Trả lời nhanh
Theo tiên đề Ơ-clít, qua mỗi đỉnh chỉ vẽ được duy nhất một đường thẳng song song với cạnh đối diện. Ba đường thẳng a, b, c vẽ như vậy cắt nhau đôi một, tạo thành một tam giác mới có ba cạnh gấp đôi các cạnh của tam giác ABC; A, B, C chính là trung điểm các cạnh của tam giác mới đó.
Đề bài thường gặp: “Cho tam giác ABC. Vẽ đường thẳng a đi qua A và song song với BC, vẽ đường thẳng b đi qua B và song song với AC, (vẽ đường thẳng c đi qua C và song song với AB)…” rồi hỏi về số đường thẳng vẽ được, các cặp đường thẳng song song hoặc quan hệ giữa các hình tạo thành. Bài viết này giải trọn vẹn tình huống ba đường thẳng, các câu hỏi nhỏ hơn (chỉ có a và b) là trường hợp riêng.
Bước 1: Cách vẽ và số đường thẳng vẽ được
- Dùng thước và êke (hoặc hai êke trượt nhau) để vẽ đường thẳng a qua A, song song với BC.
- Tương tự vẽ b qua B song song với AC, và c qua C song song với AB.
Vì sao mỗi đường chỉ có một? Tiên đề Ơ-clít: qua một điểm nằm ngoài đường thẳng cho trước chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó. A nằm ngoài BC nên a là duy nhất; lập luận tương tự cho b và c.
Bước 2: Ba đường thẳng này có song song với nhau không?
Không. Giả sử a // b. Vì a // BC nên b // BC; mà b // AC nên BC // AC. Hai đường thẳng BC và AC cùng đi qua C nên chúng cắt nhau, không thể song song. Mâu thuẫn, vậy a và b cắt nhau. Hoàn toàn tương tự, b cắt c và c cắt a.
Bước 3: Chứng minh A, B, C là trung điểm các cạnh của tam giác mới
Gọi C’ là giao điểm của a và b, A’ là giao điểm của b và c, B’ là giao điểm của c và a (như hình).
Chứng minh △ABC = △BAC’:
- AB là cạnh chung.
- AC’ // BC nên góc C’AB = góc ABC (so le trong).
- BC’ // AC nên góc C’BA = góc BAC (so le trong).
Suy ra △ABC = △BAC’ (g.c.g), do đó AC’ = BC và BC’ = AC.
Làm tương tự với △ACB’ ta được △ACB’ = △CAB, nên AB’ = BC. Vậy AC’ = AB’ = BC.
Ba điểm C’, A, B’ thẳng hàng: góc C’AB = góc ABC, góc B’AC = góc ACB (so le trong), nên góc C’AB + góc BAC + góc CAB’ = góc ABC + góc BAC + góc ACB = 180°. Vậy C’, A, B’ thẳng hàng (cùng nằm trên a) và A nằm giữa.
Kết luận: A là trung điểm của B’C’, B’C’ = 2BC. Chứng minh y hệt cho B (trung điểm A’C’) và C (trung điểm A’B’).
Hệ quả cần nhớ
| Kết quả | Lý do |
|---|---|
| Tam giác A’B’C’ có các cạnh gấp 2 lần cạnh tương ứng của ABC | B’C’ = 2BC, C’A’ = 2CA, A’B’ = 2AB |
| Chu vi A’B’C’ gấp 2 lần chu vi ABC | Cộng ba cạnh |
| Diện tích A’B’C’ gấp 4 lần diện tích ABC | Chia thành 4 tam giác bằng nhau: ABC, BAC’, CAB’, ACB… tức △ABC và ba tam giác bằng nó |
| ABCB’, ACBC’, ABA’C là các hình bình hành | Có hai cặp cạnh đối song song |
Mẹo nhớ: “Qua mỗi đỉnh kẻ song song cạnh đối – tam giác to ra gấp đôi, đỉnh cũ thành trung điểm.”
Lỗi sai thường gặp
- Cho rằng a, b, c đồng quy hoặc song song với nhau: sai, chúng đôi một cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
- Nhầm cặp góc so le trong thành đồng vị khi chứng minh g.c.g.
- Quên chứng minh C’, A, B’ thẳng hàng trước khi kết luận A là trung điểm.
- Viết “diện tích gấp 2” thay vì gấp 4 (cạnh tăng 2 lần thì diện tích tăng 4 lần).
Bài luyện tập
- Tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 6 cm, CA = 5 cm. Tính chu vi tam giác A’B’C’ tạo bởi ba đường thẳng a, b, c.
Đáp án: chu vi ABC = 15 cm nên chu vi A’B’C’ = 2 × 15 = 30 cm. - Diện tích tam giác ABC bằng 12 cm². Tính diện tích tam giác A’B’C’.
Đáp án: 4 × 12 = 48 cm². - Chứng minh rằng nếu chỉ vẽ a và b thì C’ là điểm sao cho ACBC’ là hình bình hành.
Gợi ý – đáp án: AC’ // CB (a // BC) và BC’ // CA (b // AC), nên tứ giác ACBC’ có hai cặp cạnh đối song song, là hình bình hành.
Câu hỏi thường gặp
Qua A vẽ được bao nhiêu đường thẳng song song với BC?
Chỉ một đường duy nhất, theo tiên đề Ơ-clít vì A nằm ngoài đường thẳng BC.
Hai đường thẳng a và b có thể song song với nhau không?
Không. Nếu a // b thì từ a // BC và b // AC suy ra BC // AC, vô lý vì hai đường này cắt nhau tại C.
Tam giác tạo bởi a, b, c có diện tích gấp mấy lần tam giác ABC?
Gấp 4 lần, vì nó gồm 4 tam giác bằng nhau, mỗi tam giác bằng tam giác ABC.
Vì sao A là trung điểm của đoạn nối hai giao điểm trên đường thẳng a?
Vì hai tam giác bằng nhau theo trường hợp g.c.g cho AC' = AB' = BC, và ba điểm C', A, B' thẳng hàng với A nằm giữa.