Hàm số nào sau đây có tập xác định là R? Cách chọn

Trả lời nhanh

Hàm số có tập xác định D = R là hàm số mà với mọi số thực x, biểu thức luôn có nghĩa. Đó thường là đa thức, hàm sin, cos, hàm mũ, căn bậc lẻ, hoặc phân thức/căn bậc chẵn/logarit mà biểu thức mẫu, biểu thức dưới căn, biểu thức trong log luôn thoả điều kiện với mọi x (ví dụ x² + 1 > 0).

Đề bài “Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có tập xác định D = R?” xuất hiện rất nhiều trong bài kiểm tra, nhưng bốn phương án mỗi đề lại khác nhau. Vì vậy thay vì học thuộc một đáp án, em hãy nắm quy trình loại trừ dưới đây. Các ví dụ trong bài là ví dụ do thầy tự đặt để minh hoạ phương pháp.

Tập xác định D = R nghĩa là gì?

Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp các giá trị x để f(x) tính được. Nói D = R tức là em thay số thực nào vào cũng tính được giá trị hàm số, không có “điểm cấm” nào.

Do đó chỉ cần tìm được một giá trị x làm hàm số vô nghĩa (mẫu bằng 0, số âm dưới căn bậc chẵn, biểu thức log không dương) là em loại ngay phương án đó.

Bảng các hàm thường gặp

Dạng hàm số	Điều kiện xác định	Khi nào D = R?
Đa thức (y = ax + b, y = ax² + bx + c, …)	Không có	Luôn luôn
y = sin x, y = cos x	Không có	Luôn luôn
y = a^x (a > 0, a ≠ 1)	Không có	Luôn luôn
y = tan x, y = cot x	cos x ≠ 0; sin x ≠ 0	Không bao giờ
Phân thức y = P(x)/Q(x)	Q(x) ≠ 0	Khi Q(x) vô nghiệm thực
Căn bậc chẵn y = √A(x)	A(x) ≥ 0	Khi A(x) ≥ 0 với mọi x
Căn bậc lẻ y = ³√A(x)	Không có thêm	Khi A(x) xác định với mọi x
y = log_a A(x)	A(x) > 0	Khi A(x) > 0 với mọi x
Căn ở mẫu y = 1/√A(x)	A(x) > 0	Khi A(x) > 0 với mọi x

Quy trình 3 bước chọn đáp án

Nhận diện dạng hàm: có mẫu không? có căn bậc chẵn không? có logarit, tan, cot không?
Viết điều kiện tương ứng (mẫu ≠ 0, biểu thức dưới căn ≥ 0, biểu thức trong log > 0).
Xét điều kiện đó có đúng với mọi x không. Với tam thức ax² + bx + c (a ≠ 0), dùng Δ = b² − 4ac:
- Δ < 0 và a > 0: tam thức luôn dương.
- Δ < 0 và a < 0: tam thức luôn âm.
- Δ ≤ 0 và a > 0: tam thức luôn ≥ 0 (có thể bằng 0 tại nghiệm kép).

Mẹo nhớ: “Mẫu và log phải khác hẳn 0 (Δ < 0), căn chỉ cần không âm (Δ ≤ 0 là đủ)”. Đây là chỗ học sinh hay nhầm dấu bằng nhất.

Ví dụ 1: chọn đáp án trắc nghiệm (đề tự đặt)

Hàm số nào sau đây có tập xác định là R?

A. y = x/(x − 1) B. y = √(x² + x + 1) C. y = √(x − 1) D. y = ln(x²)

Đáp án: B.

A sai: mẫu x − 1 = 0 khi x = 1, nên D = R \ {1}.
B đúng: x² + x + 1 có Δ = 1 − 4 = −3 < 0 và hệ số a = 1 > 0 nên luôn dương, căn luôn có nghĩa với mọi x.
C sai: cần x − 1 ≥ 0, tức x ≥ 1.
D sai: ln(x²) cần x² > 0, tức x ≠ 0 (x = 0 làm hàm vô nghĩa).

Ví dụ 2: tìm tham số m để D = R

a) Tìm m để y = 1/(x² − 2x + m) có D = R.

Cần x² − 2x + m ≠ 0 với mọi x, tức phương trình vô nghiệm: Δ’ = 1 − m < 0, suy ra m > 1.

b) Tìm m để y = √(x² − 4x + m) có D = R.

Cần x² − 4x + m ≥ 0 với mọi x. Vì a = 1 > 0 nên cần Δ’ = 4 − m ≤ 0, suy ra m ≥ 4. Khi m = 4 biểu thức là (x − 2)² ≥ 0, vẫn thoả mãn nên lấy dấu bằng.

Hai câu a) và b) có cùng tam thức dạng nhưng khác dấu bằng vì một bên là mẫu số (không được bằng 0), một bên là căn (được bằng 0).

Lỗi sai thường gặp

Rút gọn trước khi tìm tập xác định. y = (x² − 1)/(x − 1) rút gọn thành x + 1 nhưng tập xác định vẫn là R \ {1}, không phải R. Luôn tìm điều kiện trên biểu thức ban đầu.
Nhầm căn ở mẫu với căn thường. y = 1/√A cần A > 0 (không có dấu bằng).
Quên tan x, cot x. Hai hàm này có điểm gián đoạn nên không bao giờ có D = R.
Quên căn bậc lẻ. ³√(x − 5) xác định với mọi x, vì căn bậc ba của số âm vẫn có nghĩa.

Bài luyện tập có đáp án

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

y = (2x + 1)/(x² + x + 5)
y = √(x² − 6x + 9)
y = 1/√(x² − 6x + 9)
Tìm m để y = 1/√(x² − 2x + m) có D = R.

Đáp án:

Mẫu có Δ = 1 − 20 = −19 < 0, a > 0 nên mẫu luôn dương. D = R.
x² − 6x + 9 = (x − 3)² ≥ 0 với mọi x. D = R.
Cần (x − 3)² > 0, tức x ≠ 3. D = R \ {3}. (Câu này “bẫy” vì giống câu 2 nhưng căn nằm ở mẫu.)
Cần x² − 2x + m > 0 với mọi x ⇔ Δ’ = 1 − m < 0 ⇔ m > 1.

Tổng kết

Gặp câu “hàm số nào có tập xác định là R”, em hãy loại trước các phương án có tan, cot, mẫu có nghiệm rõ ràng, căn bậc chẵn của biểu thức có thể âm. Phương án còn lại thường là đa thức, sin, cos, mũ hoặc biểu thức có Δ < 0. Nếu đề của em có bốn phương án khác, hãy áp dụng đúng ba bước ở trên để kiểm tra từng phương án.

Câu hỏi thường gặp

Hàm số nào luôn có tập xác định là R?

Hàm đa thức (bậc nhất, bậc hai, bậc ba…), y = sin x, y = cos x, hàm mũ y = a^x và căn bậc lẻ của một đa thức luôn có tập xác định là R.

Hàm y = √(x² + 1) có tập xác định là R không?

Có. Vì x² + 1 ≥ 1 > 0 với mọi số thực x nên căn thức luôn có nghĩa, D = R.

Vì sao y = (x² − 1)/(x − 1) không có tập xác định là R dù rút gọn được thành x + 1?

Tập xác định được tìm trên biểu thức ban đầu. Tại x = 1 mẫu bằng 0 nên hàm không xác định, do đó D = R \ {1}.

Điều kiện tham số để √(ax² + bx + c) có tập xác định R là gì?

Cần ax² + bx + c ≥ 0 với mọi x, tức a > 0 và Δ ≤ 0 (hoặc a = b = 0 và c ≥ 0). Nếu căn nằm ở mẫu thì cần Δ < 0.