4	bằng	Thuộc
D(0; −2)	0 + 2 = 2	2 ≠ −2	Không thuộc

Bài 3. Tìm hệ số góc của mỗi đường thẳng sau và cho biết đường thẳng đó tạo với trục Ox góc nhọn hay góc tù: y = 5 − 2x; y = x/3 + 1; y = −x; y = 0,7x − 4.

Lời giải. Trước hết em viết lại mỗi hàm số theo dạng ax + b. Hàm y = 5 − 2x có a = −2, tạo góc tù. Hàm y = x/3 + 1 có a = 1/3, tạo góc nhọn. Hàm y = −x có a = −1, tạo góc tù. Hàm y = 0,7x − 4 có a = 0,7, tạo góc nhọn.

Lỗi hay gặp: với y = 5 − 2x, nhiều bạn đọc nhầm hệ số góc là 5. Hệ số góc là hệ số đứng trước x, không phải số đứng đầu biểu thức.

Bài 4. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các góc tạo bởi trục Ox với các đường thẳng: y = 2x + 1; y = 0,5x − 3; y = −x + 2.

Lời giải. Hai đường thẳng y = 0,5x − 3 và y = 2x + 1 có a > 0 nên tạo góc nhọn. Vì 0,5 < 2 nên góc của y = 0,5x − 3 nhỏ hơn góc của y = 2x + 1. Đường thẳng y = −x + 2 có a < 0 nên tạo góc tù, lớn hơn cả hai góc nhọn kia. Thứ tự tăng dần: y = 0,5x − 3; y = 2x + 1; y = −x + 2.

Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Bài 5. Vẽ đồ thị hàm số y = 2x − 4.

Lời giải. Cho x = 0 thì y = −4, ta được P(0; −4). Cho y = 0 thì 2x − 4 = 0, suy ra x = 2, ta được Q(2; 0). Đồ thị là đường thẳng PQ (đường màu xanh đậm ở hình dưới).

Bài 6. Vẽ đồ thị hàm số y = −0,5x trên cùng mặt phẳng tọa độ với đồ thị ở Bài 5.

Lời giải. Hàm số có dạng y = ax nên đồ thị đi qua gốc O. Nếu chọn x = 1 thì y = −0,5, điểm này khó chấm chính xác. Em nên chọn x = 2, khi đó y = −1, ta được A(2; −1). Đồ thị là đường thẳng OA (đường màu cam).

Bài 7. Vẽ đồ thị hàm số y = −x + 3. Gọi A và B lần lượt là giao điểm của đồ thị với trục Ox và trục Oy. Tính độ dài AB.

Lời giải. Cho y = 0 thì x = 3, ta được A(3; 0). Cho x = 0 thì y = 3, ta được B(0; 3). Đồ thị là đường thẳng AB. Tam giác OAB vuông tại O, có OA = OB = 3. Theo định lí Pythagore, AB² = 3² + 3² = 18, suy ra AB = √18 = 3√2 (đơn vị độ dài).

Dạng 3: Xác định hệ số a, b hoặc tham số m

Bài 8. Tìm a, biết đồ thị hàm số y = ax + 3 đi qua điểm M(2; −1).

Lời giải. Thay x = 2, y = −1 vào công thức: −1 = 2a + 3, suy ra 2a = −4, a = −2 (thỏa mãn a ≠ 0). Hàm số cần tìm là y = −2x + 3.

Bài 9. Tìm b, biết đường thẳng y = 3x + b đi qua điểm N(−1; 4).

Lời giải. Thay tọa độ của N vào: 4 = 3·(−1) + b, suy ra b = 7. Đường thẳng cần tìm là y = 3x + 7.

Bài 10. Cho hàm số y = (m − 3)x + 2m + 1. Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5.

Lời giải. Muốn hàm số là bậc nhất thì m − 3 ≠ 0, tức m ≠ 3. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b nên 2m + 1 = 5, suy ra m = 2. Giá trị m = 2 thỏa mãn m ≠ 3, khi đó hàm số là y = −x + 5.

Bài 11. Tìm m để đường thẳng y = 3x + m cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

Lời giải. Giao điểm với trục hoành là (2; 0). Thay vào: 0 = 3·2 + m, suy ra m = −6.

Bài 12. Cho hàm số y = (m − 1)x + 2. Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 3x − 5.

Lời giải. Điều kiện song song: m − 1 = 3 và 2 ≠ −5. Điều kiện thứ hai luôn đúng, nên m = 4. Khi đó m − 1 = 3 ≠ 0, hàm số đúng là bậc nhất.

Bài 13. Tìm m để đường thẳng y = (2m + 1)x − 3 cắt đường thẳng y = x + 1.

Lời giải. Có hai điều kiện:

Hàm số phải là bậc nhất: 2m + 1 ≠ 0, tức m ≠ −1/2.
Hai đường thẳng cắt nhau: 2m + 1 ≠ 1, tức m ≠ 0.

Vậy m ≠ −1/2 và m ≠ 0. Học sinh thường quên điều kiện thứ nhất, nhớ kiểm tra a ≠ 0 trước tiên.

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng

Bài 14. Xác định đường thẳng y = ax + b đi qua A(1; 2) và song song với đường thẳng y = −3x + 1.

Lời giải. Vì song song với y = −3x + 1 nên a = −3. Thay A(1; 2) vào y = −3x + b: 2 = −3 + b, suy ra b = 5. Có 5 ≠ 1 nên hai đường không trùng nhau. Đáp số: y = −3x + 5.

Bài 15. Xác định đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 3) và B(2; −1).

Lời giải. Điểm A nằm trên trục tung nên b = 3. Thay B vào y = ax + 3: −1 = 2a + 3, suy ra a = −2. Đáp số: y = −2x + 3.

Bài 16. Xác định đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 1) và B(3; 5).

Lời giải. Thay A vào: a + b = 1, suy ra b = 1 − a. Thay B vào: 3a + b = 5, tức 3a + 1 − a = 5, suy ra 2a = 4, a = 2. Từ đó b = −1. Đáp số: y = 2x − 1.

Mẹo kiểm tra nhanh: thay lại tọa độ cả hai điểm vào kết quả. Với A: 2·1 − 1 = 1, đúng. Với B: 2·3 − 1 = 5, đúng.

Dạng 5: Giao điểm, ba điểm thẳng hàng, diện tích

Bài 17. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = x + 2 và y = −2x + 5.

Lời giải. Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình x + 2 = −2x + 5. Giải ra 3x = 3, x = 1. Thay vào y = x + 2 được y = 3. Giao điểm là (1; 3).

Bài 18. Cho ba đường thẳng y = 2x − 1; y = −x + 5; y = mx + 1. Tìm m để ba đường thẳng cùng đi qua một điểm.

Lời giải. Trước hết tìm giao điểm của hai đường thẳng đầu: 2x − 1 = −x + 5, suy ra x = 2, y = 3. Đường thẳng thứ ba phải đi qua (2; 3): 3 = 2m + 1, suy ra m = 1. Khi đó y = x + 1 có hệ số góc khác 2 và khác −1, nên ba đường thẳng phân biệt và cùng đi qua điểm (2; 3).

Bài 19. Chứng minh ba điểm A(1; 3), B(−1; −1), C(2; 5) thẳng hàng.

Lời giải. Viết đường thẳng y = ax + b đi qua A và B. Từ A có a + b = 3, từ B có −a + b = −1. Cộng hai đẳng thức theo từng vế được 2b = 2, suy ra b = 1 và a = 2. Vậy AB là đường thẳng y = 2x + 1. Thay C vào: 2·2 + 1 = 5, đúng bằng tung độ của C. Do đó C thuộc AB, tức ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Bài 20. Tính diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng y = −2x + 4 với hai trục tọa độ.

Lời giải. Đường thẳng cắt Ox tại A(2; 0) và cắt Oy tại B(0; 4). Tam giác OAB vuông tại O, có OA = 2 và OB = 4. Diện tích S = ½·2·4 = 4 (đơn vị diện tích).

Lưu ý: độ dài đoạn thẳng luôn dương. Nếu giao điểm có tọa độ âm, ví dụ (0; −4), thì độ dài tương ứng là 4 chứ không phải −4.

Bài toán thực tế mở rộng

Ví dụ (tự luyện thêm). Một hãng taxi thu phí mở cửa 12 nghìn đồng, sau đó tính 15 nghìn đồng cho mỗi km.

a) Gọi y (nghìn đồng) là số tiền phải trả khi đi x km. Công thức là y = 15x + 12.
b) Đi 8 km thì phải trả y = 15·8 + 12 = 132 (nghìn đồng).
c) Hệ số góc 15 cho biết mỗi km đi thêm làm số tiền tăng 15 nghìn đồng. Tung độ gốc 12 là số tiền phải trả ngay khi lên xe. Vì x ≥ 0 nên đồ thị chỉ là một tia xuất phát từ điểm (0; 12), không phải cả đường thẳng.

Bài tập tự luyện (có đáp số)

Tìm m để đường thẳng y = (m + 2)x − 1 song song với đường thẳng y = −x + 4. Đáp số: m = −3.
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M(−1; 2) và N(1; 6). Đáp số: y = 2x + 4.
Một cây nến cao 20 cm, mỗi giờ cháy ngắn đi 2 cm. Viết công thức tính chiều cao h (cm) của nến sau t giờ và tìm thời điểm nến cháy hết. Đáp số: h = 20 − 2t; nến cháy hết sau 10 giờ.

Tài liệu học tiếp

Giải SGK Toán 8 Bài 4 (Cánh diều): Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b
Giải SBT Toán 8 Bài 4 (Cánh diều)
34 câu trắc nghiệm Đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b có đáp án
Đề thi Toán 8 Cánh diều

Câu hỏi thường gặp

Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b cần mấy điểm?

Cần hai điểm phân biệt, vì qua hai điểm chỉ có đúng một đường thẳng. Hai điểm hay chọn là (0; b) và (−b/a; 0). Nếu b = 0 thì chọn O(0; 0) và A(1; a).

Khi nào hai đường thẳng y = ax + b và y = a'x + b' song song?

Hai đường thẳng song song khi a = a' và b ≠ b'. Nếu a = a' và b = b' thì hai đường thẳng trùng nhau. Nếu a ≠ a' thì chúng cắt nhau.

Hệ số góc của đường thẳng y = 5 − 2x bằng bao nhiêu?

Viết lại thành y = −2x + 5, ta có hệ số góc a = −2. Vì a < 0 nên đường thẳng tạo với trục Ox một góc tù.

Làm sao tìm giao điểm của hai đường thẳng?

Cho hai vế công thức bằng nhau: ax + b = a'x + b'. Giải phương trình này để tìm x, rồi thay x vào một trong hai công thức để tính y.