Vị trí tương đối giữa điểm, mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu: lý thuyết, bài tập và đáp án

A. Lý thuyết tóm tắt về vị trí tương đối trong không gian Oxyz

Phần này gom lại toàn bộ điều kiện em cần nhớ, theo đúng thứ tự thường gặp trong đề: hai mặt phẳng, hai đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng, rồi đến điểm, mặt phẳng và đường thẳng với mặt cầu. Kí hiệu chung: mặt phẳng (α): A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 có pháp tuyến n₁ = (A₁; B₁; C₁); mặt phẳng (β): A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 có pháp tuyến n₂ = (A₂; B₂; C₂).

1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

• (α) cắt (β) khi n₁ và n₂ không cùng phương, tức là bộ (A₁; B₁; C₁) không tỉ lệ với (A₂; B₂; C₂).
• (α) song song (β) khi A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ ≠ D₁/D₂ (khi các mẫu khác 0).
• (α) trùng (β) khi A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂ = D₁/D₂.
• Trường hợp đặc biệt: (α) ⊥ (β) khi n₁·n₂ = A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

Khi hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt này tới mặt kia. Nếu đã đưa về cùng bộ (A; B; C), em dùng nhanh công thức d = |D₁ − D₂| / √(A² + B² + C²).

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho đường thẳng d đi qua M, có vectơ chỉ phương u; đường thẳng d’ đi qua N, có vectơ chỉ phương v. Kí hiệu [u, v] là tích có hướng.

Vị trí	Điều kiện
Trùng nhau	u, v cùng phương và M thuộc d’
Song song	u, v cùng phương và M không thuộc d’
Cắt nhau	[u, v] ≠ 0 và [u, v]·MN = 0
Chéo nhau	[u, v]·MN ≠ 0 (không đồng phẳng)

Hai đường thẳng đồng phẳng khi [u, v]·MN = 0; nhóm này gồm cắt nhau, song song và trùng nhau. Riêng điều kiện vuông góc chỉ cần u·v = 0, áp dụng được cho cả cắt nhau lẫn chéo nhau.

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d: x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct (đi qua M₀(x₀; y₀; z₀), chỉ phương u = (a; b; c)) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 có pháp tuyến n = (A; B; C).

• d cắt (α) khi u·n = Aa + Bb + Cc ≠ 0.
• d song song (α) khi u·n = 0 và M₀ không thuộc (α).
• d nằm trong (α) khi u·n = 0 và M₀ thuộc (α).
• d ⊥ (α) khi u và n cùng phương.

Cách làm nhanh hơn là thế x, y, z theo t vào phương trình mặt phẳng: được phương trình bậc nhất ẩn t. Có đúng một nghiệm thì cắt; vô nghiệm thì song song; nghiệm đúng với mọi t thì đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

4. Vị trí tương đối của điểm và mặt cầu

Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². Với điểm M: IM < R thì M nằm trong mặt cầu, IM = R thì M nằm trên mặt cầu, IM > R thì M nằm ngoài mặt cầu. Để tránh căn, em so sánh IM² với R².

5. Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Tính d = d(I, (α)) = |Aa + Bb + Cc + D| / √(A² + B² + C²).

• d > R: (α) và (S) không có điểm chung.
• d = R: (α) tiếp xúc (S) tại H, với H là hình chiếu vuông góc của I lên (α); (α) gọi là tiếp diện.
• d < R: (α) cắt (S) theo một đường tròn có tâm H (hình chiếu của I) và bán kính r = √(R² − d²). Khi d = 0, đó là đường tròn lớn, r = R.

6. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng Δ (đi qua M, chỉ phương u): d(I, Δ) = |[IM, u]| / |u|. So sánh với R giống hệt mặt phẳng: lớn hơn R thì không cắt, bằng R thì tiếp xúc (Δ là tiếp tuyến), nhỏ hơn R thì cắt tại hai điểm A, B với AB = 2√(R² − d²). Nếu cần tọa độ giao điểm, em thế phương trình tham số của Δ vào phương trình mặt cầu để được phương trình bậc hai theo t: hai nghiệm, nghiệm kép hay vô nghiệm tương ứng với cắt, tiếp xúc hay không cắt.

B. Bài tập vị trí tương đối có lời giải chi tiết

Ví dụ 1 (hai mặt phẳng). Xét vị trí tương đối của (P): x − 2y + 2z − 3 = 0 với (Q): 2x − 4y + 4z + 1 = 0 và với (R): 2x + y − 5 = 0.

Lời giải. Với (P) và (Q): 1/2 = (−2)/(−4) = 2/4 = 1/2, còn D₁/D₂ = −3/1 = −3 ≠ 1/2, nên (P) // (Q). Viết lại (Q) thành x − 2y + 2z + 1/2 = 0 để cùng bộ hệ số, khoảng cách d = |−3 − 1/2| / √(1 + 4 + 4) = (7/2)/3 = 7/6. Với (P) và (R): n_P·n_R = 1·2 + (−2)·1 + 2·0 = 0, nên (P) ⊥ (R).

Ví dụ 2 (hai đường thẳng). Cho d: x = 1 + t, y = −1 + 2t, z = −t và d’: x = 4 + 2s, y = 2 + s, z = s. Chứng minh d và d’ cắt nhau, tìm giao điểm.

Lời giải. d qua M(1; −1; 0), u = (1; 2; −1); d’ qua N(4; 2; 0), v = (2; 1; 1). Tích có hướng [u, v] = (2·1 − (−1)·1; (−1)·2 − 1·1; 1·1 − 2·2) = (3; −3; −3) ≠ 0. MN = (3; 3; 0), nên [u, v]·MN = 9 − 9 + 0 = 0. Vậy d và d’ cắt nhau. Giải hệ 1 + t = 4 + 2s, −1 + 2t = 2 + s, −t = s: thay s = −t vào phương trình đầu được 3t = 3, t = 1, s = −1; phương trình thứ hai cũng đúng (1 = 1). Giao điểm là (2; 1; −1).

Nếu thay d’ bằng d” đi qua P(0; 0; 1) với chỉ phương w = (1; 1; 1), ta có [u, w] = (3; −2; −1) và MP = (−1; 1; 1), tích hỗn tạp bằng −3 − 2 − 1 = −6 ≠ 0, nên d và d” chéo nhau.

Ví dụ 3 (đường thẳng và mặt phẳng). Cho d: x = 1 + t, y = 2 − t, z = 3 + 2t. Xét vị trí của d với (α): x + 3y + z − 4 = 0 và với (β): 2x + y − z + 1 = 0.

Lời giải. u = (1; −1; 2), M(1; 2; 3). Với (α): u·n = 1 − 3 + 2 = 0; thay M: 1 + 6 + 3 − 4 = 6 ≠ 0, nên d // (α). Với (β): u·n = 2 − 1 − 2 = −1 ≠ 0, nên d cắt (β). Thế tham số: 2(1 + t) + (2 − t) − (3 + 2t) + 1 = 2 − t = 0, suy ra t = 2, giao điểm (3; 0; 7). Kiểm tra: 6 + 0 − 7 + 1 = 0, đúng.

Ví dụ 4 (mặt phẳng và mặt cầu). Cho (S): (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 9. Xét vị trí của (S) với (P): 2x − y + 2z − 1 = 0 và (Q): 2x − y + 2z − 7 = 0.

Lời giải. Tâm I(1; −2; 3), R = 3. d(I, (P)) = |2 + 2 + 6 − 1| / 3 = 9/3 = 3 = R, nên (P) tiếp xúc (S). Tiếp điểm là hình chiếu của I: H = I − (9/9)(2; −1; 2) = (−1; −1; 1); kiểm tra H thuộc (P): −2 + 1 + 2 − 1 = 0 và IH² = 4 + 1 + 4 = 9. Với (Q): d = |2 + 2 + 6 − 7| / 3 = 1 < 3, nên (Q) cắt (S) theo đường tròn bán kính r = √(9 − 1) = 2√2, tâm H’ = I − (3/9)(2; −1; 2) = (1/3; −5/3; 7/3).

Ví dụ 5 (đường thẳng và mặt cầu). Cho (S): x² + y² + z² = 9 và Δ: x = 1 + t, y = 2 − t, z = 2t. Tìm giao điểm và độ dài dây cung.

Lời giải. Thế vào (S): (1 + t)² + (2 − t)² + 4t² = 9 ⇔ 6t² − 2t − 4 = 0 ⇔ 3t² − t − 2 = 0, được t = 1 hoặc t = −2/3. Hai giao điểm A(2; 1; 2) và B(1/3; 8/3; −4/3). Độ dài AB = (5/3)·√(1 + 1 + 4) = 5√6/3 ≈ 4,08. Kiểm tra bằng công thức khoảng cách: [OM, u] với M(1; 2; 0), u = (1; −1; 2) là (4; −2; −3), nên d(O, Δ) = √29/√6; AB = 2√(9 − 29/6) = 2√(25/6) = 5√6/3, khớp.

Ví dụ 6 (điểm và mặt cầu). Điểm A(2; −1; 1) nằm ở đâu so với mặt cầu ở Ví dụ 4? Ta có IA² = 1 + 1 + 4 = 6 < 9 = R², nên A nằm trong mặt cầu. Hệ quả: mọi mặt phẳng đi qua A đều cắt (S) theo một đường tròn.

Ví dụ 7 (tìm tham số để tiếp xúc). Tìm m để (P): x + 2y − 2z + m = 0 tiếp xúc mặt cầu tâm I(1; 0; −2), bán kính 2.

Lời giải. d(I, (P)) = |1 + 0 + 4 + m| / 3 = 2 ⇔ |m + 5| = 6 ⇔ m = 1 hoặc m = −11. Nhớ lấy đủ hai giá trị, vì có hai tiếp diện song song nhau ở hai phía tâm.

Ví dụ 8 (tìm tham số để song song). Tìm m để d: (x − 1)/2 = (y + 1)/m = (z − 2)/1 song song với (P): x + y − 3z + 4 = 0.

Lời giải. Điều kiện u·n = 2 + m − 3 = 0 cho m = 1. Kiểm tra điểm M(1; −1; 2) của d: 1 − 1 − 6 + 4 = −2 ≠ 0, M không thuộc (P). Vậy m = 1. Nếu bỏ bước kiểm tra điểm, em có thể nhận nhầm trường hợp d nằm trong (P).

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

1. Vị trí của (P): x + y − z + 1 = 0 và (Q): 2x + 2y − 2z + 2 = 0 là: A. cắt nhau; B. song song; C. trùng nhau; D. vuông góc.
2. Hai mặt phẳng x − y + 2z − 1 = 0 và 2x + 4y + z + 3 = 0: A. song song; B. vuông góc; C. trùng nhau; D. cắt nhau nhưng không vuông góc.
3. Đường thẳng d: x = 1 + t, y = −t, z = 2 + t và (P): x + 2y + z − 3 = 0: A. d cắt (P); B. d // (P); C. d nằm trong (P); D. d ⊥ (P).
4. Mặt cầu x² + y² + z² − 2x + 4y − 4 = 0 và mặt phẳng 2x + 2y − z + 10 = 0: A. không cắt; B. tiếp xúc; C. cắt theo đường tròn bán kính √17/3; D. cắt theo đường tròn lớn.
5. Giá trị m để x − 2y + 2z + m = 0 tiếp xúc (S): (x − 2)² + (y − 1)² + (z + 1)² = 4 là: A. m = 2; B. m = 8 hoặc m = −4; C. m = −8 hoặc m = 4; D. m = 6.
6. Điểm A(1; 2; 2) so với mặt cầu x² + y² + z² = 9: A. nằm trong; B. nằm trên; C. nằm ngoài; D. là tâm.
7. d: (x − 1)/2 = y/1 = (z + 1)/(−1) và d’: x = 3 + 4t, y = 1 + 2t, z = −2t: A. cắt nhau; B. chéo nhau; C. song song; D. trùng nhau.
8. Trục Ox và mặt cầu tâm I(0; 3; 4), bán kính 5: A. không cắt; B. tiếp xúc; C. cắt tại hai điểm; D. Ox đi qua tâm.
9. Mặt cầu tâm I(1; 1; 1), bán kính 2 cắt mặt phẳng x + y + z = 0 theo đường tròn có bán kính: A. 1; B. √3; C. 2; D. √2.
10. Giá trị m để d: (x − 1)/2 = (y + 1)/m = z/(−1) vuông góc với (P): 4x − 2y − 2z + 1 = 0 là: A. m = 1; B. m = −2; C. m = −1; D. m = 2.

C. Đáp án và hướng dẫn nhanh

Câu	Đáp án	Gợi ý
1	C	Mọi hệ số kể cả D đều tỉ lệ 1/2
2	B	Tích vô hướng hai pháp tuyến: 2 − 4 + 2 = 0
3	C	u·n = 1 − 2 + 1 = 0 và M(1; 0; 2) thỏa: 1 + 0 + 2 − 3 = 0
4	C	I(1; −2; 0), R = 3, d = 8/3, r = √(9 − 64/9) = √17/3
5	B	|m − 2|/3 = 2
6	B	OA2 = 1 + 4 + 4 = 9 = R2
7	C	v = 2u; N(3; 1; 0) cho (z + 1)/(−1) = −1 ≠ 1, không thuộc d
8	B	d(I, Ox) = √(32 + 42) = 5 = R
9	A	d = 3/√3 = √3, r = √(4 − 3) = 1
10	C	(2; m; −1) cùng phương (4; −2; −2) nên tỉ số 1/2, m = −1

Những lỗi thường gặp khi xét vị trí tương đối

• Quên kiểm tra điểm. Điều kiện u·n = 0 chỉ cho biết d song song hoặc nằm trong mặt phẳng; phải thay một điểm của d để phân biệt.
• Kết luận cắt nhau chỉ vì vectơ không cùng phương. Hai đường thẳng có chỉ phương không cùng phương vẫn có thể chéo nhau; luôn tính thêm tích hỗn tạp [u, v]·MN.
• So sánh tỉ số khi có hệ số bằng 0. Khi một hệ số bằng 0, em xét trực tiếp n₁ = k·n₂ thay vì viết phân số có mẫu 0.
• Tính sai tâm và bán kính. Với dạng x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0, tâm là (a; b; c) và R² = a² + b² + c² − d; chú ý đổi dấu.
• Bỏ sót nghiệm khi giải trị tuyệt đối. Bài tìm m để tiếp xúc thường có hai đáp án.

Câu hỏi thường gặp

Làm sao biết hai mặt phẳng song song hay trùng nhau?

Nếu các hệ số A, B, C tỉ lệ với nhau thì hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau. Hệ số tự do D cũng theo cùng tỉ lệ thì trùng nhau, khác tỉ lệ thì song song.

Hai đường thẳng chéo nhau khi nào?

Khi tích hỗn tạp [u, v]·MN khác 0, tức là hai đường thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng. Khi đó chúng không cắt nhau và cũng không song song.

Đường thẳng song song với mặt phẳng cần điều kiện gì?

Vectơ chỉ phương u vuông góc với pháp tuyến n (u·n = 0) và một điểm bất kì của đường thẳng không thuộc mặt phẳng.

Bán kính đường tròn giao tuyến của mặt phẳng và mặt cầu tính thế nào?

Tính d là khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng, rồi lấy r = √(R² − d²). Tâm đường tròn là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu lên mặt phẳng.

Đường thẳng tiếp xúc mặt cầu khi nào?

Khi khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng bằng bán kính R. Thế phương trình tham số vào mặt cầu sẽ được phương trình bậc hai có nghiệm kép.

Bài học liên quan

• Tìm tham số m để hàm số bậc ba đồng biến, nghịch biến trên R: phương pháp và bài tập có lời giải
• Một nhà máy sản xuất xe đạp cho thị trường châu Âu theo đơn giá 120 euro: lời giải bài toán lợi nhuận lớn nhất
• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức | Giải bài tập Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1, Tập 2 (hay, chi tiết)
• Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo | Giải bài tập Toán 12 Chân trời sáng tạo Tập 1, Tập 2 (hay, chi tiết)
• Cho hàm số y = f(x) có đồ thị f'(x) như hình vẽ: số điểm cực trị của hàm số
• Khảo sát và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất: phương pháp, bài tập