Trả lời nhanh
Bài toán tính ngược từ cuối lớp 3. Bài toán tính ngược từ cuối là dạng toán cho biết kết quả cuối cùng sau một chuỗi phép tính (hoặc chuỗi thêm, bớt, gấp, giảm) và yêu cầu tìm số ban đầu. Cách giải: bắt đầu từ kết quả cuối, đi ngược lại từng bước và thay mỗi phép tính bằng phép tính ngược của nó (cộng thành trừ, trừ thành cộng, nhân thành chia, chia thành nhân). Ví dụ: một số cộng 15 rồi trừ 8 được 40 thì số đó là 40 + 8 − 15 = 33.
Bài toán tính ngược từ cuối là gì?
Trong Toán lớp 3, em thường gặp các bài như: “Nghĩ một số, đem số đó nhân 4 rồi cộng 12 thì được 60. Tìm số đã nghĩ” hoặc “Mẹ có một số quả trứng, biếu bà 12 quả, mua thêm 20 quả rồi dùng 15 quả thì còn 25 quả. Hỏi lúc đầu mẹ có bao nhiêu quả?”. Điểm chung của chúng là:
- Số ban đầu chưa biết.
- Số đó trải qua nhiều bước biến đổi theo một thứ tự rõ ràng.
- Đề cho biết kết quả sau bước cuối cùng.
Khi thấy ba dấu hiệu này, em dùng phương pháp tính ngược từ cuối. Đây cũng là cách nghĩ rất hữu ích khi học lên các lớp trên (giải bài tìm x nhiều bước).
Phương pháp giải bài toán tính ngược từ cuối
- Tóm tắt thứ tự các bước bằng sơ đồ mũi tên: số ban đầu → bước 1 → bước 2 → … → kết quả.
- Bắt đầu từ kết quả cuối, đi ngược chiều mũi tên. Ở mỗi bước, dùng phép tính ngược.
- Thử lại: lấy số vừa tìm được tính xuôi theo đề, nếu ra đúng kết quả đề cho là bài làm đúng.
| Đề cho (tính xuôi) | Khi tính ngược em làm |
|---|---|
| Thêm, cộng với a | Bớt, trừ đi a |
| Bớt, trừ đi a, cho đi a | Thêm, cộng với a |
| Gấp lên a lần, nhân với a | Giảm đi a lần, chia cho a |
| Giảm đi a lần, chia cho a, lấy một phần a | Gấp lên a lần, nhân với a |
| Cho đi (bán đi) một nửa | Phần còn lại là một nửa, nên nhân với 2 |
Dạng 1: Tìm số khi biết kết quả của một dãy phép tính
Ví dụ 1. Một số cộng với 15 rồi trừ đi 8 thì được 40. Tìm số đó.
Lời giải: Trước khi trừ 8, số đó là 40 + 8 = 48. Trước khi cộng 15, số đó là 48 − 15 = 33. Vậy số cần tìm là 33. Thử lại: 33 + 15 = 48; 48 − 8 = 40 (đúng).
Ví dụ 2. Nghĩ một số, đem số đó nhân với 4 rồi cộng thêm 12 thì được 60. Tìm số đã nghĩ.
Lời giải: Trước khi cộng 12: 60 − 12 = 48. Trước khi nhân 4: 48 : 4 = 12. Số đã nghĩ là 12. Thử lại: 12 × 4 = 48; 48 + 12 = 60 (đúng).
Ví dụ 3. Một số chia cho 3 rồi nhân với 5 thì được 35. Tìm số đó.
Lời giải: Trước khi nhân 5: 35 : 5 = 7. Trước khi chia 3: 7 × 3 = 21. Số cần tìm là 21. Thử lại: 21 : 3 = 7; 7 × 5 = 35 (đúng).
Dạng 2: Bài toán có lời văn thêm, bớt nhiều lần
Ví dụ 4. Mẹ có một số quả trứng. Mẹ biếu bà 12 quả, sau đó mua thêm 20 quả, rồi dùng 15 quả để làm bánh thì còn lại 25 quả. Hỏi lúc đầu mẹ có bao nhiêu quả trứng?
Lời giải:
- Trước khi làm bánh, mẹ có: 25 + 15 = 40 (quả).
- Trước khi mua thêm, mẹ có: 40 − 20 = 20 (quả).
- Trước khi biếu bà, tức lúc đầu, mẹ có: 20 + 12 = 32 (quả).
Đáp số: 32 quả trứng. Thử lại: 32 − 12 = 20; 20 + 20 = 40; 40 − 15 = 25 (đúng).
Mẹo trình bày: mỗi bước viết một câu “Trước khi …, … có:” giúp bài giải rõ ràng và thầy cô dễ chấm.
Dạng 3: Bài toán có gấp, giảm và “một nửa”
Ví dụ 5. Lan có một số nhãn vở. Lan cho Hoa một nửa số nhãn vở, rồi cho Mai 6 nhãn vở thì Lan còn 9 nhãn vở. Hỏi lúc đầu Lan có bao nhiêu nhãn vở?
Lời giải: Trước khi cho Mai, Lan có: 9 + 6 = 15 (nhãn vở). Số này là một nửa số nhãn vở ban đầu (vì Lan đã cho Hoa một nửa). Lúc đầu Lan có: 15 × 2 = 30 (nhãn vở). Đáp số: 30 nhãn vở. Thử lại: 30 : 2 = 15; 15 − 6 = 9 (đúng).
Ví dụ 6. Một cửa hàng có một số bao gạo. Ngày thứ nhất bán một nửa số bao gạo, ngày thứ hai bán một nửa số bao còn lại thì còn 15 bao. Hỏi lúc đầu cửa hàng có bao nhiêu bao gạo?
Lời giải: Sau ngày thứ nhất còn: 15 × 2 = 30 (bao). Lúc đầu có: 30 × 2 = 60 (bao). Đáp số: 60 bao gạo. Thử lại: 60 : 2 = 30; 30 : 2 = 15 (đúng).
Ví dụ 7. Tìm một số, biết rằng gấp số đó lên 3 lần rồi bớt đi 18 thì được 6 chục.
Lời giải: 6 chục = 60. Trước khi bớt 18: 60 + 18 = 78. Trước khi gấp 3 lần: 78 : 3 = 26. Số cần tìm là 26. Thử lại: 26 × 3 = 78; 78 − 18 = 60 (đúng).
Dạng 4 (nâng cao): “Một nửa và thêm”
Ví dụ 8. Một bác bán cam. Lần thứ nhất bác bán một nửa số cam và thêm 2 quả. Lần thứ hai bác bán một nửa số cam còn lại và thêm 2 quả. Cuối cùng bác còn 10 quả. Hỏi lúc đầu bác có bao nhiêu quả cam?
Lời giải: Ở mỗi lần bán, nếu không bán thêm 2 quả thì số cam còn lại đúng bằng một nửa số cam trước lần đó.
- Trước lần bán thứ hai: một nửa số cam lúc đó là 10 + 2 = 12 (quả), nên số cam là 12 × 2 = 24 (quả).
- Trước lần bán thứ nhất: một nửa số cam là 24 + 2 = 26 (quả), nên số cam lúc đầu là 26 × 2 = 52 (quả).
Đáp số: 52 quả cam. Thử lại: lần 1 bán 26 + 2 = 28 quả, còn 24 quả; lần 2 bán 12 + 2 = 14 quả, còn 10 quả (đúng).
Lỗi thường gặp khi giải
- Đi ngược nhưng không đổi phép tính: thấy “trừ 8” lại tiếp tục trừ 8. Hãy nhớ: đi ngược thì làm ngược.
- Sai thứ tự: tính ngược phải bắt đầu từ bước cuối cùng của đề, không bắt đầu từ bước đầu.
- Dạng “một nửa và thêm”: nhiều em lấy 10 × 2 + 2 thay vì (10 + 2) × 2. Phải cộng phần “thêm” trước rồi mới nhân 2.
- Bỏ bước thử lại: chỉ mất một phút nhưng giúp phát hiện ngay chỗ nhầm.
Bài tập tự luyện có đáp án
- Một số trừ đi 25 rồi cộng với 14 thì được 50. Tìm số đó. Đáp án: 50 − 14 + 25 = 61.
- Một số nhân với 6 rồi trừ đi 9 thì được 45. Tìm số đó. Đáp án: (45 + 9) : 6 = 9.
- An cho em 8 viên bi, sau đó được bố cho thêm 15 viên thì An có 40 viên bi. Hỏi lúc đầu An có bao nhiêu viên bi? Đáp án: 40 − 15 + 8 = 33 viên bi.
- Một thùng có một số lít dầu. Lần thứ nhất lấy ra một nửa số dầu, lần thứ hai lấy ra 7 lít thì trong thùng còn 13 lít. Hỏi lúc đầu thùng có bao nhiêu lít dầu? Đáp án: (13 + 7) × 2 = 40 lít.
- Nghĩ một số, chia số đó cho 4, được bao nhiêu cộng thêm 7, rồi nhân với 2 thì được 30. Tìm số đã nghĩ. Đáp án: 30 : 2 = 15; 15 − 7 = 8; 8 × 4 = 32.
- Bà có một số quả bưởi. Bà cho cô Lan một nửa số bưởi và thêm 1 quả thì bà còn 9 quả. Hỏi lúc đầu bà có bao nhiêu quả bưởi? Đáp án: (9 + 1) × 2 = 20 quả.
- Một người bán trứng: lần đầu bán một nửa số trứng và thêm 1 quả, lần sau bán một nửa số còn lại và thêm 1 quả thì còn 10 quả. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu quả trứng? Đáp án: (10 + 1) × 2 = 22; (22 + 1) × 2 = 46 quả.
Gợi ý cho phụ huynh khi kèm con học
Với học sinh lớp 3, hãy cho con vẽ sơ đồ mũi tên trước khi tính, dùng đồ vật thật (que tính, viên bi) để “diễn” lại câu chuyện theo chiều ngược. Khi con đã quen, chuyển sang các bài có 3–4 bước và bài “một nửa và thêm”. Nên khuyến khích con tự đặt đề cho bố mẹ giải: đây là cách kiểm tra con đã hiểu thứ tự các bước hay chưa.
Câu hỏi thường gặp
Bài toán tính ngược từ cuối là gì?
Là dạng toán cho biết kết quả sau một chuỗi phép tính hoặc thêm bớt, yêu cầu tìm số ban đầu bằng cách đi ngược từ kết quả cuối.
Khi tính ngược thì đổi phép tính như thế nào?
Cộng đổi thành trừ, trừ đổi thành cộng, nhân đổi thành chia, chia đổi thành nhân; nếu đề nói cho đi một nửa thì khi tính ngược nhân phần còn lại với 2.
Một số cộng 15 rồi trừ 8 được 40, số đó là bao nhiêu?
Số đó là 33, vì 40 + 8 = 48 và 48 − 15 = 33.
Làm sao kiểm tra bài toán tính ngược đã đúng chưa?
Lấy số vừa tìm được tính xuôi lại theo đúng thứ tự trong đề; nếu ra đúng kết quả đề cho thì bài làm đúng.
Dạng bán một nửa và thêm vài quả giải thế nào?
Ở mỗi bước, cộng số quả bán thêm vào số còn lại rồi mới nhân với 2, làm lần lượt từ bước cuối về bước đầu.