Trả lời nhanh
Với đa thức ab·c³ + bc·a³ + ca·b³, mỗi hạng tử đều chứa tích abc. Đặt abc làm nhân tử chung ta được: ab·c³ + bc·a³ + ca·b³ = abc(a² + b² + c²). Thừa số a² + b² + c² không phân tích thêm được trong tập số thực, nên đây là kết quả cuối. Có thể thử lại bằng cách thay a = 1, b = 2, c = 3: hai vế cùng bằng 84.
Đề bài cần phân tích
Đa thức cần phân tích gồm ba hạng tử: ab·c³, bc·a³ và ca·b³. Mỗi hạng tử là tích của hai biến bậc nhất và một biến bậc ba, tổng bậc của mỗi hạng tử đều bằng 5.
Cách giải từng bước
- Tìm nhân tử chung. Viết lại từng hạng tử: ab·c³ = abc·c²; bc·a³ = abc·a²; ca·b³ = abc·b². Cả ba đều chứa abc.
- Đặt nhân tử chung ra ngoài. abc·c² + abc·a² + abc·b² = abc(c² + a² + b²).
- Sắp xếp cho đẹp. abc(a² + b² + c²).
- Kiểm tra xem còn phân tích tiếp được không. Tổng ba bình phương a² + b² + c² luôn không âm và không phải hiệu hai bình phương, không có nhân tử thực nào nữa, nên dừng lại.
Kiểm tra kết quả bằng số
Chọn a = 1, b = 2, c = 3:
- Vế trái: ab·c³ = 2·27 = 54; bc·a³ = 6·1 = 6; ca·b³ = 3·8 = 24. Tổng = 84.
- Vế phải: abc(a² + b² + c²) = 6·(1 + 4 + 9) = 6·14 = 84.
Hai vế bằng nhau, nên phép phân tích đúng. Đây là mẹo tự kiểm tra rất nhanh khi thi: chọn vài giá trị nhỏ, không chọn số 0 hay 1 cho mọi biến vì dễ trùng hợp.
Phân biệt với các dạng “họ hàng” dễ nhầm
Nhiều đa thức đối xứng ba biến trông giống nhau nhưng cách xử lí khác hẳn. Em nên nhìn kĩ dấu và lũy thừa trước khi làm.
| Đa thức | Kết quả phân tích |
|---|---|
| ab·c³ + bc·a³ + ca·b³ | abc(a² + b² + c²) |
| a³(b − c) + b³(c − a) + c³(a − b) | (a − b)(a − c)(b − c)(a + b + c) |
| ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 2abc | (a + b)(b + c)(c + a) |
Dòng thứ hai cần phương pháp thêm bớt hoặc xem như đa thức theo một biến; dòng thứ ba nhóm các hạng tử. Riêng dòng đầu chỉ cần đặt nhân tử chung.
Mẹo nhớ
- Gặp đa thức có các hạng tử “hoán vị vòng quanh” a, b, c thì luôn thử đặt nhân tử chung trước.
- Đếm bậc: nếu mỗi hạng tử bậc 5, sau khi đặt abc (bậc 3) thì phần còn lại phải bậc 2.
- Luôn kiểm tra lại bằng cách nhân phá ngoặc hoặc thay số.
Lỗi sai thường gặp
- Chỉ đặt a hoặc b ra ngoài mà quên mất abc chung nên kết quả còn cồng kềnh.
- Viết abc(a + b + c) vì nhầm lũy thừa: phải là bình phương của từng biến.
- Cố phân tích tiếp a² + b² + c² thành tích hai nhân tử.
Bài luyện tập
1) Phân tích 2x²y³z + 4xy²z² thành nhân tử. Đáp án: 2xy²z(xy + 2z).
2) Phân tích a³b + ab³ thành nhân tử. Đáp án: ab(a² + b²).
3) Phân tích x³yz + xy³z + xyz³. Đáp án: xyz(x² + y² + z²).
Câu hỏi thường gặp
ab·c³ + bc·a³ + ca·b³ phân tích thành nhân tử như thế nào?
Mỗi hạng tử đều chứa abc, đặt abc làm nhân tử chung ta được abc(a² + b² + c²).
Thừa số a² + b² + c² có phân tích tiếp được không?
Không, trong tập số thực tổng ba bình phương này không phân tích thêm được thành tích các đa thức bậc thấp hơn.
Làm sao kiểm tra nhanh phép phân tích đúng hay sai?
Thay vài giá trị cụ thể cho a, b, c (ví dụ 1, 2, 3) vào hai vế và so sánh, nếu bằng nhau là đúng.