Khoảng tứ phân vị, khoảng biến thiên: cách tính, ví dụ

Trả lời nhanh

Em sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, rồi tính: khoảng biến thiên R = giá trị lớn nhất − giá trị nhỏ nhất; tìm các tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃, sau đó tính khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q₃ − Q₁. Mẫu nào có các số đo này lớn hơn thì phân tán hơn.

Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị là gì?

Đây là hai số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu, học trong chương Thống kê của Toán 10. Chúng cho biết số liệu “trải rộng” hay “tập trung”.

Khoảng biến thiên R là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu: R = x_max − x_min.
Khoảng tứ phân vị Δ_Q là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất: Δ_Q = Q₃ − Q₁. Nó đo độ phân tán của khoảng 50% số liệu nằm ở “giữa” mẫu.

Phương pháp giải: 4 bước tìm Q₁, Q₂, Q₃

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
Tìm Q₂ – chính là trung vị của mẫu. Nếu số giá trị n lẻ, Q₂ là số đứng chính giữa; nếu n chẵn, Q₂ là trung bình cộng của hai số đứng giữa.
Tìm Q₁ – trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂; tìm Q₃ – trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂. Khi n lẻ, không tính Q₂ vào hai nửa này.
Tính R = x_max − x_min và Δ_Q = Q₃ − Q₁, rồi so sánh giữa các mẫu nếu đề yêu cầu.

Ví dụ 1: So sánh hai mẫu số liệu (n chẵn)

Thời gian tự học mỗi ngày (phút) của 8 bạn ở hai nhóm được ghi lại như sau:

Nhóm	Số liệu (đã sắp xếp)
Nhóm A	30; 35; 40; 45; 45; 50; 55; 60
Nhóm B	20; 25; 40; 45; 45; 50; 70; 90

Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu đó. Nhóm nào có thời gian tự học đồng đều hơn?

Lời giải.

Nhóm A: R_A = 60 − 30 = 30 (phút). Có n = 8 (chẵn) nên Q₂ = (45 + 45) : 2 = 45. Nửa trái: 30; 35; 40; 45 → Q₁ = (35 + 40) : 2 = 37,5. Nửa phải: 45; 50; 55; 60 → Q₃ = (50 + 55) : 2 = 52,5. Vậy Δ_Q = 52,5 − 37,5 = 15 (phút).

Nhóm B: R_B = 90 − 20 = 70 (phút). Q₂ = 45. Nửa trái: 20; 25; 40; 45 → Q₁ = 32,5. Nửa phải: 45; 50; 70; 90 → Q₃ = 60. Vậy Δ_Q = 60 − 32,5 = 27,5 (phút).

Số đặc trưng	Nhóm A	Nhóm B
Trung vị Q₂	45	45
Khoảng biến thiên R	30	70
Khoảng tứ phân vị Δ_Q	15	27,5

Kết luận: hai nhóm có cùng trung vị, nhưng R và Δ_Q của nhóm A đều nhỏ hơn, nên thời gian tự học của nhóm A đồng đều hơn. Đây là lý do ta cần số đo phân tán: chỉ nhìn trung vị thì không phân biệt được hai nhóm.

Ví dụ 2: Mẫu có số giá trị lẻ và giá trị ngoại lệ

Cân nặng (kg) của 11 bạn: 12; 15; 15; 16; 18; 20; 21; 22; 25; 26; 42. Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ (nếu có).

Lời giải. R = 42 − 12 = 30. n = 11 (lẻ) nên Q₂ là số thứ 6: Q₂ = 20.

Bỏ Q₂ ra, nửa trái gồm 12; 15; 15; 16; 18 → Q₁ = 15. Nửa phải gồm 21; 22; 25; 26; 42 → Q₃ = 25. Do đó Δ_Q = 25 − 15 = 10.

Giá trị x được coi là ngoại lệ nếu x > Q₃ + 1,5Δ_Q hoặc x < Q₁ − 1,5Δ_Q. Ở đây Q₃ + 1,5Δ_Q = 25 + 15 = 40 và Q₁ − 1,5Δ_Q = 15 − 15 = 0. Vì 42 > 40 nên 42 là giá trị ngoại lệ.

Vì sao cần cả hai số đặc trưng?

Khoảng biến thiên rất dễ tính nhưng chỉ dùng hai giá trị ở hai đầu, nên dễ bị “kéo” bởi một giá trị bất thường. Ở ví dụ 2, chỉ một bạn 42 kg làm R tăng vọt lên 30.

Khoảng tứ phân vị bỏ qua 25% số liệu nhỏ nhất và 25% số liệu lớn nhất, nên ít bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ. Khi mẫu có giá trị bất thường, Δ_Q phản ánh độ phân tán đáng tin cậy hơn R.

Lỗi sai thường gặp

Quên sắp xếp số liệu trước khi tìm tứ phân vị – lỗi phổ biến nhất, dẫn đến sai toàn bộ.
Tính cả Q₂ vào hai nửa khi n lẻ. Theo cách tính trong sách giáo khoa, khi n lẻ thì loại số trung vị ra khỏi hai nửa.
Nhầm Δ_Q với R, hoặc lấy Q₃ − Q₂.
Quên đơn vị: R và Δ_Q có cùng đơn vị với số liệu (phút, kg, điểm…).

Bài tập tự luyện có đáp án

Bài 1. Điểm kiểm tra của 10 bạn: 5; 6; 6; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 10. Tìm R và Δ_Q.
Đáp án: R = 5; Q₂ = 7,5; Q₁ = 6; Q₃ = 8; Δ_Q = 2.

Bài 2. Mẫu số liệu: 3; 7; 8; 10; 12; 13; 15. Tìm R và Δ_Q.
Đáp án: R = 12; Q₂ = 10; Q₁ = 7; Q₃ = 13; Δ_Q = 6.

Câu hỏi thường gặp

Công thức tính khoảng tứ phân vị là gì?

ΔQ = Q3 − Q1, trong đó Q1 và Q3 lần lượt là tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của mẫu số liệu đã sắp xếp.

Khi số giá trị lẻ, có tính trung vị vào hai nửa khi tìm Q1, Q3 không?

Không. Khi n lẻ, em bỏ giá trị trung vị Q2 ra, rồi tìm trung vị của nửa bên trái (Q1) và nửa bên phải (Q3).

Khoảng tứ phân vị khác khoảng biến thiên thế nào?

Khoảng biến thiên dùng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất nên dễ bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ; khoảng tứ phân vị đo độ phân tán của khoảng 50% số liệu ở giữa nên ổn định hơn.

Làm sao xác định giá trị ngoại lệ?

Giá trị x là ngoại lệ nếu x > Q3 + 1,5ΔQ hoặc x < Q1 − 1,5ΔQ.