Trả lời nhanh
Để giải bất phương trình dạng tích, thương, em chuyển hết về một vế để vế kia bằng 0, phân tích vế còn lại thành tích hoặc thương của các nhị thức bậc nhất, tìm nghiệm từng nhân tử, lập bảng xét dấu rồi chọn các khoảng có dấu phù hợp. Với dạng thương, luôn loại các giá trị làm mẫu bằng 0, kể cả khi đề có dấu “≥” hoặc “≤”.
Thế nào là bất phương trình dạng tích, thương?
Đó là các bất phương trình đưa được về một trong hai dạng sau, trong đó A(x), B(x) thường là các nhị thức bậc nhất:
- Dạng tích: A(x)·B(x) > 0 (hoặc < 0, ≥ 0, ≤ 0).
- Dạng thương: A(x)/B(x) > 0 (hoặc < 0, ≥ 0, ≤ 0), với điều kiện B(x) ≠ 0.
Dạng toán này thường gặp trong phần bất phương trình bậc nhất một ẩn ở THCS (bài nâng cao) và là nền tảng để học xét dấu tam thức bậc hai ở lớp 10.
Kiến thức nền: dấu của nhị thức bậc nhất
Nhị thức ax + b (a ≠ 0) có nghiệm x0 = −b/a. Quy tắc “phải cùng, trái khác”: bên phải nghiệm, nhị thức cùng dấu với a; bên trái nghiệm, nhị thức trái dấu với a.
| x | x < −b/a | x = −b/a | x > −b/a |
|---|---|---|---|
| ax + b | trái dấu với a | 0 | cùng dấu với a |
Ví dụ: 3 − x có a = −1 < 0, nghiệm 3, nên 3 − x âm khi x > 3 và dương khi x < 3.
Phương pháp giải
Cách 1: Xét trường hợp cùng dấu, trái dấu
A·B > 0 khi A, B cùng dấu; A·B < 0 khi A, B trái dấu. Cách này nhanh khi chỉ có hai nhân tử, nhưng dễ rối khi có từ ba nhân tử trở lên.
Cách 2: Lập bảng xét dấu (dùng được cho mọi bài)
- Chuyển vế để một vế bằng 0. Không nhân chéo hay bỏ mẫu khi chưa biết dấu của mẫu.
- Quy đồng (nếu có phân thức) và phân tích thành nhân tử.
- Tìm nghiệm của từng nhân tử, sắp xếp tăng dần trên trục số.
- Xét dấu từng nhân tử trên mỗi khoảng, nhân các dấu lại để được dấu của cả biểu thức.
- Chọn khoảng thoả mãn; xét riêng các đầu mút: lấy nghiệm của tử nếu có dấu “=”, luôn bỏ nghiệm của mẫu.
Mẹo đan dấu: khi các nghiệm đều là nghiệm đơn (mỗi nghiệm xuất hiện một lần), dấu của biểu thức trên khoảng ngoài cùng bên phải bằng dấu của tích các hệ số của x; đi sang trái, mỗi lần qua một nghiệm thì đổi dấu.
Ví dụ minh hoạ có lời giải
Ví dụ 1. Giải (3x − 6)(x + 4) > 0.
Nghiệm các nhân tử: x = 2 và x = −4.
| x | (−∞; −4) | −4 | (−4; 2) | 2 | (2; +∞) |
|---|---|---|---|---|---|
| 3x − 6 | − | − | − | 0 | + |
| x + 4 | − | 0 | + | + | + |
| Tích | + | 0 | − | 0 | + |
Vậy x < −4 hoặc x > 2.
Ví dụ 2. Giải (x + 1)(2 − x)(x − 5) ≤ 0.
Nghiệm: −1; 2; 5 (đều đơn). Tích các hệ số của x là 1·(−1)·1 = −1 nên khoảng (5; +∞) mang dấu “−”, rồi đan dấu sang trái: (2; 5) “+”, (−1; 2) “−”, (−∞; −1) “+”. Lấy các khoảng mang dấu “−” và các nghiệm: −1 ≤ x ≤ 2 hoặc x ≥ 5.
Ví dụ 3. Giải (x − 3)/(x + 2) ≥ 0.
Điều kiện x ≠ −2. Tử bằng 0 tại x = 3, mẫu bằng 0 tại x = −2. Đan dấu: (3; +∞) “+”, (−2; 3) “−”, (−∞; −2) “+”. Lấy x = 3 (tử bằng 0, thoả “≥”), bỏ x = −2. Đáp số: x < −2 hoặc x ≥ 3.
Ví dụ 4. Giải (2x + 1)/(x − 1) < 1.
Chuyển vế: (2x + 1)/(x − 1) − 1 < 0 ⇔ (x + 2)/(x − 1) < 0. Hai nghiệm −2 và 1, thương âm ở giữa: −2 < x < 1. Nếu nhân chéo ngay thành 2x + 1 < x − 1 sẽ ra x < −2 – sai hoàn toàn, vì khi x − 1 < 0 phải đổi chiều bất đẳng thức.
Ví dụ 5. Giải x2 − 5x + 6 < 0.
Phân tích: (x − 2)(x − 3) < 0, hai nhân tử trái dấu khi 2 < x < 3.
Ví dụ 6. Giải x3 − 4x ≥ 0.
x(x − 2)(x + 2) ≥ 0. Nghiệm −2; 0; 2, khoảng ngoài cùng bên phải mang dấu “+”. Đan dấu: (0; 2) “−”, (−2; 0) “+”, (−∞; −2) “−”. Đáp số: −2 ≤ x ≤ 0 hoặc x ≥ 2. Lưu ý: không được chia hai vế cho x khi chưa biết dấu của x.
Ví dụ 7. Giải (x2 + 1)(x − 4) < 0.
Vì x2 + 1 > 0 với mọi x, bất phương trình tương đương x − 4 < 0, tức x < 4. Nhân tử luôn dương thì “bỏ” được, không cần đưa vào bảng.
Ví dụ 8 (nghiệm kép). Giải (x − 1)2(x + 3) > 0.
(x − 1)2 ≥ 0 và chỉ bằng 0 tại x = 1, nên nó không làm đổi dấu. Bất phương trình ⇔ x + 3 > 0 và x ≠ 1. Đáp số: x > −3, x ≠ 1. Đây là chỗ quy tắc đan dấu không áp dụng máy móc được.
Ví dụ 9. Giải 1/(x − 2) ≥ 3/(x + 1).
Điều kiện x ≠ 2, x ≠ −1. Chuyển vế, quy đồng: [(x + 1) − 3(x − 2)] / [(x − 2)(x + 1)] ≥ 0 ⇔ (7 − 2x)/[(x − 2)(x + 1)] ≥ 0. Các nghiệm: −1; 2; 7/2. Tích hệ số của x là (−2)·1·1 < 0 nên khoảng ngoài cùng bên phải mang dấu “−”, rồi đan dấu như Hình 1.
Đáp số: x < −1 hoặc 2 < x ≤ 7/2.
Lỗi sai thường gặp
- Nhân chéo hoặc bỏ mẫu khi chưa biết dấu của mẫu (Ví dụ 4).
- Lấy nghiệm của mẫu vào tập nghiệm khi đề có “≥” hoặc “≤”.
- Chia hai vế cho biểu thức chứa x (như chia cho x ở Ví dụ 6) làm mất nghiệm hoặc sai chiều.
- Đan dấu qua nghiệm kép: qua nghiệm bậc chẵn, biểu thức không đổi dấu (Ví dụ 8).
- Quên đổi dấu nhị thức có hệ số a âm như 2 − x, 3 − x; nên viết lại 2 − x = −(x − 2) nếu hay nhầm.
Bài tập vận dụng có đáp số
- (5 − x)(x + 2) ≥ 0. Đáp số: −2 ≤ x ≤ 5.
- (x − 1)(x + 2)(x − 4) < 0. Đáp số: x < −2 hoặc 1 < x < 4.
- (2x − 5)/(3 − x) > 0. Đáp số: 5/2 < x < 3.
- (x + 4)/(x − 1) ≤ 2. Gợi ý: đưa về (6 − x)/(x − 1) ≤ 0. Đáp số: x < 1 hoặc x ≥ 6.
- x4 − 10x2 + 9 ≤ 0. Gợi ý: (x2 − 1)(x2 − 9) ≤ 0. Đáp số: −3 ≤ x ≤ −1 hoặc 1 ≤ x ≤ 3.
- (x2 − 4x + 4)(x + 1) ≤ 0. Gợi ý: (x − 2)2(x + 1) ≤ 0. Đáp số: x ≤ −1 hoặc x = 2 (đừng bỏ sót x = 2).
- Tìm các số nguyên x thoả mãn (x + 3)/(x − 2) < 0. Đáp số: −3 < x < 2 nên x ∈ {−2; −1; 0; 1}.
- Tìm x để biểu thức √[(x − 1)/(x + 5)] có nghĩa. Gợi ý: cần (x − 1)/(x + 5) ≥ 0. Đáp số: x < −5 hoặc x ≥ 1.
Tự kiểm tra: sau khi có tập nghiệm, hãy thử một giá trị cụ thể trong mỗi khoảng (ví dụ x = 0, x = 10) vào bất phương trình gốc. Nếu kết quả khớp với bảng xét dấu thì lời giải đáng tin cậy.
Tài liệu ôn tập liên quan
- Bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Bất đẳng thức
- 50 bài tập bất phương trình một ẩn có đáp án
Câu hỏi thường gặp
Giải bất phương trình dạng thương có được nhân chéo không?
Chỉ được nhân hai vế với mẫu khi biết chắc mẫu dương. Nếu mẫu có thể âm, hãy chuyển vế, quy đồng rồi lập bảng xét dấu để tránh sai chiều bất đẳng thức.
Khi nào lấy đầu mút vào tập nghiệm?
Nghiệm của tử được lấy khi bất phương trình có dấu ≥ hoặc ≤. Nghiệm của mẫu luôn bị loại vì tại đó biểu thức không xác định.
Quy tắc đan dấu là gì?
Nếu mọi nghiệm đều là nghiệm đơn, dấu ở khoảng ngoài cùng bên phải bằng dấu tích các hệ số của x, rồi cứ qua mỗi nghiệm thì đổi dấu. Qua nghiệm kép (bậc chẵn) thì giữ nguyên dấu.
Nhân tử luôn dương như x² + 1 xử lí thế nào?
Nhân tử luôn dương không ảnh hưởng đến dấu của biểu thức nên có thể bỏ đi, bất phương trình giữ nguyên chiều.