Trả lời nhanh
Với tam giác ABC có A = 120°, khẳng định đúng là a² = b² + c² + bc. Lí do: theo định lí côsin, a² = b² + c² − 2bc·cos A, mà cos 120° = −1/2 nên −2bc·(−1/2) = +bc. Vì vậy a² lớn hơn b² + c², và a là cạnh lớn nhất của tam giác.
Đề bài và cách hiểu đề
Đề thường gặp: «Cho tam giác ABC có A = 120°. Khẳng định nào sau đây đúng?». Các phương án thường là những hệ thức giữa ba cạnh a = BC, b = CA, c = AB, khác nhau ở hệ số trước bc và dấu của nó. Vì vậy cách làm chắc chắn nhất là tự suy ra hệ thức từ định lí côsin rồi so với từng phương án.
Chứng minh bằng định lí côsin
Định lí côsin cho góc A: a² = b² + c² − 2bc·cos A.
- Thay A = 120°: cos 120° = −cos 60° = −1/2.
- a² = b² + c² − 2bc·(−1/2) = b² + c² + bc.
Vậy a² = b² + c² + bc. Đây là kết quả cần nhớ cho góc 120°.
Loại trừ các phương án thường gặp
| Hệ thức | Nhận xét |
|---|---|
| a² = b² + c² + bc | Đúng (hệ số +1, vì −2cos 120° = 1). |
| a² = b² + c² − bc | Sai. Đây là hệ thức của góc A = 60° (−2cos 60° = −1). |
| a² = b² + c² | Sai. Đây là định lí Pythagore, chỉ đúng khi A = 90°. |
| a² = b² + c² + 2bc hoặc + 3bc | Sai. Hệ số +2 ứng với cos A = −1 (A = 180°), không có trong tam giác. |
| a² = b² + c² − 3bc | Sai. Hệ số âm chỉ xuất hiện khi A nhọn, còn A = 120° là góc tù. |
Mẹo nhớ: góc tù thì a² lớn hơn b² + c², nên dấu trước bc phải là dấu cộng. Góc nhọn thì ngược lại, dấu trừ. Chỉ cần xét dấu là loại được ngay hai phương án.
Các hệ quả khác khi A = 120°
- Diện tích: S = ½·bc·sin 120° = (√3/4)·bc.
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = a/(2·sin A) = a/√3.
- B + C = 60°, nên cả B và C đều nhọn (nhỏ hơn 60°).
- a là cạnh lớn nhất, vì đối diện góc lớn nhất.
Ví dụ minh hoạ (số tự đặt)
Cho tam giác ABC có A = 120°, b = 3, c = 5.
- a² = 3² + 5² + 3·5 = 9 + 25 + 15 = 49, suy ra a = 7.
- S = (√3/4)·15 = 15√3/4.
- R = 7/√3 = 7√3/3.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm cos 120° = +1/2 (quên dấu âm), dẫn tới chọn a² = b² + c² − bc.
- Viết −2bc·(−1/2) = −bc, tức quên đổi dấu hai lần âm.
- Dùng nhầm góc: hệ thức a² = … chỉ dùng cho góc A đối diện cạnh a.
Bài luyện tập
- Tam giác ABC có A = 120°, b = 2, c = 4. Tính a.
Đáp án: a² = 4 + 16 + 8 = 28, a = 2√7. - Tam giác ABC có A = 120°, b = 4, a = √37. Tính c.
Đáp án: 37 = 16 + c² + 4c, tức c² + 4c − 21 = 0, nhận c = 3 (loại c = −7). - Tam giác ABC có A = 120°. Chứng minh a² > b² + c².
Gợi ý: a² − (b² + c²) = bc > 0 vì b, c là độ dài cạnh.
Kết luận
Gặp góc 120° trong tam giác, hãy viết ngay a² = b² + c² + bc. Nhớ cos 120° = −1/2 và kiểm tra bằng dấu: góc tù thì a² lớn hơn b² + c².
Câu hỏi thường gặp
Tam giác ABC có A = 120° thì hệ thức nào đúng?
Hệ thức đúng là a² = b² + c² + bc, suy ra từ định lí côsin với cos 120° = −1/2.
Vì sao a² = b² + c² − bc là sai khi A = 120°?
Hệ thức đó ứng với góc A = 60°, vì −2cos 60° = −1. Với 120° hệ số phải là +1.
Tam giác có góc A = 120° có phải tam giác tù không?
Có. Góc A lớn hơn 90° nên tam giác tù, và cạnh a đối diện A là cạnh lớn nhất.
Diện tích tam giác ABC khi A = 120° tính thế nào?
S = ½·bc·sin 120° = (√3/4)·bc.