Trả lời nhanh
Muốn chứng minh ba đường thẳng cùng đi qua một điểm (đồng quy), em gọi giao điểm của hai đường là O rồi chứng minh đường thứ ba cũng đi qua O. Cách nhanh nhất là chỉ ra ba đường đó là ba đường trung tuyến, ba đường phân giác, ba đường trung trực hoặc ba đường cao của cùng một tam giác, vì mỗi bộ ba này luôn đồng quy. Khi không nhận ra ngay, em có thể dùng tam giác bằng nhau hoặc tính chất cách đều để chứng minh giao điểm nằm trên đường thứ ba.
A. Phương pháp giải bài toán ba đường thẳng đồng quy
Ba đường thẳng được gọi là đồng quy nếu chúng cùng đi qua một điểm. Ở Toán 7, dạng bài chứng minh ba đường thẳng cùng đi qua một điểm thường được giải theo một trong ba hướng sau.
Hướng 1. Dùng các định lí về đường đồng quy trong tam giác
| Ba đường | Giao điểm | Tính chất của giao điểm |
|---|---|---|
| Ba đường trung tuyến | Trọng tâm G | G cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài trung tuyến đi qua đỉnh đó |
| Ba đường phân giác | Điểm I | I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh |
| Ba đường trung trực | Điểm O | O cách đều ba đỉnh: OA = OB = OC |
| Ba đường cao | Trực tâm H | Đường thẳng qua một đỉnh và H vuông góc với cạnh đối diện |
Nếu nhận ra ba đường thẳng đề cho chính là ba đường cùng loại của một tam giác, em chỉ cần chỉ rõ tam giác đó và trích dẫn định lí.
Hướng 2. Gọi giao điểm của hai đường, chứng minh đường thứ ba đi qua giao điểm
Gọi O là giao điểm của a và b. Sau đó chứng minh O thuộc c bằng một trong các cách: O cách đều hai đầu đoạn thẳng nên nằm trên trung trực; O cách đều hai cạnh của góc nên nằm trên tia phân giác; hai đoạn thẳng qua O cùng vuông góc (hoặc cùng song song) với một đường thẳng nên trùng nhau.
Hướng 3. Đưa về chứng minh ba điểm thẳng hàng
Nếu đường thẳng c đi qua hai điểm M, N đã biết, thì c đi qua O khi và chỉ khi ba điểm M, N, O thẳng hàng. Lúc đó em có thể chứng minh hai góc kề bù có tổng 180° hoặc hai đường thẳng MO, NO cùng vuông góc với một đường thẳng.
B. Ví dụ minh hoạ có lời giải
Ví dụ 1. Tam giác cân và đường phân giác
Đề bài. Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc B cắt AM tại I. Chứng minh rằng ba đường thẳng AM, BI và tia phân giác của góc C cùng đi qua một điểm.
Lời giải. Trong tam giác cân tại A, đường trung tuyến AM xuất phát từ đỉnh cũng là đường phân giác của góc A (vì ΔABM = ΔACM theo trường hợp c.c.c, suy ra góc BAM bằng góc CAM). Như vậy I là giao điểm của hai đường phân giác góc A và góc B của tam giác ABC. Theo định lí ba đường phân giác đồng quy, tia phân giác góc C cũng đi qua I. Vậy AM, BI và tia phân giác góc C đồng quy tại I.
Ví dụ 2. Tam giác vuông và các đường trung trực
Đề bài. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng đường trung trực của AB, đường trung trực của AC và đường thẳng AM đồng quy.
Lời giải. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
- ΔMAB = ΔMDC (c.g.c) vì MA = MD, MB = MC và hai góc AMB, DMC đối đỉnh. Suy ra AB = DC và góc MAB bằng góc MDC. Hai góc này ở vị trí so le trong nên DC ∥ AB, mà AB ⊥ AC nên DC ⊥ AC.
- ΔBAC = ΔDCA (c.g.c) vì AC là cạnh chung, AB = CD, góc BAC = góc DCA = 90°. Suy ra BC = DA.
- Do đó MA = DA : 2 = BC : 2 = MB = MC.
Vì MA = MB nên M nằm trên trung trực của AB; vì MA = MC nên M nằm trên trung trực của AC. Hai đường trung trực này cùng đi qua M, mà M thuộc AM. Vậy ba đường thẳng đồng quy tại M, trung điểm cạnh huyền.
Ví dụ 3. Hai đường phân giác ngoài
Đề bài. Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh B và góc ngoài tại đỉnh C cắt nhau tại E. Chứng minh rằng tia phân giác của góc BAC đi qua E.
Lời giải. Kẻ EH, EK, EL lần lượt vuông góc với các đường thẳng AB, BC, AC (H, K, L là chân đường vuông góc).
- E nằm trên tia phân giác góc ngoài tại B nên E cách đều hai cạnh của góc đó: EH = EK.
- E nằm trên tia phân giác góc ngoài tại C nên EK = EL.
Suy ra EH = EL, tức E cách đều hai cạnh AB và AC của góc BAC. Điểm E lại nằm trong góc BAC, nên E thuộc tia phân giác của góc BAC. Vậy hai đường phân giác ngoài tại B, C và đường phân giác trong tại A đồng quy tại E.
Ví dụ 4. Đường cao trong tam giác cân
Đề bài. Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng BD, CE và đường trung trực của đoạn BC đồng quy.
Lời giải. H là giao điểm của hai đường cao nên H là trực tâm, suy ra AH ⊥ BC. Gọi M là giao điểm của AH với BC. Hai tam giác vuông AMB và AMC có cạnh huyền AB = AC và cạnh góc vuông AM chung nên bằng nhau, suy ra MB = MC. Vậy đường thẳng AH vuông góc với BC tại trung điểm M, tức AH chính là đường trung trực của BC. Do đó trung trực của BC đi qua H, và ba đường thẳng BD, CE, trung trực BC đồng quy tại H.
Ví dụ 5. Bài toán trên một góc
Đề bài. Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm A, B; trên tia Oy lấy hai điểm C, D sao cho OA = OC, OB = OD và OA < OB. Đoạn AD cắt đoạn BC tại I. Chứng minh rằng tia phân giác Oz của góc xOy, đường thẳng AD và đường thẳng BC đồng quy.
Lời giải.
- ΔOAD = ΔOCB (c.g.c) vì OA = OC, góc O chung, OD = OB. Suy ra góc OAD bằng góc OCB và góc ODA bằng góc OBC.
- Góc IAB kề bù với góc OAD, góc ICD kề bù với góc OCB, nên góc IAB bằng góc ICD. Ngoài ra AB = OB − OA = OD − OC = CD.
- ΔIAB = ΔICD (g.c.g) vì góc IAB = góc ICD, AB = CD, góc IBA = góc IDC. Suy ra IA = IC.
- ΔOAI = ΔOCI (c.c.c) vì OA = OC, IA = IC, OI chung. Suy ra góc AOI bằng góc COI, nên OI là tia phân giác của góc xOy.
Vậy tia phân giác Oz đi qua I, tức Oz, AD, BC cùng đi qua điểm I.
C. Bài tập vận dụng có đáp án
Em hãy tự làm trước, sau đó đối chiếu với phần hướng dẫn ngắn bên dưới mỗi bài.
- Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = AC, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh rằng đường thẳng AG vuông góc với BC.
Hướng dẫn: G là trọng tâm nên AG chứa trung tuyến xuất phát từ A. Trong tam giác cân tại A, trung tuyến này đồng thời là đường cao, vậy AG ⊥ BC. - Bài 2. Cho tam giác ABC, hai tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.
Hướng dẫn: I cách đều AB, BC (vì thuộc phân giác góc B) và cách đều BC, CA (vì thuộc phân giác góc C), nên cách đều AB và AC; I nằm trong góc A nên thuộc phân giác góc A. - Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB thì đi qua H.
Hướng dẫn: H là trực tâm nên CH ⊥ AB. Qua C chỉ có một đường thẳng vuông góc với AB, đó chính là đường thẳng CH. - Bài 4. Cho tam giác đều ABC. Chứng minh rằng đường trung tuyến kẻ từ A, tia phân giác góc B và đường cao kẻ từ C đồng quy.
Hướng dẫn: Trong tam giác đều, tia phân giác góc B và đường cao từ C cũng là các đường trung tuyến từ B và từ C. Ba đường đã cho là ba trung tuyến nên đồng quy tại trọng tâm. - Bài 5. Cho tam giác ABC, hai đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng OM ⊥ BC.
Hướng dẫn: OA = OB và OA = OC nên OB = OC, O nằm trên trung trực của BC. Trung trực của BC đi qua M, do đó nó là đường thẳng OM (nếu O khác M), suy ra OM ⊥ BC. - Bài 6. Cho tam giác ABC, các tia phân giác góc ngoài tại A và tại B cắt nhau tại F. Chứng minh rằng CF là tia phân giác của góc ACB.
Hướng dẫn: Làm tương tự Ví dụ 3: F cách đều ba đường thẳng AB, BC, CA, và F nằm trong góc ACB. - Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, hai tia phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Chứng minh AI là tia phân giác góc A và tính góc BIC.
Đáp số: AI là phân giác góc A theo định lí ba đường phân giác. Góc IBC + góc ICB = (góc B + góc C) : 2 = 90° : 2 = 45°, nên góc BIC = 180° − 45° = 135°.
Những lỗi thường gặp khi làm dạng bài đồng quy
- Dùng định lí khi ba đường không cùng một tam giác. Định lí đồng quy chỉ áp dụng khi cả ba đường là các đường cùng loại của cùng một tam giác. Em phải gọi tên tam giác đó trước khi trích dẫn.
- Quên điều kiện “nằm trong góc”. Một điểm cách đều hai cạnh của góc chỉ thuộc tia phân giác khi nó nằm trong góc; nếu không, nó nằm trên phân giác của góc kề bù.
- Lập luận vòng tròn. Không được giả sử I nằm trên đường thứ ba rồi dùng chính điều đó để chứng minh. Hãy luôn bắt đầu bằng “gọi I là giao điểm của hai đường”.
- Thiếu hình vẽ. Bài đồng quy rất dễ sai nếu vẽ hình không chính xác. Hãy dùng thước và compa, vẽ tam giác không đặc biệt để tránh ngộ nhận.
Câu hỏi thường gặp
Ba đường thẳng đồng quy là gì?
Ba đường thẳng đồng quy là ba đường thẳng cùng đi qua một điểm.
Trong tam giác có những bộ ba đường nào luôn đồng quy?
Ba đường trung tuyến (tại trọng tâm), ba đường phân giác (tại điểm cách đều ba cạnh), ba đường trung trực (tại điểm cách đều ba đỉnh) và ba đường cao (tại trực tâm).
Cách chứng minh một điểm nằm trên tia phân giác?
Chứng minh điểm đó nằm trong góc và cách đều hai cạnh của góc, hoặc chứng minh hai góc tạo bởi tia nối điểm đó với đỉnh và hai cạnh bằng nhau.
Chứng minh ba đường đồng quy khác gì chứng minh ba điểm thẳng hàng?
Hai dạng có thể chuyển đổi cho nhau: nếu đường thứ ba đi qua hai điểm M, N đã biết thì nó đi qua giao điểm O của hai đường kia khi và chỉ khi M, N, O thẳng hàng.