Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế: 50 bài tập

Trả lời nhanh

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế gồm 3 bước: (1) từ một phương trình, rút một ẩn theo ẩn kia; (2) thế biểu thức đó vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn và giải; (3) thay ngược để tìm ẩn còn lại, rồi kết luận nghiệm (x; y). Dưới đây là 50 bài tập theo 8 dạng, có lời giải và đáp số.

Phương pháp thế là gì? Các bước giải

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by = c và a’x + b’y = c’. Ý tưởng của phương pháp thế là khử bớt một ẩn: biến hệ hai ẩn thành một phương trình một ẩn mà em đã biết giải.

Rút: chọn một phương trình, biểu diễn x theo y (hoặc y theo x).
Thế: thay biểu thức vừa rút vào phương trình còn lại, thu được phương trình một ẩn.
Giải và thay ngược: giải phương trình một ẩn, thay kết quả vào biểu thức đã rút để tìm ẩn thứ hai.
Kết luận: viết nghiệm dưới dạng cặp số (x; y). Nên thử lại vào cả hai phương trình.

Cách nhận biết số nghiệm khi thế: nếu phương trình một ẩn có dạng 0x = k (k ≠ 0) thì hệ vô nghiệm; nếu có dạng 0x = 0 thì hệ có vô số nghiệm.

Mẹo chọn ẩn để rút và lỗi sai thường gặp

Ưu tiên rút ẩn có hệ số 1 hoặc −1 để tránh phân số.
Nếu không có hệ số 1, rút ẩn có hệ số nhỏ, sau đó nhân cả hai vế với mẫu ngay để khử mẫu.
Hệ có hệ số phân số hoặc thập phân: quy đồng hoặc nhân 10 trước khi giải.
Lỗi hay gặp: quên đặt ngoặc khi thế, ví dụ thế x = 5 − 2y vào 3x thành 3·5 − 2y (sai), đúng phải là 3(5 − 2y) = 15 − 6y.
Lỗi thứ hai: tìm được một ẩn rồi kết luận luôn, quên tìm ẩn còn lại; hoặc viết nghiệm sai thứ tự (y; x).
Với hệ đặt ẩn phụ hoặc có ẩn ở mẫu, phải nêu điều kiện xác định trước và đối chiếu điều kiện khi kết luận.

Dạng 1: Hệ có ẩn với hệ số 1 hoặc −1

Đây là dạng cơ bản nhất: rút ngay ẩn có hệ số 1 hoặc −1.

Bài 1. Giải hệ: x − y = 3 và 3x − 4y = 2.

Lời giải: Từ phương trình đầu: x = y + 3. Thế vào phương trình sau: 3(y + 3) − 4y = 2 ⇔ −y + 9 = 2 ⇔ y = 7. Suy ra x = 7 + 3 = 10. Vậy hệ có nghiệm (10; 7).

Bài 2. Giải hệ: x + 2y = 5 và 3x − y = 1.

Lời giải: Từ phương trình thứ hai: y = 3x − 1. Thế vào phương trình đầu: x + 2(3x − 1) = 5 ⇔ 7x − 2 = 5 ⇔ x = 1. Suy ra y = 3·1 − 1 = 2. Nghiệm (1; 2).

Bài 3. Giải hệ: 2x + y = 7 và x − 3y = −7.

Lời giải: Rút y = 7 − 2x. Thế vào: x − 3(7 − 2x) = −7 ⇔ x − 21 + 6x = −7 ⇔ 7x = 14 ⇔ x = 2. Suy ra y = 7 − 4 = 3. Nghiệm (2; 3).

Bài 4. Giải hệ: 4x − y = 2 và 3x + 2y = 7.

Lời giải: Rút y = 4x − 2. Thế vào: 3x + 2(4x − 2) = 7 ⇔ 11x − 4 = 7 ⇔ x = 1. Suy ra y = 4 − 2 = 2. Nghiệm (1; 2).

Bài 5. Giải hệ: x + 3y = −2 và 5x − 4y = 9.

Lời giải: Rút x = −2 − 3y. Thế vào: 5(−2 − 3y) − 4y = 9 ⇔ −10 − 19y = 9 ⇔ y = −1. Suy ra x = −2 + 3 = 1. Nghiệm (1; −1).

Bài 6. Giải hệ: −2x + y = −3 và 3x + 2y = 8.

Lời giải: Rút y = 2x − 3. Thế vào: 3x + 2(2x − 3) = 8 ⇔ 7x − 6 = 8 ⇔ x = 2. Suy ra y = 4 − 3 = 1. Nghiệm (2; 1).

Dạng 2: Hệ không có hệ số 1 (rút rồi khử mẫu)

Rút một ẩn dưới dạng phân số, sau đó nhân cả phương trình với mẫu chung để tránh tính toán với phân số.

Bài 7. Giải hệ: 2x + 3y = 13 và 3x − 2y = 0.

Lời giải: Từ phương trình thứ hai: 2y = 3x ⇒ y = 3x/2. Thế vào phương trình đầu: 2x + 3·(3x/2) = 13. Nhân hai vế với 2: 4x + 9x = 26 ⇔ 13x = 26 ⇔ x = 2. Suy ra y = 3·2/2 = 3. Nghiệm (2; 3).

Bài 8. Giải hệ: 3x + 5y = 1 và 2x − 3y = 7.

Lời giải: Rút x = (7 + 3y)/2. Thế vào: 3·(7 + 3y)/2 + 5y = 1. Nhân 2: 21 + 9y + 10y = 2 ⇔ 19y = −19 ⇔ y = −1. Suy ra x = (7 − 3)/2 = 2. Nghiệm (2; −1).

Bài 9. Giải hệ: 5x − 2y = 4 và 3x + 4y = 18.

Lời giải: Rút y = (5x − 4)/2. Thế vào: 3x + 4·(5x − 4)/2 = 18 ⇔ 3x + 2(5x − 4) = 18 ⇔ 13x = 26 ⇔ x = 2. Suy ra y = (10 − 4)/2 = 3. Nghiệm (2; 3).

Dạng 3: Hệ có hệ số phân số, thập phân, căn thức

Đưa về hệ số nguyên trước, rồi mới áp dụng phương pháp thế.

Bài 10. Giải hệ: x/2 + y/3 = 3 và x/4 − y/3 = 0.

Lời giải: Nhân phương trình đầu với 6: 3x + 2y = 18. Nhân phương trình sau với 12: 3x − 4y = 0 ⇒ x = 4y/3. Thế vào: 3·(4y/3) + 2y = 18 ⇔ 4y + 2y = 18 ⇔ y = 3. Suy ra x = 4. Nghiệm (4; 3).

Bài 11. Giải hệ: 0,5x + 0,2y = 1,9 và 0,3x − 0,1y = 0,7.

Lời giải: Nhân cả hai phương trình với 10: 5x + 2y = 19 và 3x − y = 7. Rút y = 3x − 7, thế vào: 5x + 2(3x − 7) = 19 ⇔ 11x = 33 ⇔ x = 3. Suy ra y = 9 − 7 = 2. Nghiệm (3; 2).

Bài 12. Giải hệ: x√2 − y = 1 và x + y√2 = 2√2.

Lời giải: Rút y = x√2 − 1. Thế vào: x + √2(x√2 − 1) = 2√2 ⇔ x + 2x − √2 = 2√2 ⇔ 3x = 3√2 ⇔ x = √2. Suy ra y = √2·√2 − 1 = 1. Nghiệm (√2; 1).

Dạng 4: Hệ cần biến đổi, thu gọn trước

Khai triển, chuyển vế, rút gọn để đưa về dạng ax + by = c. Các hạng tử xy ở hai vế thường triệt tiêu nhau.

Bài 13. Giải hệ: (x − 1)(y + 2) = xy + 1 và (x + 2)(y − 1) = xy − 2.

Lời giải: Khai triển phương trình đầu: xy + 2x − y − 2 = xy + 1 ⇔ 2x − y = 3. Phương trình sau: xy − x + 2y − 2 = xy − 2 ⇔ −x + 2y = 0 ⇔ x = 2y. Thế vào: 2·2y − y = 3 ⇔ y = 1, x = 2. Nghiệm (2; 1).

Bài 14. Giải hệ: 2(x − 2) + 3(1 + y) = −2 và 3(x − 2) − 2(1 + y) = −3.

Lời giải: Thu gọn: 2x + 3y = −1 và 3x − 2y = 5. Rút x = (−1 − 3y)/2, thế vào: 3(−1 − 3y)/2 − 2y = 5. Nhân 2: −3 − 9y − 4y = 10 ⇔ −13y = 13 ⇔ y = −1. Suy ra x = (−1 + 3)/2 = 1. Nghiệm (1; −1).

Dạng 5: Đặt ẩn phụ

Khi các biểu thức như 1/x, 1/(x − 1), √x lặp lại, đặt chúng là ẩn mới để được hệ bậc nhất. Nhớ nêu điều kiện và đối chiếu khi kết luận.

Bài 15. Giải hệ: 2/x + 3/y = 2 và 4/x − 3/y = 1.

Lời giải: Điều kiện x ≠ 0, y ≠ 0. Đặt u = 1/x, v = 1/y, ta có 2u + 3v = 2 và 4u − 3v = 1. Từ phương trình đầu: 3v = 2 − 2u. Thế vào: 4u − (2 − 2u) = 1 ⇔ 6u = 3 ⇔ u = 1/2, suy ra 3v = 1 ⇔ v = 1/3. Vậy x = 2, y = 3 (thoả điều kiện). Nghiệm (2; 3).

Bài 16. Giải hệ: 1/(x − 1) + 2/(y + 1) = 2 và 3/(x − 1) − 4/(y + 1) = 1.

Lời giải: Điều kiện x ≠ 1, y ≠ −1. Đặt u = 1/(x − 1), v = 1/(y + 1): u + 2v = 2 và 3u − 4v = 1. Rút u = 2 − 2v, thế vào: 6 − 6v − 4v = 1 ⇔ v = 1/2, u = 1. Suy ra x − 1 = 1 ⇒ x = 2; y + 1 = 2 ⇒ y = 1. Nghiệm (2; 1).

Bài 17. Giải hệ: √x + √y = 5 và 2√x − √y = 4.

Lời giải: Điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0. Đặt u = √x ≥ 0, v = √y ≥ 0: u + v = 5 và 2u − v = 4. Rút v = 5 − u, thế vào: 2u − 5 + u = 4 ⇔ u = 3, v = 2. Suy ra x = 9, y = 4. Nghiệm (9; 4).

Dạng 6: Hệ vô nghiệm, vô số nghiệm

Bài 18. Giải hệ: x − 2y = 3 và −2x + 4y = 1.

Lời giải: Rút x = 3 + 2y, thế vào: −2(3 + 2y) + 4y = 1 ⇔ −6 = 1 (vô lí), tức 0y = 7. Vậy hệ vô nghiệm. Về hình học, hai đường thẳng song song.

Bài 19. Giải hệ: 2x − y = 1 và −4x + 2y = −2.

Lời giải: Rút y = 2x − 1, thế vào: −4x + 2(2x − 1) = −2 ⇔ −2 = −2, tức 0x = 0 luôn đúng. Hệ có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát (x; 2x − 1) với x ∈ ℝ. Hai đường thẳng trùng nhau.

Dạng 7: Hệ chứa tham số, tìm hệ số

Nếu biết nghiệm, thay nghiệm vào hệ để được hệ mới với ẩn là các tham số.

Bài 20. Tìm a, b biết hệ 2x + by = −4 và bx − ay = −5 có nghiệm (1; −2).

Lời giải: Thay x = 1, y = −2 vào phương trình đầu: 2 − 2b = −4 ⇔ b = 3. Thay vào phương trình sau: b + 2a = −5 ⇔ 3 + 2a = −5 ⇔ a = −4. Vậy a = −4, b = 3.

Bài 21. Tìm a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua A(1; 3) và B(2; 1).

Lời giải: Đường thẳng qua A nên a + b = 3; qua B nên 2a + b = 1. Rút b = 3 − a, thế vào: 2a + 3 − a = 1 ⇔ a = −2, b = 5. Vậy y = −2x + 5.

Bài 22. Cho hệ mx − y = 1 và x + y = 3 (m là tham số). a) Giải hệ khi m = 2. b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. c) Tìm m nguyên để nghiệm (x; y) là các số nguyên.

Lời giải: Rút y = 3 − x từ phương trình sau, thế vào: mx − 3 + x = 1 ⇔ (m + 1)x = 4 (*). a) m = 2: 3x = 4 ⇒ x = 4/3, y = 5/3. b) (*) có nghiệm duy nhất khi m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 (khi m = −1, (*) thành 0x = 4, hệ vô nghiệm). c) Với m ≠ −1: x = 4/(m + 1), y = 3 − x. x nguyên khi m + 1 là ước của 4, tức m + 1 ∈ {±1; ±2; ±4} ⇒ m ∈ {0; −2; 1; −3; 3; −5}; khi đó y = 3 − x cũng nguyên.

Dạng 8: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bốn bước: chọn ẩn và đặt điều kiện; lập hai phương trình từ dữ kiện; giải hệ (bằng phương pháp thế); đối chiếu điều kiện và trả lời.

Bài 23. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 50 và hai lần số thứ nhất lớn hơn ba lần số thứ hai là 5.

Lời giải: Gọi hai số là x, y. Ta có x + y = 50 và 2x − 3y = 5. Rút x = 50 − y, thế vào: 100 − 2y − 3y = 5 ⇔ y = 19, x = 31. Hai số cần tìm là 31 và 19.

Bài 24. Mua 3 kg táo và 2 kg cam hết 190 nghìn đồng; mua 2 kg táo và 3 kg cam hết 185 nghìn đồng. Tính giá 1 kg mỗi loại.

Lời giải: Gọi giá 1 kg táo là x, 1 kg cam là y (nghìn đồng, x, y > 0). Ta có 3x + 2y = 190 và 2x + 3y = 185. Rút y = (190 − 3x)/2, thế vào: 2x + 3(190 − 3x)/2 = 185. Nhân 2: 4x + 570 − 9x = 370 ⇔ x = 40, y = 35. Táo 40 nghìn đồng/kg, cam 35 nghìn đồng/kg.

Bài 25. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số bằng 9 và nếu đổi chỗ hai chữ số thì được số mới lớn hơn số cũ 27 đơn vị.

Lời giải: Gọi chữ số hàng chục là a, hàng đơn vị là b (a, b là chữ số, a ≠ 0). Ta có a + b = 9 và (10b + a) − (10a + b) = 27 ⇔ b − a = 3. Rút b = a + 3, thế vào: 2a + 3 = 9 ⇔ a = 3, b = 6. Số cần tìm là 36 (thử lại: 63 − 36 = 27).

Bài 26. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng và hơn chiều rộng 12 m. Tính diện tích mảnh đất.

Lời giải: Gọi chiều dài x, chiều rộng y (m, x > y > 0). Ta có x = 3y và x − y = 12. Thế x = 3y: 2y = 12 ⇔ y = 6, x = 18. Diện tích 18 × 6 = 108 m².

24 bài tự luyện có đáp số (bài 27–50)

Em hãy tự giải bằng phương pháp thế, sau đó đối chiếu đáp số. Mỗi hệ gồm hai phương trình ngăn cách bởi dấu chấm phẩy.

Bài	Hệ phương trình	Đáp số
27	x + y = 10; x − y = 2	(6; 4)
28	2x − y = 1; x + 3y = 11	(2; 3)
29	3x + y = 5; 2x − 3y = −4	(1; 2)
30	x − 4y = −9; 2x + 3y = 4	(−1; 2)
31	4x + 3y = 6; 2x + y = 4	(3; −2)
32	5x + 3y = −1; 2x + y = −1	(−2; 3)
33	x/3 + y/2 = 3; x − y/4 = 2	(3; 4)
34	3x − 2y = 8; 4x + 5y = 3	(2; −1)
35	x + 5y = 2; 3x − 2y = −11	(−3; 1)
36	2x + y = 5; −x + y = −1	(2; 1)
37	2x + 5y = 0; 3x + y = 13	(5; −2)
38	2x − y = 3; −4x + 2y = 1	Vô nghiệm
39	x − 3y = 2; 2x − 6y = 4	Vô số nghiệm (3y + 2; y), y ∈ ℝ
40	2x + y = 4; 4x − y = −1	(1/2; 3)
41	1/x + 2/y = 2; 3/x − 2/y = 2	(1; 2)
42	x − 2y = 2; 3x + y = 13	(4; 1)
43	7x − 3y = −4; x + 2y = −3	(−1; −1)
44	5x + 2y = 6; x − y = −3	(0; 3)
45	2x + 3y = −3; x + y = 0	(3; −3)
46	x/2 − y = 1; x/3 + y/2 = 3	(6; 2)
47	0,2x + 0,1y = 0,9; 0,5x − 0,3y = −0,5	(2; 5)
48	−2x + 3y = 2; x − y = 0	(2; 2)
49	x√3 + y = 4; x − y√3 = 0	(√3; 1)
50	Tìm m để hệ x + y = m; 2x − y = 3 có nghiệm (2; 1)	m = 3

Khi nào nên dùng phương pháp thế, khi nào dùng phương pháp cộng?

Tình huống	Nên dùng
Có ẩn với hệ số 1 hoặc −1	Phương pháp thế
Một phương trình đã có sẵn dạng x = … hoặc y = …	Phương pháp thế
Hệ số của cùng một ẩn bằng nhau hoặc đối nhau	Phương pháp cộng đại số
Hệ số đều lớn, không có hệ số 1	Thường cộng đại số nhanh hơn

Cả hai phương pháp luôn cho cùng một kết quả. Em có thể giải bằng một cách và kiểm tra bằng cách còn lại, hoặc dùng máy tính cầm tay để thử lại nghiệm.

Câu hỏi thường gặp

Phương pháp thế gồm mấy bước?

Gồm 3 bước chính: rút một ẩn theo ẩn kia từ một phương trình, thế vào phương trình còn lại để được phương trình một ẩn và giải, rồi thay ngược để tìm ẩn còn lại và kết luận nghiệm.

Nên rút ẩn nào khi giải hệ bằng phương pháp thế?

Nên rút ẩn có hệ số 1 hoặc −1 để tránh phân số. Nếu không có, rút ẩn có hệ số nhỏ rồi nhân hai vế với mẫu để khử mẫu.

Làm sao biết hệ vô nghiệm hay vô số nghiệm khi dùng phương pháp thế?

Sau khi thế, nếu được 0x = k với k ≠ 0 thì hệ vô nghiệm; nếu được 0x = 0 thì hệ có vô số nghiệm.

Giải hệ phương trình bằng máy tính cầm tay có được không?

Máy tính cầm tay giúp kiểm tra nhanh nghiệm, nhưng bài tự luận vẫn phải trình bày các bước giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.