Trả lời nhanh
Mệnh đề trên là ĐÚNG. Đây chính là một tính chất của hình bình hành: hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O thì O vừa là trung điểm của AC, vừa là trung điểm của BD. Ta chứng minh được bằng cách chỉ ra hai tam giác OAB và OCD bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc.
Đề bài và cách hiểu mệnh đề
Mệnh đề cần xét có dạng “Nếu P thì Q”, trong đó:
- P: “Tứ giác ABCD là hình bình hành”;
- Q: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”.
Mệnh đề “P ⇒ Q” chỉ sai khi P đúng mà Q sai. Vì vậy ta phải kiểm tra: với mọi hình bình hành, Q có luôn đúng không. Nếu có thì mệnh đề đúng.
Chứng minh mệnh đề đúng
Giả sử ABCD là hình bình hành, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O.
- Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD.
- AB // CD, cắt bởi AC nên góc OAB = góc OCD (so le trong).
- AB // CD, cắt bởi BD nên góc OBA = góc ODC (so le trong).
- Xét hai tam giác OAB và OCD có: AB = CD, góc OAB = góc OCD, góc OBA = góc ODC. Suy ra tam giác OAB = tam giác OCD (g.c.g).
- Từ đó OA = OC và OB = OD. Vậy O là trung điểm của cả AC lẫn BD.
Mệnh đề được chứng minh, nên nó là mệnh đề đúng.
Mệnh đề đảo có đúng không?
Mệnh đề đảo là: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì ABCD là hình bình hành”. Mệnh đề này cũng đúng: nếu OA = OC, OB = OD thì hai tam giác OAB và OCD bằng nhau (c.g.c), suy ra góc OAB = góc OCD, nên AB // CD; tương tự AD // BC.
Vì cả hai chiều đều đúng, ta phát biểu gọn bằng mệnh đề tương đương:
Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi hai đường chéo của nó cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Đó cũng là lý do ta thường dùng “tứ giác ABCD là hình bình hành nếu hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường” như một dấu hiệu nhận biết.
Bảng so sánh nhanh
| Mệnh đề | Đúng/Sai | Lý do |
|---|---|---|
| ABCD là hình bình hành ⇒ hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường | Đúng | Tính chất hình bình hành |
| Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ⇒ ABCD là hình bình hành | Đúng | Dấu hiệu nhận biết |
| ABCD có AB = CD ⇒ ABCD là hình bình hành | Sai | Hình thang cân là phản ví dụ |
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm “cắt nhau” với “vuông góc” hoặc “bằng nhau”. Hai đường chéo hình bình hành nói chung không vuông góc và không bằng nhau. Chỉ hình thoi mới có chéo vuông góc, chỉ hình chữ nhật mới có chéo bằng nhau.
- Chỉ cần một đường chéo chia đôi đường kia. Chưa đủ: phải là mỗi đường chéo đi qua trung điểm đường còn lại. Chẳng hạn, tứ giác hình cái diều (có một đường chéo là trục đối xứng) chỉ có một đường chéo bị chia đôi, không phải hình bình hành.
- Dùng một ví dụ để “chứng minh” mệnh đề đúng. Một ví dụ không đủ để kết luận đúng, nhưng một phản ví dụ là đủ để kết luận sai.
Mẹo nhớ
Nhớ câu: “Hình bình hành – chéo chia đôi nhau”. Gặp bài chứng minh tứ giác là hình bình hành, hãy thử chứng minh trung điểm hai đường chéo trùng nhau. Trong toạ độ, chỉ cần kiểm tra trung điểm của AC và BD trùng nhau.
Bài luyện tập
Bài 1. Mệnh đề “Nếu tứ giác ABCD có AB = CD thì ABCD là hình bình hành” đúng hay sai?
Đáp án: Sai. Hình thang cân ABCD (AB // CD, AD = BC) có thể có AB = CD? Với hình thang cân thông thường hai đáy khác nhau, nhưng ta chỉ cần phản ví dụ: tứ giác ABCD có AB = CD nhưng AD không song song BC (ví dụ tứ giác “xoè” dạng cánh diều không thoả) – cách chắc chắn là lấy hình thang cân có AD = BC rồi ghép sao cho AB = CD là không thể. Vì vậy hãy dùng phản ví dụ sau: A(0,0), B(4,0), C(5,3), D(1,3) là hình bình hành; dịch D thành D'(−1,3)… Tuy nhiên đơn giản nhất, dấu hiệu đúng cần AB = CD và AB // CD; chỉ có một cặp cạnh bằng nhau (không song song) thì chưa kết luận được.
Bài 2. Cho A(1; 2), B(4; 3), C(5; 6). Tìm D để ABCD là hình bình hành.
Đáp án: Trung điểm AC là (3; 4). Để hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm, trung điểm BD cũng là (3; 4), nên D = (2·3 − 4; 2·4 − 3) = (2; 5). Kiểm tra: vectơ AB = (3; 1) và vectơ DC = (3; 1), bằng nhau, đúng.
Bài 3. Phát biểu mệnh đề đảo của “Nếu ABCD là hình chữ nhật thì hai đường chéo của nó bằng nhau” và cho biết đúng hay sai.
Đáp án: Mệnh đề đảo: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau thì ABCD là hình chữ nhật”. Mệnh đề này sai, vì hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau nhưng không phải hình chữ nhật.
Câu hỏi thường gặp
Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường đúng hay sai?
Đúng. Đây là tính chất cơ bản của hình bình hành, chứng minh được bằng cách chứng minh hai tam giác OAB và OCD bằng nhau (g.c.g).
Mệnh đề đảo của mệnh đề trên có đúng không?
Có. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành, nên hai mệnh đề là tương đương.
Hai đường chéo của hình bình hành có bằng nhau không?
Nói chung là không. Chỉ khi hình bình hành là hình chữ nhật thì hai đường chéo mới bằng nhau; chỉ khi là hình thoi thì chúng mới vuông góc.
Làm sao tìm đỉnh thứ tư của hình bình hành khi biết toạ độ ba đỉnh?
Dùng tính chất trung điểm: trung điểm hai đường chéo trùng nhau. Với ABCD, ta có A + C = B + D nên D = A + C − B.