Trả lời nhanh
Chiều cao tòa nhà xấp xỉ 18,9 m. Gọi A là vị trí quan sát (cao 7 m), B là đỉnh, C là chân cột anten. Trong tam giác ABC có góc A = 10°, góc B = 40°, nên AC = 5·sin 40°/sin 10° ≈ 18,5 m. Chân cột cao hơn A một đoạn AC·sin 40° ≈ 11,9 m, cộng thêm 7 m ta được 18,9 m.
Đề bài
Trên nóc một tòa nhà có một cột anten cao 5 m. Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột anten dưới các góc 50° và 40° so với phương nằm ngang. Tính chiều cao của tòa nhà.
Hình vẽ minh họa
Muốn giải được bài này, em phải vẽ hình trước. Chân cột anten C nằm ngay trên nóc nhà, và nóc nhà cao hơn điểm quan sát A (vì A nhìn lên C dưới góc 40°).
Cách 1: Dùng định lí sin trong tam giác ABC
Bước 1 – Tìm các góc của tam giác ABC.
- Góc nhìn lên B là 50°, nhìn lên C là 40° nên góc BAC = 50° − 40° = 10°.
- Cột anten BC thẳng đứng, tia AB hợp với phương ngang góc 50°, nên AB hợp với phương thẳng đứng góc 40°. Vậy góc ABC = 40°.
- Góc ACB = 180° − 10° − 40° = 130°. (Kiểm tra: tia CA đi xuống hợp với phương thẳng đứng hướng xuống góc 50°, nên góc ACB = 180° − 50° = 130°, khớp.)
Bước 2 – Tính AC. Theo định lí sin: AC / sin B = BC / sin A, suy ra
AC = BC · sin 40° / sin 10° = 5 · 0,6428 / 0,1736 ≈ 18,5 (m).
Bước 3 – Tính độ cao của C so với A. Gọi H là hình chiếu của C lên đường nằm ngang qua A. Tam giác ACH vuông tại H, góc CAH = 40° nên
CH = AC · sin 40° ≈ 18,5 · 0,6428 ≈ 11,9 (m).
Bước 4 – Kết luận. Chiều cao tòa nhà = 7 + 11,9 ≈ 18,9 m.
Cách 2: Dùng tỉ số lượng giác (tan) trong hai tam giác vuông
Gọi d là khoảng cách ngang từ A đến cột anten, và h là độ cao của C so với A. Khi đó:
- h = d · tan 40°;
- h + 5 = d · tan 50° (đỉnh B cao hơn A một đoạn h + 5).
Trừ vế theo vế: 5 = d(tan 50° − tan 40°) ≈ d(1,1918 − 0,8391) = 0,3527·d, nên d ≈ 14,18 m.
Suy ra h = 14,18 · 0,8391 ≈ 11,9 m, và chiều cao tòa nhà ≈ 7 + 11,9 = 18,9 m. Hai cách cho cùng kết quả.
Vì sao phải cộng thêm 7 m?
Các góc 50° và 40° được đo từ phương ngang đi qua mắt người quan sát A, nên ta chỉ tính được độ cao của chân cột anten so với A. Muốn có chiều cao so với mặt đất (cũng là chiều cao tòa nhà), phải cộng độ cao của A là 7 m. Quên bước này là lỗi rất hay gặp, ra 11,9 m.
Lỗi sai thường gặp và mẹo nhớ
- Tính góc A sai: góc BAC là hiệu hai góc nhìn (50° − 40°), không phải tổng.
- Chuyển máy tính sai chế độ: phải để chế độ độ (DEG) khi bấm sin, tan.
- Làm tròn quá sớm: giữ ít nhất 4 chữ số thập phân ở các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối.
- Mẹo: bài “đo chiều cao” nào cũng làm theo trình tự: vẽ hình → tìm góc trong tam giác → định lí sin/côsin → tam giác vuông → cộng chiều cao ban đầu của người quan sát.
Bài luyện tập tự đặt
Bài 1. Trên đỉnh một tòa nhà có cột cờ cao 4 m. Từ điểm A cách mặt đất 1,5 m, nhìn chân cột cờ dưới góc 30° và đỉnh cột cờ dưới góc 40° so với phương ngang. Tính chiều cao tòa nhà (làm tròn đến 0,1 m).
Đáp án: d(tan 40° − tan 30°) = 4 ⇒ d = 4/(0,8391 − 0,5774) ≈ 15,28 m; h = d·tan 30° ≈ 8,82 m; tòa nhà cao ≈ 8,82 + 1,5 ≈ 10,3 m.
Bài 2. Giữ nguyên đề gốc nhưng cột anten cao 6 m. Tính chiều cao tòa nhà.
Đáp án: d = 6/0,3527 ≈ 17,01 m; h = 17,01·0,8391 ≈ 14,27 m; tòa nhà cao ≈ 21,3 m.
Câu hỏi thường gặp
Chiều cao tòa nhà trong bài toán cột anten cao 5 m là bao nhiêu?
Khoảng 18,9 m. Chân cột anten cao hơn điểm quan sát A khoảng 11,9 m, cộng với độ cao 7 m của A so với mặt đất.
Bài toán này dùng kiến thức nào của Toán 10?
Dùng hệ thức lượng trong tam giác (định lí sin) và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, thuộc chương Hệ thức lượng trong tam giác.
Tại sao góc BAC bằng 10°?
Vì A nhìn đỉnh B dưới góc 50° và chân C dưới góc 40° so với cùng một phương ngang, nên góc giữa hai tia AB và AC là 50° − 40° = 10°.
Có thể giải bài này không cần định lí sin không?
Được. Đặt d là khoảng cách ngang từ A đến cột, lập hệ h = d·tan 40° và h + 5 = d·tan 50°, giải ra d ≈ 14,18 m rồi tính h ≈ 11,9 m.