Giải mỗi phương trình sau: a) 3^(x – 1) = 5; b) 3^(x² – 4x + 5) = 9… (SBT Toán 11 Cánh diều)

Bài này là Bài 61 trang 50 sách bài tập Toán 11 Cánh diều tập 2, thuộc Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. Đề bài thường bị gõ thành “3x – 1 = 5” khi tìm kiếm, nhưng thực chất là phương trình mũ 3^{x − 1} = 5, không phải phương trình bậc nhất.

Đề bài

Giải mỗi phương trình sau:

• a) 3^{x − 1} = 5;
• b) 3^{x² − 4x + 5} = 9;
• c) 2^{2x + 3} = 8√2;
• d) 8^{x − 2} = 4^{1 − 2x};
• e) 2^{x² − 3x − 2} = 0,25 · 16^{x − 3};
• g) 2^{x² − 4x + 4} = 3.

Phương pháp giải phương trình mũ cơ bản

Với 0 < a ≠ 1, em dùng một trong hai cách sau:

1. Đưa về cùng cơ số: a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x). Cách này dùng khi hai vế viết được thành lũy thừa của cùng một số (ví dụ 8 = 2³, 4 = 2², 0,25 = 2⁻², √2 = 2^1/2).
2. Lôgarit hóa: a^f(x) = b với b > 0 ⇔ f(x) = log_ab. Cách này dùng khi vế phải không phải lũy thừa “đẹp” của a. Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm, vì a^f(x) luôn dương.

Sau khi bỏ cơ số, phương trình thường trở thành phương trình bậc nhất hoặc bậc hai quen thuộc.

Lời giải chi tiết từng câu

a) 3^{x − 1} = 5

Vì 5 > 0 nên lấy lôgarit cơ số 3 hai vế:

3^{x − 1} = 5 ⇔ x − 1 = log₃5 ⇔ x = 1 + log₃5.

Giá trị gần đúng: log₃5 = ln5/ln3 ≈ 1,465, nên x ≈ 2,465.

Kết luận: phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 + log₃5. Em cũng có thể viết x = log₃15, vì 1 + log₃5 = log₃3 + log₃5 = log₃15.

b) 3^{x² − 4x + 5} = 9

Viết 9 = 3², ta có:

3^{x² − 4x + 5} = 3² ⇔ x² − 4x + 5 = 2 ⇔ x² − 4x + 3 = 0.

Phương trình bậc hai có a + b + c = 1 − 4 + 3 = 0 nên có hai nghiệm x = 1 và x = 3.

Thử lại: với x = 1, số mũ bằng 1 − 4 + 5 = 2; với x = 3, số mũ bằng 9 − 12 + 5 = 2. Cả hai đều cho 3² = 9.

c) 2^{2x + 3} = 8√2

Ta có 8√2 = 2³ · 2^1/2 = 2^7/2. Do đó:

2^{2x + 3} = 2^7/2 ⇔ 2x + 3 = 7/2 ⇔ 2x = 1/2 ⇔ x = 1/4.

Thử lại: 2 · (1/4) + 3 = 7/2, đúng.

d) 8^{x − 2} = 4^{1 − 2x}

Đưa cả hai vế về cơ số 2: 8^{x − 2} = 2^{3(x − 2)} và 4^{1 − 2x} = 2^{2(1 − 2x)}.

3(x − 2) = 2(1 − 2x) ⇔ 3x − 6 = 2 − 4x ⇔ 7x = 8 ⇔ x = 8/7.

Thử lại: 3(8/7 − 2) = 3 · (−6/7) = −18/7 và 2(1 − 16/7) = 2 · (−9/7) = −18/7. Hai số mũ bằng nhau.

e) 2^{x² − 3x − 2} = 0,25 · 16^{x − 3}

Ta có 0,25 = 2⁻² và 16^{x − 3} = 2^{4(x − 3)} = 2^{4x − 12}, nên vế phải bằng 2^{−2 + 4x − 12} = 2^{4x − 14}.

x² − 3x − 2 = 4x − 14 ⇔ x² − 7x + 12 = 0 ⇔ (x − 3)(x − 4) = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = 4.

Thử lại: với x = 3: vế trái 2⁻² = 0,25, vế phải 0,25 · 16⁰ = 0,25. Với x = 4: vế trái 2² = 4, vế phải 0,25 · 16 = 4. Cả hai đều đúng.

g) 2^{x² − 4x + 4} = 3

Số mũ là x² − 4x + 4 = (x − 2)². Vì 3 không phải lũy thừa nguyên của 2 nên lấy lôgarit cơ số 2:

(x − 2)² = log₂3.

Vì log₂3 > 0 nên x − 2 = ±√(log₂3), suy ra x = 2 + √(log₂3) hoặc x = 2 − √(log₂3).

Gần đúng: log₂3 ≈ 1,585, √1,585 ≈ 1,259, nên x ≈ 3,259 hoặc x ≈ 0,741.

Bảng tổng hợp đáp số

Câu	Cách làm	Nghiệm
a	Lôgarit cơ số 3	x = 1 + log35 ≈ 2,465
b	Viết 9 = 32	x = 1; x = 3
c	Viết 8√2 = 27/2	x = 1/4
d	Đưa về cơ số 2	x = 8/7
e	Đưa về cơ số 2	x = 3; x = 4
g	Lôgarit cơ số 2	x = 2 ± √(log23)

Lỗi sai thường gặp

• Đọc nhầm đề thành 3x − 1 = 5 rồi giải ra x = 2. Thay x = 2 vào phương trình mũ được 3¹ = 3 ≠ 5, nên x = 2 không phải nghiệm.
• Viết x − 1 = log₅3 thay vì log₃5. Cơ số của lôgarit phải là cơ số của lũy thừa, tức là 3.
• Quên dấu ± ở câu g, chỉ lấy x = 2 + √(log₂3) và mất một nghiệm.
• Tính sai 8√2 thành 2^3/2 hoặc 2⁴. Nhớ quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: cộng số mũ, 3 + 1/2 = 7/2.
• Nhân phân phối sai ở câu d: 3(x − 2) = 3x − 6 chứ không phải 3x − 2.

Bài tập tương tự (có đáp án)

1. Giải phương trình 2^{x + 1} = 16. Đáp án: 16 = 2⁴ nên x + 1 = 4, x = 3.
2. Giải phương trình 5^{x² − x} = 25. Đáp án: x² − x = 2 ⇔ x² − x − 2 = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = −1.
3. Giải phương trình 9^x = 27^{x − 1}. Đáp án: 3^2x = 3^{3x − 3} ⇔ 2x = 3x − 3 ⇔ x = 3.
4. Giải phương trình 7^2x = 10. Đáp án: 2x = log₇10 nên x = (1/2)log₇10 ≈ 0,592.
5. Giải phương trình 3^x = −9. Đáp án: vô nghiệm vì 3^x > 0 với mọi x.

Câu hỏi thường gặp

Phương trình 3^(x – 1) = 5 có nghiệm là gì?

Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế được x – 1 = log₃5, nên x = 1 + log₃5 = log₃15, xấp xỉ 2,465.

Khi nào dùng lôgarit hóa, khi nào đưa về cùng cơ số?

Nếu hai vế viết được thành lũy thừa của cùng một số thì đưa về cùng cơ số. Nếu vế phải là số dương không phải lũy thừa đẹp của cơ số, như 3^(x – 1) = 5, thì lấy lôgarit hai vế.

Phương trình a^x = b vô nghiệm khi nào?

Với 0 < a ≠ 1, phương trình a^x = b vô nghiệm khi b ≤ 0, vì lũy thừa a^x luôn dương.

Vì sao 8√2 bằng 2 mũ 7/2?

Vì 8 = 2³ và √2 = 2^(1/2). Nhân hai lũy thừa cùng cơ số thì cộng số mũ: 3 + 1/2 = 7/2.

Bài học liên quan

• Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Mệnh đề nào sau đây sai? (Đáp án và giải thích)
• Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Chứng minh (OMN) song song với (SBC)
• Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: tổng hợp kiến thức, công thức 9 chương (hay, chi tiết)
• Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện cắt bởi (IBC) là
• Tính logarit cơ số 1/2 của 8 bằng bao nhiêu? Lời giải chi tiết và logarit cơ số e
• Cho dãy số (un) biết un = 5^n/n^2. Mệnh đề nào sau đây đúng? – Đáp án và lời giải