Trả lời nhanh
Các phép tính với đa thức nhiều biến gồm bốn việc chính: cộng, trừ (bỏ ngoặc rồi thu gọn các hạng tử đồng dạng), nhân đơn thức với đa thức và nhân đa thức với đa thức (nhân mỗi hạng tử với từng hạng tử rồi cộng lại), chia đa thức cho đơn thức (chia từng hạng tử cho đơn thức rồi cộng các kết quả). Bộ 20 bài dưới đây đi lần lượt qua cả bốn dạng, có lời giải đã kiểm tra.
Tóm tắt lý thuyết cần dùng
Nội dung này có trong cả ba bộ sách Toán 8: Kết nối tri thức chia thành các bài Phép cộng và phép trừ đa thức, Phép nhân đa thức, Phép chia đa thức cho đơn thức; Cánh Diều và Chân trời sáng tạo gộp trong một bài về các phép tính (phép toán) với đa thức nhiều biến.
- Cộng, trừ: viết hai đa thức trong ngoặc, bỏ ngoặc (trước ngoặc có dấu “−” thì đổi dấu mọi hạng tử trong ngoặc), nhóm và thu gọn hạng tử đồng dạng.
- Nhân đơn thức với đa thức: A(B + C) = AB + AC. Khi nhân hai đơn thức: nhân hệ số với hệ số, lũy thừa cùng biến thì cộng số mũ.
- Nhân đa thức với đa thức: (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD.
- Chia đa thức cho đơn thức: (A + B + C) : D = A : D + B : D + C : D, với điều kiện mỗi hạng tử đều chia hết cho D (số mũ của mỗi biến trong D không lớn hơn số mũ của biến đó trong hạng tử).
Mô hình diện tích ở Hình 1 giúp em hiểu vì sao phép nhân hai đa thức phải đủ 4 tích: hình chữ nhật lớn được chia thành 4 hình nhỏ, mỗi hình ứng với một tích. Thiếu một tích là thiếu một mảnh diện tích.
Dạng 1. Cộng, trừ đa thức nhiều biến (Bài 1–6)
Bài 1. Cho A = 3x2y − 2xy2 + 5xy − 1 và B = −x2y + 4xy2 − 3xy + 7. Tính A + B và A − B.
Lời giải. A + B = (3x2y − x2y) + (−2xy2 + 4xy2) + (5xy − 3xy) + (−1 + 7) = 2x2y + 2xy2 + 2xy + 6.
A − B = 3x2y − 2xy2 + 5xy − 1 + x2y − 4xy2 + 3xy − 7 = 4x2y − 6xy2 + 8xy − 8.
Bài 2. Cho M = x3 − 2x2y + y3; N = 2x3 + x2y − 3xy2; P = −x3 + xy2 − 2y3. Tính M + N + P và M − N − P.
Lời giải. M + N + P = (x3 + 2x3 − x3) + (−2x2y + x2y) − 3xy2 + xy2 + (y3 − 2y3) = 2x3 − x2y − 2xy2 − y3.
M − N − P = x3 − 2x2y + y3 − 2x3 − x2y + 3xy2 + x3 − xy2 + 2y3 = −3x2y + 2xy2 + 3y3. Chú ý các hạng tử x3 triệt tiêu nhau.
Bài 3. Tìm đa thức Q biết Q + (2x2y − 3xy + 4) = 5x2y + xy − 1.
Lời giải. Q = (5x2y + xy − 1) − (2x2y − 3xy + 4) = 3x2y + 4xy − 5.
Bài 4. Tìm đa thức C biết (4x2 − 3xy + y2) − C = x2 + 2xy − 5y2.
Lời giải. C là số trừ nên C = (4x2 − 3xy + y2) − (x2 + 2xy − 5y2) = 3x2 − 5xy + 6y2. Lỗi hay gặp: lấy vế phải trừ đa thức đã cho, ra kết quả đổi dấu toàn bộ.
Bài 5. Thu gọn và tìm bậc của đa thức 3x2y3 − 5xy + 2x2y3 + 4xy − x2y3 + 7.
Lời giải. = (3 + 2 − 1)x2y3 + (−5 + 4)xy + 7 = 4x2y3 − xy + 7. Hạng tử bậc cao nhất là 4x2y3 có bậc 2 + 3 = 5, nên đa thức có bậc 5.
Bài 6. Với A, B ở Bài 1, tính giá trị của A + B và A − B tại x = 1, y = −1.
Lời giải. A + B = 2·1·(−1) + 2·1·1 + 2·1·(−1) + 6 = 4. A − B = 4·(−1) − 6·1 + 8·(−1) − 8 = −26. Mẹo: thu gọn trước rồi mới thay số sẽ ít phép tính hơn.
Dạng 2. Nhân đơn thức với đa thức (Bài 7–9)
Bài 7. Làm tính nhân: a) 2xy(3x2 − xy + 4y); b) −3x2y(x − 2y + 5); c) 1/2xy2(4x − 6y + 2xy).
Lời giải. a) 6x3y − 2x2y2 + 8xy2.
b) −3x3y + 6x2y2 − 15x2y (đơn thức âm nhân vào thì mọi dấu đều đổi).
c) 2x2y2 − 3xy3 + x2y3.
Bài 8. Rút gọn biểu thức x(2x − 3y) − 2y(x − y) + 3xy.
Lời giải. = 2x2 − 3xy − 2xy + 2y2 + 3xy = 2x2 − 2xy + 2y2.
Bài 9. Tìm x biết 2x(x − 3) − x(2x + 1) = 14.
Lời giải. 2x2 − 6x − 2x2 − x = 14 ⇒ −7x = 14 ⇒ x = −2. Thử lại: 2·(−2)·(−5) − (−2)·(−3) = 20 − 6 = 14, đúng.
Dạng 3. Nhân đa thức với đa thức (Bài 10–13)
Bài 10. Làm tính nhân: a) (x + 2y)(3x − y); b) (2x − y)(x2 + xy − 3y2); c) (x − 1)(x + 1)(x2 + 1).
Lời giải. a) 3x2 − xy + 6xy − 2y2 = 3x2 + 5xy − 2y2.
b) 2x3 + 2x2y − 6xy2 − x2y − xy2 + 3y3 = 2x3 + x2y − 7xy2 + 3y3.
c) (x − 1)(x + 1) = x2 − 1; tiếp tục (x2 − 1)(x2 + 1) = x4 − 1.
Bài 11. Chứng minh (x − y)(x2 + xy + y2) = x3 − y3.
Lời giải. Vế trái = x3 + x2y + xy2 − x2y − xy2 − y3 = x3 − y3 = vế phải. Các cặp hạng tử đối nhau triệt tiêu, đây chính là cơ sở của hằng đẳng thức hiệu hai lập phương em sẽ học sau.
Bài 12. Rút gọn (x + y)(x − 2y) − (x − y)(x + 3y).
Lời giải. (x + y)(x − 2y) = x2 − xy − 2y2; (x − y)(x + 3y) = x2 + 2xy − 3y2. Hiệu: x2 − xy − 2y2 − x2 − 2xy + 3y2 = −3xy + y2. Nên đặt tích thứ hai trong ngoặc trước khi trừ để không sót dấu.
Bài 13. Chứng minh giá trị biểu thức (x − 2y)(x + 3y) − x(x + y) + 6y2 + 7 không phụ thuộc vào giá trị của các biến.
Lời giải. = x2 + xy − 6y2 − x2 − xy + 6y2 + 7 = 7. Biểu thức luôn bằng 7 với mọi x, y.
Dạng 4. Chia đa thức cho đơn thức (Bài 14–16)
Bài 14. Tính (12x3y2 − 8x2y3 + 4x2y2) : 4x2y2.
Lời giải. = 3x − 2y + 1. Hạng tử cuối chia cho chính nó bằng 1, đừng bỏ sót.
Bài 15. Tính (15x4y3 − 10x3y2 + 5x2y2) : (−5x2y).
Lời giải. = −3x2y2 + 2xy − y. Chia cho đơn thức âm nên mọi hạng tử đều đổi dấu.
Bài 16. Tìm số tự nhiên n để đa thức 5x3yn − 2x4y3 chia hết cho đơn thức x2y2.
Lời giải. Hạng tử −2x4y3 luôn chia hết cho x2y2. Hạng tử 5x3yn chia hết khi số mũ của y không nhỏ hơn 2, tức n ≥ 2. Vậy n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 2.
Dạng 5. Tổng hợp và bài toán thực tế (Bài 17–20)
Bài 17. Rút gọn P = (x + y)(x2 − xy + y2) − (x − y)(x2 + xy + y2) rồi tính P tại x = 2026, y = −1/2.
Lời giải. (x + y)(x2 − xy + y2) = x3 + y3; (x − y)(x2 + xy + y2) = x3 − y3. Do đó P = 2y3, không phụ thuộc x. Tại y = −1/2: P = 2·(−1/8) = −1/4. Giá trị x = 2026 chỉ để “gây nhiễu”.
Bài 18. Tính giá trị Q = (2x − y)(2x + y) − 4x(x − y) + y2 tại x = 3, y = −2.
Lời giải. Q = 4x2 − y2 − 4x2 + 4xy + y2 = 4xy. Tại x = 3, y = −2: Q = 4·3·(−2) = −24.
Bài 19. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài (3x + 2y) mét, chiều rộng (2x − y) mét (x, y > 0 và 2x > y). Viết đa thức biểu thị diện tích và tính diện tích khi x = 5, y = 2.
Lời giải. S = (3x + 2y)(2x − y) = 6x2 − 3xy + 4xy − 2y2 = 6x2 + xy − 2y2 (m2). Tại x = 5, y = 2: S = 150 + 10 − 8 = 152 (m2). Kiểm tra: chiều dài 19 m, chiều rộng 8 m, 19 × 8 = 152, khớp.
Bài 20. Một hình chữ nhật có diện tích 6x2y + 9xy2 (cm2) và chiều rộng 3xy (cm). Tìm chiều dài.
Lời giải. Chiều dài = (6x2y + 9xy2) : 3xy = 2x + 3y (cm).
Lỗi sai thường gặp
- Quên đổi dấu khi bỏ ngoặc có dấu trừ (Bài 1, 4, 12): chỉ đổi dấu hạng tử đầu mà quên các hạng tử sau.
- Cộng nhầm hạng tử không đồng dạng: x2y và xy2 khác phần biến, không gộp được.
- Nhân thiếu tích: (A + B)(C + D) phải đủ 4 tích; với ba hạng tử nhân hai hạng tử phải đủ 6 tích.
- Nhân số mũ thay vì cộng: x2 · x3 = x5, không phải x6.
- Bỏ sót hạng tử khi chia: 4x2y2 : 4x2y2 = 1, không phải 0.
Bài luyện tập tự kiểm tra
- Rút gọn (x − 3y)(x + 3y) + 9y2. Đáp số: x2.
- Rút gọn (2x + y)(x − y) − x(2x − y). Đáp số: −y2.
- Tính (8x3y − 4x2y2 + 2xy3) : 2xy. Đáp số: 4x2 − 2xy + y2.
Ôn lại lý thuyết tại Lý thuyết phép cộng và phép trừ đa thức, làm thêm 20 câu trắc nghiệm phép cộng và phép trừ đa thức hoặc xem giải SGK Toán 8 Bài 3 Kết nối tri thức.
Câu hỏi thường gặp
Muốn cộng hai đa thức nhiều biến làm thế nào?
Viết hai đa thức nối nhau bằng dấu cộng, bỏ ngoặc, nhóm các hạng tử đồng dạng (cùng phần biến với cùng số mũ) rồi cộng hệ số của chúng.
Khi nào đa thức chia hết cho đơn thức?
Khi mọi hạng tử của đa thức đều chia hết cho đơn thức, tức mỗi biến của đơn thức đều có mặt trong hạng tử với số mũ không nhỏ hơn.
Nhân đa thức với đa thức có mẹo gì để không sót?
Đếm trước số tích cần có: số hạng tử của đa thức thứ nhất nhân số hạng tử của đa thức thứ hai. Có thể vẽ mô hình diện tích để kiểm tra.
Bài tập này dùng cho bộ sách nào?
Dùng chung cho Toán 8 Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo và Cánh Diều vì nội dung về các phép tính với đa thức nhiều biến giống nhau ở cả ba bộ sách.