Trả lời nhanh
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu 21, 22, 23, 24, 25 là ΔQ = 3. Mẫu có 5 giá trị, trung vị Q2 = 23. Nửa dưới (21; 22) có trung vị Q1 = 21,5; nửa trên (24; 25) có trung vị Q3 = 24,5. Vậy ΔQ = Q3 − Q1 = 24,5 − 21,5 = 3.
Khoảng tứ phân vị là gì?
Khoảng tứ phân vị (kí hiệu ΔQ) là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: ΔQ = Q3 − Q1. Nó đo độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu, tức khoảng chứa 50% giá trị ở giữa, nên ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị quá lớn hay quá nhỏ.
Cách tính từng bước
- Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm. Mẫu đã cho vốn đã được sắp: 21, 22, 23, 24, 25.
- Tìm Q2 (trung vị). Mẫu có n = 5 là số lẻ nên Q2 là số đứng giữa: Q2 = 23.
- Tìm Q1. Q1 là trung vị của nửa số liệu bên trái Q2 (không tính chính Q2): 21, 22. Trung vị của hai số này là (21 + 22) : 2 = 21,5.
- Tìm Q3. Q3 là trung vị của nửa bên phải Q2: 24, 25, nên Q3 = (24 + 25) : 2 = 24,5.
- Tính ΔQ = 24,5 − 21,5 = 3.
Bảng tóm tắt
| Đại lượng | Giá trị | Cách có được |
|---|---|---|
| Q1 | 21,5 | Trung vị của (21; 22) |
| Q2 | 23 | Giá trị chính giữa của mẫu |
| Q3 | 24,5 | Trung vị của (24; 25) |
| ΔQ | 3 | Q3 − Q1 |
Lưu ý khi số phần tử là số lẻ hay chẵn
- n lẻ: Q2 là số ở giữa; khi chia nửa thì loại bỏ Q2 khỏi cả hai nửa (đúng như bài này).
- n chẵn: Q2 là trung bình cộng hai số ở giữa; chia mẫu làm hai nửa bằng nhau rồi tìm trung vị mỗi nửa.
Ví dụ n chẵn: mẫu 3, 5, 7, 9, 11, 13. Q2 = (7 + 9) : 2 = 8; nửa dưới 3, 5, 7 có Q1 = 5; nửa trên 9, 11, 13 có Q3 = 11; ΔQ = 6.
Ý nghĩa của kết quả
Mẫu 21 đến 25 phân bố rất đều, các giá trị cách nhau 1 đơn vị. ΔQ = 3 nghĩa là nửa số liệu ở giữa nằm trong khoảng cách 3 đơn vị. Khoảng tứ phân vị thường được dùng thay cho khoảng biến thiên (R = max − min) khi mẫu có vài giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ, vì nó chỉ phụ thuộc vào nửa số liệu ở giữa. Với mẫu nhỏ chỉ 5 giá trị như thế này, hai cách đo cho kết quả gần nhau (R = 4 và ΔQ = 3).
Lỗi sai thường gặp
- Giữ lại Q2 trong mỗi nửa khi n lẻ, dẫn đến Q1 = 22 và Q3 = 24, rồi cho ΔQ = 2. Cách này không theo quy ước trong chương trình phổ thông.
- Nhầm khoảng tứ phân vị với khoảng biến thiên (R = 25 − 21 = 4).
- Quên sắp xếp mẫu theo thứ tự trước khi tìm tứ phân vị.
- Lấy Q1 − Q3 nên ra kết quả âm.
Luyện tập
Câu 1. Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14.
Đáp án: Q2 = 8; Q1 = 4; Q3 = 12; ΔQ = 8.
Câu 2. Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu 10, 20, 30, 40.
Đáp án: Q2 = 25; Q1 = 15; Q3 = 35; ΔQ = 20.
Câu 3. Cho mẫu 1, 3, 5, 7, 9. So sánh khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị.
Đáp án: R = 9 − 1 = 8; Q1 = 2, Q3 = 8 nên ΔQ = 6.
Câu hỏi thường gặp
Khoảng tứ phân vị của mẫu 21, 22, 23, 24, 25 là bao nhiêu?
Bằng 3, vì Q1 = 21,5 và Q3 = 24,5 nên hiệu Q3 − Q1 = 3.
Công thức tính khoảng tứ phân vị là gì?
Khoảng tứ phân vị bằng tứ phân vị thứ ba trừ tứ phân vị thứ nhất, kí hiệu ΔQ = Q3 − Q1.
Khi số phần tử là số lẻ thì có tính Q2 vào hai nửa không?
Không. Khi n lẻ, ta bỏ trung vị Q2 ra rồi mới tìm Q1 và Q3 trên mỗi nửa còn lại.
Khoảng tứ phân vị khác khoảng biến thiên ở điểm nào?
Khoảng biến thiên dùng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất nên bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lai; khoảng tứ phân vị chỉ xét nửa số liệu ở giữa nên ổn định hơn.