Trả lời nhanh
Chọn D. Với M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA thì MNPQ là hình bình hành, nên vectơ MN = vectơ QP, vectơ QP = vectơ MN và vectơ MQ = vectơ NP. Vectơ MN không bằng vectơ AC: vectơ MN chỉ bằng một nửa vectơ AC. Một số phiếu in ý D dưới dạng độ dài MN bằng độ dài AC; ý ấy cũng sai, cùng một lí do.
Đề bài và các phương án
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Khẳng định nào sau đây sai?
- A. Vectơ MN = vectơ QP.
- B. Vectơ QP = vectơ MN.
- C. Vectơ MQ = vectơ NP.
- D. Vectơ MN = vectơ AC.
Lưu ý: thứ tự phương án có thể khác trong đề của em. A và B là cùng một đẳng thức viết đảo hai vế. Đẳng thức vectơ có tính đối xứng, nên nếu A đúng thì B đúng. Ý cần tìm là ý sai, và ý sai là D.
Vì sao D sai, còn A, B, C đúng
Đặt vectơ vị trí của bốn đỉnh là A, B, C, D. Trung điểm có vectơ vị trí bằng trung bình cộng hai đầu mút:
- M = (A + B)/2, nên M nằm trên AB.
- N = (B + C)/2.
- P = (C + D)/2.
- Q = (D + A)/2.
Vectơ MN = N − M = (B + C)/2 − (A + B)/2 = (C − A)/2 = (1/2) vectơ AC.
Vectơ QP = P − Q = (C + D)/2 − (D + A)/2 = (C − A)/2 = (1/2) vectơ AC.
Hai kết quả bằng nhau, nên vectơ MN = vectơ QP. Viết đảo vế được vectơ QP = vectơ MN. A và B đúng. Hệ quả là MN song song PQ, MN = PQ, và hai vectơ cùng hướng.
Làm tương tự với cặp còn lại. Vectơ MQ = Q − M = (D + A)/2 − (A + B)/2 = (D − B)/2 = (1/2) vectơ BD. Vectơ NP = P − N = (C + D)/2 − (B + C)/2 = (D − B)/2. Vậy vectơ MQ = vectơ NP. C đúng.
D viết vectơ MN = vectơ AC. Ở trên vectơ MN chỉ bằng một nửa vectơ AC. Hai vectơ cùng hướng nhưng độ dài MN bằng AC/2, không bằng AC, trừ khi AC = 0, tức tứ giác suy biến. Với tứ giác thường, D sai. Đó là đáp án.
Cách hình học, không dùng tọa độ: trong tam giác ABC, M và N là trung điểm nên MN là đường trung bình, MN song song AC và MN = AC/2. Trong tam giác ADC, Q và P là trung điểm nên QP song song AC và QP = AC/2. Suy ra MN song song và bằng QP, MNPQ là hình bình hành. Trong hình bình hành, vectơ hai cạnh đối bằng nhau, nên A, B, C đúng. Đường trung bình chỉ bằng nửa đáy, nên D sai.
Hình tạo bởi bốn trung điểm
Tứ giác nối trung điểm bốn cạnh gọi là hình bình hành Varignon. Nó là hình bình hành với mọi tứ giác lồi ABCD, không cần ABCD là hình thang hay hình bình hành. Hai cạnh đối của MNPQ lần lượt song song với hai đường chéo của ABCD và bằng nửa đường chéo ấy: MN = PQ = AC/2, MQ = NP = BD/2.
Từ đó đọc được ba trường hợp đặc biệt, hay ra ở câu hỏi phụ:
| Thêm giả thiết về ABCD | Suy ra cho MNPQ | Lí do ngắn |
|---|---|---|
| AC = BD | hình thoi | hai cạnh kề MN và MQ bằng nhau |
| AC vuông góc BD | hình chữ nhật | MN song song AC, MQ song song BD nên vuông góc |
| AC = BD và AC vuông góc BD | hình vuông | vừa là hình thoi vừa là hình chữ nhật |
Nếu ABCD là hình chữ nhật không vuông thì hai đường chéo bằng nhau nhưng không vuông góc, MNPQ là hình thoi không vuông. Nếu ABCD là hình thoi không vuông thì hai đường chéo vuông góc nhưng không bằng nhau, MNPQ là hình chữ nhật không vuông.
Vì sao từng ý nhiễu
A đúng vì MN và QP cùng bằng một nửa AC và cùng hướng từ phía A sang phía C. Em đừng thấy chữ QP khác chữ PQ mà cho là sai. Vectơ PQ thì ngược chiều, vectơ QP thì cùng chiều với MN.
B chỉ là A viết lại. Trong một số phiếu, chỗ B được in thành độ dài QP bằng độ dài MN. Ý đó cũng đúng, vì hai cạnh đối của hình bình hành bằng nhau. Không phải ý cần chọn.
C đúng nhờ đường chéo còn lại. Vectơ MQ và vectơ NP cùng bằng một nửa vectơ BD. Nếu em nhầm MQ với QM, chiều sẽ ngược và đẳng thức sai; đề viết MQ và NP, đúng chiều.
D lấy cả đường chéo thay vì một nửa. Đây là lỗi quên hệ số 1/2 của đường trung bình. Nếu phiếu in |MN| = |AC| thì vẫn là ý sai, vì độ dài cũng chỉ bằng một nửa.
Ba câu luyện
Câu 1. AC = 10 cm. Độ dài MN bằng bao nhiêu? Đáp án: 5 cm, vì MN = AC/2.
Câu 2. AC = 8 cm, BD = 6 cm và AC vuông góc BD. MNPQ là hình gì? MN và MQ bằng bao nhiêu? Đáp án: hình chữ nhật không vuông, MN = 4 cm, MQ = 3 cm. Hai cạnh kề khác nhau nên không phải hình vuông. Góc tại M vuông vì hai đường chéo của ABCD vuông góc.
Câu 3. ABCD có AC = BD = 12 cm và AC vuông góc BD. MNPQ là hình gì, cạnh bằng bao nhiêu? Đáp án: hình vuông cạnh 6 cm. Kiểm tra: MN = MQ = 6 và MN vuông góc MQ.
Khi khoanh, em đọc kĩ đề hỏi “khẳng định sai” hay “khẳng định đúng”. Bài này hỏi ý sai, nên khoanh D. Nếu đề hỏi ý đúng, A, B và C đều đúng, không có một ý đúng duy nhất; dạng ấy thường đổi D thành một mệnh đề khác để chỉ còn một đáp án.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao đáp án A và B giống nhau mà vẫn không phải ý sai?
Vectơ MN bằng vectơ QP và vectơ QP bằng vectơ MN là cùng một đẳng thức, viết đảo vế. Cả hai đều đúng. Ý sai là ý D.
Nếu đề in độ dài MN bằng độ dài AC thì chọn gì?
Vẫn chọn ý ấy. Độ dài MN bằng một nửa AC, không bằng AC. Một số phiếu viết D bằng độ dài, một số viết bằng vectơ; chỗ sai là coi MN bằng cả đường chéo.
MNPQ là hình thoi khi nào?
Khi hai đường chéo AC và BD bằng nhau, vì cạnh MN bằng AC/2 và cạnh MQ bằng BD/2.
MNPQ là hình chữ nhật khi nào?
Khi AC vuông góc BD. Khi đó MN song song AC, MQ song song BD nên MN vuông góc MQ, hình bình hành có một góc vuông.
MNPQ là hình vuông khi nào?
Khi vừa AC bằng BD vừa AC vuông góc BD. Khi đó MNPQ là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.