Trả lời nhanh
Gọi x, y, z lần lượt là số trâu đứng, trâu nằm, trâu già. Ta có x + y + z = 100 và 5x + 3y + z/3 = 100, suy ra 7x + 4y = 100. Với x, y, z nguyên dương và z chia hết cho 3, bài toán có ba đáp số: (4; 18; 78), (8; 11; 81) và (12; 4; 84). Nếu cho phép không có trâu đứng thì còn thêm đáp số (0; 25; 75).
Đề bài
Bài toán dân gian quen thuộc kể rằng: có một trăm con trâu ăn một trăm bó cỏ. Trâu đứng ăn năm bó, trâu nằm ăn ba bó, còn trâu già lụ khụ thì ba con mới ăn một bó. Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, trâu nằm và trâu già?
Bước 1: Đặt ẩn và lập hệ phương trình
Gọi x là số trâu đứng, y là số trâu nằm, z là số trâu già (x, y, z là các số nguyên dương).
- Tổng số trâu: x + y + z = 100. (1)
- Tổng số bó cỏ: 5x + 3y + z/3 = 100. (2)
Trâu già ba con mới ăn một bó, nên số bó cỏ các trâu già ăn là z/3. Do số bó phải nguyên nên z chia hết cho 3.
Bước 2: Khử bớt một ẩn
Nhân hai vế của (2) với 3 để mất mẫu: 15x + 9y + z = 300. (3)
Lấy (3) trừ (1) theo từng vế: 14x + 8y = 200. Chia hai vế cho 2 ta được phương trình nghiệm nguyên:
7x + 4y = 100. (4)
Bước 3: Tìm nghiệm nguyên dương của 7x + 4y = 100
Viết (4) thành 7x = 100 − 4y = 4(25 − y). Vế phải chia hết cho 4 mà 7 và 4 nguyên tố cùng nhau, nên x phải chia hết cho 4. Đặt x = 4t (t nguyên dương), khi đó 28t = 4(25 − y), suy ra y = 25 − 7t.
Để y > 0 ta cần 7t < 25, tức t ≤ 3. Vậy t ∈ {1, 2, 3}. Với mỗi t ta tính z = 100 − x − y.
| t | x = 4t (đứng) | y = 25 − 7t (nằm) | z = 100 − x − y (già) | z chia hết cho 3? |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 18 | 78 | Có (78 = 3 × 26) |
| 2 | 8 | 11 | 81 | Có (81 = 3 × 27) |
| 3 | 12 | 4 | 84 | Có (84 = 3 × 28) |
Cả ba bộ đều thoả điều kiện z chia hết cho 3, vì z = 100 − 4t − 25 + 7t = 75 + 3t luôn chia hết cho 3. Đây là điểm thú vị: điều kiện chia hết đã nằm sẵn trong cách đặt ẩn.
Bước 4: Thử lại từng đáp số
- (4; 18; 78): tổng 4 + 18 + 78 = 100; cỏ 5 × 4 + 3 × 18 + 78 : 3 = 20 + 54 + 26 = 100. Đúng.
- (8; 11; 81): tổng 100; cỏ 40 + 33 + 27 = 100. Đúng.
- (12; 4; 84): tổng 100; cỏ 60 + 12 + 28 = 100. Đúng.
Kết luận
Có ba cách chia đàn trâu thoả đề: 4 trâu đứng, 18 trâu nằm, 78 trâu già; hoặc 8 trâu đứng, 11 trâu nằm, 81 trâu già; hoặc 12 trâu đứng, 4 trâu nằm, 84 trâu già. Nếu đề yêu cầu “có đủ ba loại trâu” thì cả ba bộ đều dùng được. Nếu đề chỉ cho một đáp số duy nhất thì thường có thêm điều kiện phụ, ví dụ số trâu già nhiều nhất hoặc ít nhất.
Cách khác: thử chọn có định hướng
Em có thể lập luận không cần đại số. Cả đàn có 100 con ăn 100 bó, tức trung bình mỗi con đúng 1 bó. Trâu đứng ăn 5 bó và trâu nằm ăn 3 bó đều ăn nhiều hơn mức trung bình, còn trâu già chỉ ăn 1/3 bó. Muốn bù lại thì phải có thật nhiều trâu già, chừng 75 đến 85 con. Từ đó em thử dần vài giá trị của x và y. Cách này nhanh nhưng dễ sót nghiệm, nên với bài tự luận em vẫn nên dùng phương trình 7x + 4y = 100.
Lỗi sai thường gặp
- Quên điều kiện z chia hết cho 3 khiến nhận cả những nghiệm làm số bó cỏ không nguyên.
- Chia sai khi khử ẩn: phải nhân cả hai vế của (2) với 3, không chỉ nhân riêng số hạng z/3.
- Thiếu nghiệm: phải xét hết các giá trị t, đừng dừng khi mới tìm được một đáp số.
- Không thử lại: hai phương trình đều phải thoả mãn mới là nghiệm.
Luyện tập
- Trăm trâu trăm cỏ, trâu đứng ăn 4, trâu nằm ăn 2, trâu già hai con một bó. Lập phương trình theo cách tương tự. Gợi ý: nhân phương trình về số bó cỏ với 2 rồi trừ phương trình về tổng số trâu, ta được 7x + 3y = 100.
- Tìm mọi nghiệm nguyên dương của 5x + 3y = 50. Đáp án: (x; y) = (1; 15), (4; 10), (7; 5).
- Có thể có đáp số nào của bài gốc với 16 trâu đứng không? Không, vì 7 × 16 = 112 > 100 nên y âm.
Câu hỏi thường gặp
Bài toán trăm trâu trăm cỏ có mấy đáp số?
Có ba đáp số nguyên dương: (4; 18; 78), (8; 11; 81) và (12; 4; 84) theo thứ tự trâu đứng, trâu nằm, trâu già.
Vì sao số trâu già phải chia hết cho 3?
Vì ba trâu già mới ăn một bó cỏ, số bó cỏ phải là số nguyên nên số trâu già phải là bội của 3.
Phương trình 7x + 4y = 100 có từ đâu?
Từ hệ x + y + z = 100 và 15x + 9y + z = 300 (đã nhân 3). Trừ hai phương trình vế theo vế rồi chia cho 2 ta được 7x + 4y = 100.
Bài toán này học ở lớp mấy?
Bài thường gặp trong phần phương trình nghiệm nguyên, bồi dưỡng Toán lớp 8, nhưng học sinh lớp 6, 7 giỏi vẫn có thể giải bằng cách thử chọn.