20 Bài tập diện tích xung quanh và thể tích hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều có đáp án – Toán 8

A. Bài tập diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều

Các bài tập được chia thành bốn dạng. Trước khi làm, em nên vẽ hình, đánh dấu cạnh đáy, trung đoạn và chiều cao để không nhầm ba đại lượng này với nhau. Các giá trị có căn bậc hai được giữ ở dạng chính xác, kèm giá trị gần đúng khi cần.

Dạng 1. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần

Bài 1. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy 6 cm, trung đoạn 8 cm. Tính diện tích xung quanh.

Lời giải: Mỗi mặt bên là tam giác cân có đáy 6 cm, đường cao 8 cm nên có diện tích ½ · 6 · 8 = 24 (cm²). Hình chóp có 3 mặt bên: S_xq = 3 · 24 = 72 (cm²). Cách khác: p = (3 · 6) : 2 = 9 cm, S_xq = p · d = 9 · 8 = 72 (cm²).

Bài 2. Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 10 cm, trung đoạn 13 cm. Tính S_xq và S_tp.

Lời giải: Nửa chu vi đáy p = (4 · 10) : 2 = 20 (cm). S_xq = 20 · 13 = 260 (cm²). Đáy là hình vuông nên S_đáy = 10² = 100 (cm²). S_tp = 260 + 100 = 360 (cm²).

Bài 3. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy 6 cm, chiều cao SO = 4 cm. Tính diện tích toàn phần.

Lời giải: Gọi M là trung điểm BC thì OM = 6 : 2 = 3 (cm) và tam giác SOM vuông tại O. Theo định lí Pythagore, trung đoạn SM = √(4² + 3²) = √25 = 5 (cm). S_xq = p · d = 12 · 5 = 60 (cm²), S_đáy = 36 cm², nên S_tp = 96 (cm²).

Bài 4. Hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng 4 cm. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần.

Lời giải: Vì mọi cạnh bằng nhau nên bốn mặt đều là tam giác đều cạnh 4 cm. Đường cao của tam giác đều cạnh 4 cm là 4√3 : 2 = 2√3 (cm), nên mỗi mặt có diện tích ½ · 4 · 2√3 = 4√3 (cm²). S_xq = 3 · 4√3 = 12√3 ≈ 20,78 (cm²); S_tp = 4 · 4√3 = 16√3 ≈ 27,71 (cm²).

Bài 5. Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 8 cm, cạnh bên 5 cm. Tính diện tích xung quanh.

Lời giải: Mặt bên là tam giác cân có hai cạnh bên 5 cm, đáy 8 cm. Trung đoạn chia đôi cạnh đáy nên d = √(5² − 4²) = √9 = 3 (cm). S_xq = p · d = 16 · 3 = 48 (cm²).

Bài 6. Một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 5 cm và diện tích xung quanh 70 cm². Tính trung đoạn.

Lời giải: Từ S_xq = p · d suy ra d = S_xq : p. Nửa chu vi đáy p = 10 cm, nên d = 70 : 10 = 7 (cm).

Dạng 2. Tính thể tích và các yếu tố liên quan

Bài 7. Tính thể tích hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 9 cm và chiều cao 10 cm.

Lời giải: S_đáy = 9² = 81 (cm²). V = ⅓ · 81 · 10 = 270 (cm³).

Bài 8. Hình chóp tam giác đều có diện tích đáy 20 cm², chiều cao 9 cm. Tính thể tích.

Lời giải: V = ⅓ · S_đáy · h = ⅓ · 20 · 9 = 60 (cm³).

Bài 9. Tính thể tích hình chóp tam giác đều có cạnh đáy 6 cm và chiều cao 5 cm.

Lời giải: Đáy là tam giác đều cạnh 6 cm, đường cao của đáy là 6√3 : 2 = 3√3 (cm), nên S_đáy = ½ · 6 · 3√3 = 9√3 (cm²). Thể tích V = ⅓ · 9√3 · 5 = 15√3 ≈ 25,98 (cm³).

Bài 10. Hình chóp tứ giác đều có thể tích 96 cm³, cạnh đáy 6 cm. Tính chiều cao.

Lời giải: Từ V = ⅓ · S_đáy · h suy ra h = 3V : S_đáy = (3 · 96) : 36 = 8 (cm).

Bài 11. Hình chóp tứ giác đều có thể tích 200 cm³, chiều cao 6 cm. Tính chu vi đáy.

Lời giải: S_đáy = 3V : h = 600 : 6 = 100 (cm²). Đáy là hình vuông nên cạnh đáy bằng √100 = 10 (cm), chu vi đáy là 4 · 10 = 40 (cm).

Bài 12. Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 6 cm, trung đoạn 5 cm. Tính chiều cao và thể tích của hình chóp.

Lời giải: Gọi O là tâm đáy, M là trung điểm một cạnh đáy: OM = 3 cm, SM = 5 cm, tam giác SOM vuông tại O. Chiều cao SO = √(5² − 3²) = 4 (cm). V = ⅓ · 36 · 4 = 48 (cm³).

Dạng 3. Bài toán thực tế

Bài 13. Một chiếc lều cắm trại có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy 2,4 m, trung đoạn 2 m. Tính diện tích vải bạt làm bốn mặt bên của lều. Nếu cần thêm 10% cho đường may và nếp gấp thì phải mua bao nhiêu mét vuông vải?

Lời giải: Vải làm mặt bên chính là diện tích xung quanh: S_xq = p · d = 4,8 · 2 = 9,6 (m²). Tính thêm 10%: 9,6 · 1,1 = 10,56 (m²).

Bài 14. Một mô hình kim tự tháp làm bằng thạch cao có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy 30 cm, chiều cao 20 cm. Tính thể tích thạch cao cần dùng (coi mô hình đặc).

Lời giải: V = ⅓ · 30² · 20 = 6000 (cm³) = 6 dm³, tức khoảng 6 lít thạch cao.

Bài 15. Bạn Lan gấp một hộp quà hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng 10 cm. Tính diện tích giấy tối thiểu cần dùng (không tính mép dán).

Lời giải: Hộp có 4 mặt là tam giác đều cạnh 10 cm. Diện tích một mặt là ½ · 10 · 5√3 = 25√3 (cm²). Diện tích giấy là 4 · 25√3 = 100√3 ≈ 173,2 (cm²).

Bài 16. Mái một chòi nghỉ có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy 6 m, trung đoạn 4 m. Mỗi mét vuông mái cần 22 viên ngói. Hỏi cần bao nhiêu viên ngói để lợp mái?

Lời giải: Diện tích mái là S_xq = p · d = 12 · 4 = 48 (m²). Số viên ngói cần dùng: 48 · 22 = 1056 (viên).

Bài 17. Từ một khối gỗ lập phương cạnh 6 cm, người ta tiện thành một khối chóp tứ giác đều có đáy là một mặt của khối lập phương và đỉnh là tâm của mặt đối diện. Tính thể tích phần gỗ bị bỏ đi.

Lời giải: Thể tích khối lập phương: 6³ = 216 (cm³). Khối chóp có đáy 6 × 6 và chiều cao bằng cạnh lập phương 6 cm: V = ⅓ · 36 · 6 = 72 (cm³). Phần bỏ đi: 216 − 72 = 144 (cm³), tức gấp đôi thể tích khối chóp.

Dạng 4. Trắc nghiệm nhanh

Bài 18. Thể tích của hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy S và chiều cao h là:

• A. V = S · h
• B. V = ⅓ · S · h
• C. V = ½ · S · h
• D. V = 3 · S · h

Đáp án B. Phương án A là công thức của hình lăng trụ đứng; C và D không đúng với bất kì khối nào trong chương trình lớp 8.

Bài 19. Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy 4 cm, chiều cao 6 cm thì có thể tích là:

• A. 96 cm³
• B. 32 cm³
• C. 48 cm³
• D. 24 cm³

Đáp án B. V = ⅓ · 16 · 6 = 32 (cm³). Nếu quên nhân ⅓ em sẽ chọn nhầm A.

Bài 20. Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy 8 cm, trung đoạn 6 cm. Diện tích xung quanh là:

• A. 144 cm²
• B. 96 cm²
• C. 72 cm²
• D. 48 cm²

Đáp án C. p = 12 cm, S_xq = 12 · 6 = 72 (cm²). Phương án A là kết quả khi dùng cả chu vi thay vì nửa chu vi.

B. Lý thuyết diện tích xung quanh và thể tích của hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều

1. Nhận biết hình chóp đều

• Hình chóp tam giác đều: đáy là tam giác đều, ba mặt bên là các tam giác cân bằng nhau, ba cạnh bên bằng nhau.
• Hình chóp tứ giác đều: đáy là hình vuông, bốn mặt bên là các tam giác cân bằng nhau, bốn cạnh bên bằng nhau.
• Chiều cao h là đoạn nối đỉnh với tâm O của đáy (vuông góc với đáy). Với đáy hình vuông, O là giao điểm hai đường chéo; với đáy tam giác đều, O là giao điểm các đường trung tuyến.
• Trung đoạn d là đường cao của mặt bên kẻ từ đỉnh, nó đi qua trung điểm cạnh đáy. Trung đoạn luôn dài hơn chiều cao.

2. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần

Diện tích xung quanh là tổng diện tích các mặt bên. Vì các mặt bên là những tam giác bằng nhau có đáy là cạnh đáy a và đường cao là trung đoạn d, ta có:

Hình	Diện tích xung quanh	Diện tích đáy
Chóp tam giác đều, cạnh đáy a	Sxq = 3 · ½ · a · d = p · d	Sđáy = a2√3 : 4
Chóp tứ giác đều, cạnh đáy a	Sxq = 4 · ½ · a · d = 2ad = p · d	Sđáy = a2

Diện tích toàn phần: S_tp = S_xq + S_đáy. Ví dụ: chóp tứ giác đều cạnh đáy 3 cm, trung đoạn 7 cm có S_xq = 6 · 7 = 42 cm² và S_tp = 42 + 9 = 51 cm².

3. Thể tích

Thể tích hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều đều tính bằng V = ⅓ · S_đáy · h. Có thể kiểm chứng bằng thí nghiệm: đổ đầy cát vào một hình chóp rồi rót sang hình lăng trụ cùng đáy, cùng chiều cao, cần đúng 3 lần mới đầy. Ví dụ: chóp tam giác đều có diện tích đáy 12 cm², chiều cao 5 cm thì V = ⅓ · 12 · 5 = 20 cm³.

Ba công thức biến đổi hay dùng:

• Biết V và S_đáy: h = 3V : S_đáy.
• Biết V và h: S_đáy = 3V : h, rồi suy ra cạnh đáy.
• Với chóp tứ giác đều cạnh đáy a: h² + (a/2)² = d² (tam giác vuông tạo bởi chiều cao, nửa cạnh đáy và trung đoạn).

Những lỗi thường gặp khi làm bài

• Nhầm trung đoạn với chiều cao. Diện tích xung quanh dùng trung đoạn d, còn thể tích dùng chiều cao h. Nếu đề chỉ cho một đại lượng, em dùng tam giác vuông SOM để tính đại lượng còn lại.
• Quên hệ số ⅓. Đây là lỗi làm kết quả gấp 3 lần đáp án, thường bị cài vào phương án nhiễu.
• Dùng chu vi thay cho nửa chu vi trong công thức S_xq = p · d.
• Tính sai diện tích tam giác đều. Hãy nhớ đường cao tam giác đều cạnh a là a√3 : 2, nên diện tích là a²√3 : 4.
• Không đổi đơn vị. 1 m³ = 1000 dm³ = 1 000 000 cm³; 1 dm³ = 1 lít.

Bài tập tự luyện có đáp số

1. Hình chóp tứ giác đều cạnh đáy 12 cm, chiều cao 8 cm. Tính trung đoạn và diện tích toàn phần. Đáp số: d = 10 cm; S_tp = 240 + 144 = 384 cm².
2. Hình chóp tam giác đều có diện tích đáy 15 cm², thể tích 40 cm³. Tính chiều cao. Đáp số: h = 8 cm.
3. Hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2 cm. Tính diện tích toàn phần. Đáp số: 4√3 + 4 ≈ 10,93 cm².
4. Một chụp đèn hình chóp tứ giác đều (không có đáy) có cạnh đáy 30 cm, trung đoạn 25 cm. Tính diện tích vải làm chụp đèn. Đáp số: 1500 cm².

Câu hỏi thường gặp

Công thức tính thể tích hình chóp tam giác đều là gì?

V = ⅓ · S đáy · h, trong đó S đáy là diện tích tam giác đều ở đáy (bằng a²√3 : 4 với cạnh đáy a) và h là chiều cao từ đỉnh xuống tâm đáy.

Trung đoạn của hình chóp đều là gì?

Trung đoạn là đường cao của một mặt bên kẻ từ đỉnh hình chóp; nó vuông góc với cạnh đáy tại trung điểm của cạnh đó.

Diện tích xung quanh hình chóp tứ giác đều tính thế nào?

S xq = p · d = 2 · a · d, với a là cạnh đáy hình vuông và d là trung đoạn. Ví dụ a = 5 cm, d = 7 cm thì S xq = 70 cm².

Làm sao tính chiều cao hình chóp tứ giác đều khi biết trung đoạn?

Dùng tam giác vuông SOM: h² = d² − (a/2)². Ví dụ cạnh đáy 6 cm, trung đoạn 5 cm thì h = √(25 − 9) = 4 cm.

Thể tích hình chóp so với hình lăng trụ cùng đáy, cùng chiều cao thì thế nào?

Thể tích hình chóp bằng một phần ba thể tích hình lăng trụ có cùng diện tích đáy và cùng chiều cao.

Bài học liên quan

• Cho a – b = 4 và ab = 3, tính a³ – b³: đáp án và cách giải
• Giải các phương trình: 3x − 2 = 2x − 3; 3 − 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y
• Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức: cách làm, ví dụ lớp 8
• Hình lăng trụ đứng tứ giác có bao nhiêu đỉnh, cạnh, mặt?
• Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình gì?
• Hình lăng trụ đứng tam giác có bao nhiêu cạnh? Đáp án và cách đếm