Trả lời nhanh
Chọn C. (BDD’B’) // (ACC’A’) là mệnh đề sai. Hai mặt chéo (BDD’B’) và (ACC’A’) của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có chung hai điểm O (giao của AC và BD) và O’ (giao của A’C’ và B’D’), nên chúng cắt nhau theo giao tuyến OO’ chứ không song song. Ba phương án còn lại đều là các cặp mặt đối diện của hình hộp, luôn song song với nhau.
Đề bài trắc nghiệm
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Mệnh đề nào sau đây sai?
- A. (ABCD) // (A’B’C’D’)
- B. (AA’D’D) // (BCC’B’)
- C. (BDD’B’) // (ACC’A’)
- D. (ABB’A’) // (CDD’C’)
Lưu ý: thứ tự phương án có thể khác trong đề của em.
Đáp án: C.
Giải thích vì sao C sai
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của đáy ABCD, O’ là giao điểm của A’C’ và B’D’ ở đáy trên.
- O nằm trên AC nên O thuộc mặt phẳng (ACC’A’); O nằm trên BD nên O thuộc mặt phẳng (BDD’B’).
- Tương tự, O’ thuộc cả hai mặt phẳng đó.
Hai mặt phẳng phân biệt có hai điểm chung O và O’ thì chúng cắt nhau theo đường thẳng OO’. Hai mặt phẳng song song thì không có điểm chung nào, vậy mệnh đề (BDD’B’) // (ACC’A’) là sai.
Thêm một nhận xét: OO’ song song và bằng cạnh bên AA’ (vì O, O’ là trung điểm tương ứng của AC và A’C’, mà ACC’A’ là hình bình hành). Đây là chi tiết hay được dùng khi bài toán hỏi tiếp giao tuyến của hai mặt chéo.
Vì sao các phương án A, B, D đúng
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành, nên cả sáu mặt đều là hình bình hành và các mặt đối diện song song với nhau. Ba cặp mặt đối diện là:
- A đúng: (ABCD) và (A’B’C’D’) là hai đáy của hình lăng trụ, luôn nằm trên hai mặt phẳng song song.
- B đúng: trong (BCC’B’) có BC // AD và BB’ // AA’. Hai đường thẳng cắt nhau BC, BB’ cùng song song với mặt phẳng (AA’D’D), nên (BCC’B’) // (AA’D’D).
- D đúng: lập luận tương tự với DC // AB và DD’ // AA’, nên (CDD’C’) // (ABB’A’).
Cách chứng minh chung: muốn chứng minh (P) // (Q), em chỉ ra trong (P) có hai đường thẳng cắt nhau, mỗi đường song song với một đường nằm trong (Q).
Kiến thức cần nhớ về hình hộp ABCD.A’B’C’D’
| Tính chất | Nội dung |
|---|---|
| Các mặt | 6 mặt đều là hình bình hành; 3 cặp mặt đối diện song song |
| Mặt chéo | (ACC’A’) và (BDD’B’) là hình bình hành, cắt nhau theo OO’ |
| Đường chéo | 4 đường chéo AC’, BD’, CA’, DB’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường |
| Quy tắc hình hộp (vectơ) | vectơ AB + vectơ AD + vectơ AA’ = vectơ AC’ |
| Hình hộp chữ nhật | Thêm điều kiện các mặt là hình chữ nhật; khi đó 4 đường chéo bằng nhau |
Lỗi thường gặp
- Thấy hai mặt chéo “nằm đối xứng” trên hình vẽ nên tưởng chúng song song. Thực ra mọi mặt phẳng chứa một đường chéo đáy và cạnh bên đều đi qua tâm O của đáy.
- Nhầm tính chất của hình hộp chữ nhật sang hình hộp thường, ví dụ cho rằng bốn đường chéo của mọi hình hộp đều bằng nhau.
- Chứng minh hai mặt phẳng song song nhưng chỉ chỉ ra hai đường thẳng song song nhau (không cắt nhau) trong cùng một mặt phẳng, như vậy chưa đủ.
Bài tập tự luyện (có đáp án)
- Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng (A’BD) song song với mặt phẳng nào: A. (BCA’); B. (CB’D’); C. (BC’D); D. (A’C’C)?
Đáp án: B. Ta có BD // B’D’ và A’B // D’C (vì A’BCD’ là hình bình hành), nên (A’BD) // (CB’D’). - Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tổng vectơ AB + AD + AA’ bằng vectơ nào?
Đáp án: vectơ AC’ (quy tắc hình hộp). - Mệnh đề “Bốn đường chéo của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ luôn bằng nhau” đúng hay sai?
Đáp án: Sai. Bốn đường chéo chỉ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường; chúng bằng nhau khi hình hộp là hình hộp chữ nhật.
Câu hỏi thường gặp
Hai mặt chéo của hình hộp có song song không?
Không. Hai mặt chéo (ACC'A') và (BDD'B') cùng chứa O và O' nên cắt nhau theo giao tuyến OO'.
Hình hộp ABCD.A'B'C'D' có mấy cặp mặt song song?
Có 3 cặp mặt đối diện song song: (ABCD) và (A'B'C'D'), (ABB'A') và (CDD'C'), (ADD'A') và (BCC'B').
Quy tắc hình hộp là gì?
Với hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta có vectơ AB + vectơ AD + vectơ AA' = vectơ AC'.
Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song cần điều kiện gì?
Chỉ ra một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau, mỗi đường song song với mặt phẳng kia.