Trả lời nhanh
Nếu A ∩ B = ∅ thì A \ B = A và B \ A = B. Lí do: hai tập không có phần tử chung, nên khi lấy A bớt đi các phần tử thuộc B thì không có phần tử nào của A bị loại; tương tự với B \ A. Trong câu trắc nghiệm thường gặp, đáp án đúng là phương án ghi “A \ B = A và B \ A = B”.
Đề bài và các phương án
Câu hỏi: Cho hai tập hợp A và B thỏa mãn A ∩ B = ∅ (A giao B là tập rỗng). Khẳng định nào sau đây đúng?
- A. A \ B = ∅ và B \ A = ∅
- B. A \ B = A và B \ A = B
- C. A \ B = B và B \ A = A
- D. A \ B = A ∪ B và B \ A = ∅
Lưu ý: thứ tự phương án có thể khác trong đề của em.
Đáp án: B.
Lời giải chi tiết
Nhắc lại định nghĩa hiệu của hai tập hợp: A \ B = {x | x ∈ A và x ∉ B}, tức là gồm những phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.
Ta chứng minh A \ B = A bằng cách chỉ ra hai tập chứa nhau theo cả hai chiều:
- A \ B ⊂ A: điều này luôn đúng với mọi tập A, B, vì mỗi phần tử của A \ B trước hết phải thuộc A.
- A ⊂ A \ B: lấy x bất kì thuộc A. Nếu x cũng thuộc B thì x ∈ A ∩ B, trái với giả thiết A ∩ B = ∅. Vậy x ∉ B, nghĩa là x ∈ A \ B.
Từ hai ý trên suy ra A \ B = A. Lập luận hoàn toàn tương tự (đổi vai trò A và B) cho ta B \ A = B.
Ví dụ minh họa: A = {1; 2; 3}, B = {4; 5}. Hai tập không có phần tử chung nên A ∩ B = ∅. Khi đó A \ B = {1; 2; 3} = A và B \ A = {4; 5} = B, đúng như kết luận.
Vì sao các phương án còn lại sai?
- Phương án A sai: A \ B = ∅ chỉ xảy ra khi mọi phần tử của A đều thuộc B, tức A ⊂ B. Với hai tập rời nhau và A khác rỗng, điều đó không thể xảy ra. Ở ví dụ trên, A \ B = {1; 2; 3} ≠ ∅.
- Phương án C sai: mọi phần tử của A \ B đều thuộc A, nên A \ B không thể bằng B (trừ trường hợp đặc biệt cả hai tập đều rỗng). Đây là lỗi nhầm thứ tự khi đọc kí hiệu.
- Phương án D sai: A \ B là một phần của A nên không thể chứa các phần tử của B; vì vậy A \ B = A ∪ B chỉ đúng khi B = ∅. Còn B \ A = ∅ cũng sai vì B \ A = B.
A giao B là gì? Kiến thức cần nhớ về giao, hợp, hiệu
Giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu A ∩ B, là tập gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B: A ∩ B = {x | x ∈ A và x ∈ B}. Khi A ∩ B = ∅, ta nói A và B là hai tập hợp rời nhau (không giao nhau).
| Phép toán | Kí hiệu | Phần tử thuộc tập kết quả khi |
|---|---|---|
| Giao | A ∩ B | x ∈ A và x ∈ B |
| Hợp | A ∪ B | x ∈ A hoặc x ∈ B |
| Hiệu | A \ B | x ∈ A và x ∉ B |
| Phần bù (khi B ⊂ A) | CAB | x ∈ A và x ∉ B (chính là A \ B) |
Một số tính chất hay dùng, em có thể tự kiểm tra bằng biểu đồ Ven:
- A \ B = A ⇔ A ∩ B = ∅. Chiều ngược lại cũng đúng: nếu A \ B = A thì A và B rời nhau.
- A \ B = ∅ ⇔ A ⊂ B.
- A = (A \ B) ∪ (A ∩ B), và hai phần này rời nhau.
- Nếu A ∩ B = ∅ thì số phần tử của A ∪ B bằng tổng số phần tử của A và của B (với tập hữu hạn).
Lỗi thường gặp
- Đọc A \ B thành “B bớt A”. Kí hiệu A \ B luôn được đọc là “A hiệu B”: lấy A làm gốc rồi bỏ đi phần thuộc B.
- Nhầm “giao rỗng” với “một trong hai tập rỗng”. A ∩ B = ∅ không có nghĩa A hay B rỗng; hai tập vẫn có thể có nhiều phần tử, chỉ là không có phần tử chung.
- Với khoảng, đoạn trên trục số, quên kiểm tra đầu mút: [1; 3) và [3; 5] rời nhau vì số 3 không thuộc [1; 3), nhưng [1; 3] và [3; 5] thì có giao là {3}.
Bài tập luyện tập (có đáp án)
Bài 1. Cho A = {x ∈ ℕ | x < 4} và B = {4; 5; 6}. Tìm A ∩ B, A \ B, B \ A.
Đáp án: A = {0; 1; 2; 3}, nên A ∩ B = ∅, A \ B = {0; 1; 2; 3} = A, B \ A = {4; 5; 6} = B.
Bài 2. Cho A = [1; 3) và B = [3; 5]. Tính A ∩ B và A \ B.
Đáp án: Không có số thực nào vừa nhỏ hơn 3 vừa lớn hơn hoặc bằng 3, nên A ∩ B = ∅ và A \ B = [1; 3) = A.
Bài 3. Biết A \ B = A. Khẳng định nào đúng: (a) A ⊂ B; (b) A ∩ B = ∅; (c) B ⊂ A?
Đáp án: (b). Nếu có x thuộc cả A và B thì x bị loại khỏi A \ B, khi đó A \ B ≠ A, mâu thuẫn. Vậy A ∩ B = ∅.
Câu hỏi thường gặp
A giao B là gì?
A giao B (kí hiệu A ∩ B) là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B. Nếu hai tập không có phần tử chung thì A ∩ B = ∅.
A \ B = A khi nào?
A \ B = A khi và chỉ khi A ∩ B = ∅, tức là A và B không có phần tử chung nào.
A \ B = ∅ khi nào?
A \ B = ∅ khi mọi phần tử của A đều thuộc B, nghĩa là A ⊂ B.
Hai tập hợp rời nhau là gì?
Hai tập hợp rời nhau là hai tập có giao bằng tập rỗng. Ví dụ tập các số chẵn và tập các số lẻ là hai tập rời nhau.