Trả lời nhanh
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, r là bán kính, a, b, c là ba cạnh và p = (a + b + c)/2. Nối I với ba đỉnh, tam giác ABC được chia thành ba tam giác IBC, ICA, IAB, mỗi tam giác có đường cao bằng r. Cộng diện tích ba tam giác: S = ½r(a + b + c) = pr.
Phát biểu công thức
Với tam giác ABC có ba cạnh BC = a, CA = b, AB = c, diện tích S, nửa chu vi p và bán kính đường tròn nội tiếp r, ta có:
S = p · r, trong đó p = (a + b + c)/2.
Từ đó suy ra r = S/p. Đây là cách nhanh nhất để tìm bán kính đường tròn nội tiếp khi đã biết diện tích và ba cạnh.
Chứng minh công thức S = pr
Ý tưởng: đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cả ba cạnh nên khoảng cách từ tâm I đến mỗi cạnh đều bằng r. Ta tận dụng ba khoảng cách bằng nhau này làm đường cao.
- Bước 1 – Chia tam giác. Nối I với A, B, C. Ba đoạn IA, IB, IC chia tam giác ABC thành ba tam giác IBC, ICA và IAB. Vì I nằm bên trong tam giác nên ba tam giác này không chồng lên nhau và ghép lại đúng bằng ABC:
S = SIBC + SICA + SIAB. - Bước 2 – Tìm đường cao. Đường tròn (I; r) tiếp xúc với BC, CA, AB nên khoảng cách từ I đến ba cạnh này đều bằng r (bán kính vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm). Vậy trong tam giác IBC, đường cao hạ từ I xuống đáy BC là r; tương tự với hai tam giác còn lại.
- Bước 3 – Tính từng diện tích.
SIBC = ½ · a · r, SICA = ½ · b · r, SIAB = ½ · c · r. - Bước 4 – Cộng lại.
S = ½ar + ½br + ½cr = r · (a + b + c)/2 = p · r. ∎
Vì sao cách chứng minh này đúng?
Chìa khoá nằm ở chỗ ba tam giác nhỏ có chung chiều cao r. Khi đó tổng diện tích chỉ còn là ½ · r · (tổng các đáy), mà tổng các đáy chính là chu vi tam giác ABC. Vì thế công thức mới xuất hiện nửa chu vi p.
Mẹo nhớ: giống như diện tích hình tròn tính bằng “nửa chu vi nhân bán kính” (S = ½ · 2πR · R), tam giác ngoại tiếp đường tròn cũng có diện tích bằng nửa chu vi nhân bán kính. Hình nào “ôm” một đường tròn nội tiếp đều có tính chất tương tự.
Ví dụ kiểm tra bằng số
| Tam giác | p | S | r = S/p |
|---|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 6 | 6 | 1 |
| 13, 14, 15 | 21 | 84 | 4 |
| Đều cạnh a | 3a/2 | a²√3/4 | a√3/6 |
- Tam giác 3, 4, 5 (vuông): S = ½ · 3 · 4 = 6, p = 6 nên r = 1. Kiểm tra bằng công thức riêng của tam giác vuông r = (b + c − a)/2 = (3 + 4 − 5)/2 = 1. Khớp.
- Tam giác 13, 14, 15: p = 21, theo Heron S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84, suy ra r = 84/21 = 4.
- Tam giác đều cạnh a: p · r = (3a/2) · (a√3/6) = a²√3/4, đúng bằng diện tích tam giác đều.
Cách dùng S = pr khi giải bài
- Tìm r: tính S (bằng Heron hoặc ½ · đáy · cao), tính p rồi lấy r = S/p.
- Tìm S: khi biết r và chu vi, nhân thẳng S = pr.
- Kết hợp Heron: thay S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)) vào r = S/p được r = √((p − a)(p − b)(p − c)/p).
- Mở rộng: với đường tròn bàng tiếp góc A bán kính ra, cách chứng minh tương tự cho S = (p − a) · ra.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm p là chu vi. Trong công thức này p là nửa chu vi; nếu dùng chu vi thì phải viết S = ½ · chu vi · r.
- Nhầm r với bán kính đường tròn ngoại tiếp R. Công thức liên quan đến R là S = abc/(4R).
- Cho rằng I nằm ở trọng tâm hay trực tâm. I là giao ba đường phân giác trong, nên chỉ cần dùng tính chất “cách đều ba cạnh”.
- Quên điều kiện: công thức dùng cho đường tròn nội tiếp, không áp dụng cho đường tròn đi qua ba đỉnh.
Bài luyện tập
- Tam giác có ba cạnh 5, 12, 13. Tính bán kính đường tròn nội tiếp.
Đáp án: p = 15, tam giác vuông nên S = ½ · 5 · 12 = 30, r = 30/15 = 2. - Tam giác có bán kính nội tiếp r = 2 và nửa chu vi p = 9. Tính diện tích.
Đáp án: S = pr = 18. - Tam giác có ba cạnh 7, 8, 9. Tính r.
Đáp án: p = 12, S = √(12 · 5 · 4 · 3) = √720 = 12√5, nên r = 12√5/12 = √5.
Câu hỏi thường gặp
Trong công thức S = pr, p và r là gì?
p là nửa chu vi tam giác, p = (a + b + c)/2; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, tức khoảng cách từ tâm đường tròn đến mỗi cạnh.
Công thức S = pr có đúng cho mọi tam giác không?
Có. Tam giác nào cũng có đường tròn nội tiếp duy nhất nên công thức đúng cho tam giác nhọn, vuông và tù.
Làm sao tính r khi chỉ biết ba cạnh?
Tính p, dùng công thức Heron để có S, rồi lấy r = S/p. Hoặc dùng trực tiếp r = √((p − a)(p − b)(p − c)/p).
S = pr khác S = abc/(4R) ở điểm nào?
S = pr dùng bán kính đường tròn nội tiếp r và nửa chu vi p; S = abc/(4R) dùng bán kính đường tròn ngoại tiếp R và tích ba cạnh.