Trả lời nhanh
Trang 101 thuộc Bài 4 – Tích vô hướng của hai vectơ. Đáp số chính: Thực hành 4: (i+j)² = 2, (i−j)² = 2, (i+j)(i−j) = 0, góc (a, b) = 90°. Vận dụng 2: |μ| = 1,6. Bài 1: 0; a²; −a²; 0. Bài 2: 2a²; 0. Bài 3: ab và −ab. Bài 4: chứng minh bằng cách tách MA = MO + OA, MB = MO − OA.
Quy ước trong bài: kí hiệu AB→ là vectơ AB, công thức dùng xuyên suốt là a→·b→ = |a→|·|b→|·cos(a→, b→). Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng 0. Phần lý thuyết đầy đủ xem tại Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ.
Thực hành 4 trang 101
Đề: Cho hai vectơ i→, j→ vuông góc, cùng có độ dài 1. a) Tính (i→ + j→)², (i→ − j→)², (i→ + j→)(i→ − j→). b) Cho a→ = 2i→ + 2j→, b→ = 3i→ − 3j→. Tính a→·b→ và góc (a→, b→).
Giải câu a. Vì i→ ⊥ j→ nên i→·j→ = 0; ngoài ra (i→)² = |i→|² = 1 và (j→)² = 1.
- (i→ + j→)² = (i→)² + 2i→·j→ + (j→)² = 1 + 0 + 1 = 2.
- (i→ − j→)² = (i→)² − 2i→·j→ + (j→)² = 1 − 0 + 1 = 2.
- (i→ + j→)(i→ − j→) = (i→)² − (j→)² = 1 − 1 = 0.
Giải câu b. a→·b→ = 2(i→ + j→)·3(i→ − j→) = 6·(i→ + j→)(i→ − j→) = 6·0 = 0. Tích vô hướng bằng 0 và cả hai vectơ đều khác 0→ nên a→ ⊥ b→, tức góc (a→, b→) = 90°.
Lưu ý: đề gốc dễ bị gõ nhầm dấu ở dòng thứ hai (phải là i→ − j→). Khi làm, nhớ hệ số ở giữa đổi dấu thành −2i→·j→.
Vận dụng 2 trang 101 (phân tử SO2)
Đề: Hai vectơ μ₁→, μ₂→ cùng độ dài 1,6, góc giữa chúng bằng 120°. Tính độ dài vectơ tổng μ→ = μ₁→ + μ₂→.
Giải. Bình phương hai vế:
|μ→|² = |μ₁→|² + |μ₂→|² + 2μ₁→·μ₂→, với μ₁→·μ₂→ = 1,6·1,6·cos120° = 2,56·(−1/2) = −1,28.
Suy ra |μ→|² = 2,56 + 2,56 − 2,56 = 2,56, nên |μ→| = 1,6 (đơn vị).
Cách khác: hai vectơ cùng độ dài, góc 120° thì tổng của chúng tạo với hai vectơ ấy tam giác đều, nên độ dài tổng bằng đúng độ dài mỗi vectơ.
Bài 1 trang 101 – Hình vuông ABCD cạnh a
Đường chéo AC = BD = a√2. Tính từng tích:
- AB→·AD→ = 0 vì AB ⊥ AD.
- AB→·AC→ = a·a√2·cos45° = a·a√2·(√2/2) = a².
- AC→·CB→: hai vectơ này không chung gốc. Dời CB→ về gốc A thành vectơ DA→… cách nhanh hơn là lấy góc bù: góc giữa AC→ và CB→ bằng 135°. Vậy AC→·CB→ = a√2·a·cos135° = a√2·a·(−√2/2) = −a².
- AC→·BD→ = 0 vì hai đường chéo hình vuông vuông góc.
Kiểm tra bằng toạ độ: chọn A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a). Khi đó AB→ = (a; 0), AC→ = (a; a) nên AB→·AC→ = a². CB→ = (0; −a) nên AC→·CB→ = −a². BD→ = (−a; a) nên AC→·BD→ = −a² + a² = 0. Khớp kết quả.
Lỗi hay gặp: lấy góc 45° cho AC→·CB→. Muốn có góc đúng của hai vectơ phải đặt chúng chung gốc (một cái đi vào C, một cái đi ra C thì góc là góc bù).
Bài 2 trang 101 – Hình chữ nhật ABCD, tâm O, AD = a, AB = 2a
a) AB→·AO→. Đường chéo AC = √((2a)² + a²) = a√5, nên AO = a√5/2. Góc OAB chính là góc CAB, có cos = AB/AC = 2a/(a√5) = 2/√5 = 2√5/5.
AB→·AO→ = 2a·(a√5/2)·(2/√5) = 2a².
Cách nhanh: hình chiếu của O lên AB là trung điểm AB, cách A một đoạn a, nên AB→·AO→ = AB·a = 2a·a = 2a².
b) AB→·AD→ = 0 vì AB ⊥ AD.
Bài 3 trang 101 – Ba điểm O, A, B thẳng hàng, OA = a, OB = b
- a) O nằm ngoài đoạn AB: OA→ và OB→ cùng hướng, góc 0°, nên OA→·OB→ = a·b·cos0° = ab.
- b) O nằm trong đoạn AB: hai vectơ ngược hướng, góc 180°, nên OA→·OB→ = a·b·cos180° = −ab.
Mẹo nhớ: cùng hướng thì tích dương, ngược hướng thì tích âm, đúng bằng tích hai độ dài.
Bài 4 trang 101 – Chứng minh MA→·MB→ = MO²− OA²
O là trung điểm AB nên OB→ = −OA→. Ta có:
MA→·MB→ = (MO→ + OA→)(MO→ + OB→) = (MO→ + OA→)(MO→ − OA→) = MO→² − OA→² = MO² − OA². (đpcm)
Hệ quả hay dùng: nếu M nằm trên đường tròn đường kính AB thì MO = OA, suy ra MA→·MB→ = 0, tức MA ⊥ MB.
Bài luyện tập có đáp án
- Hình vuông ABCD cạnh 3. Tính DA→·DB→. Đáp án: DB = 3√2, góc ADB = 45° nên tích bằng 3·3√2·(√2/2) = 9.
- Hình chữ nhật ABCD có AB = 2a, AD = a. Tính AC→·BD→. Đáp án: chọn toạ độ A(0; 0), B(2a; 0), D(0; a), C(2a; a): AC→ = (2a; a), BD→ = (−2a; a), tích = −4a² + a² = −3a².
- O nằm giữa A và B, OA = 3, OB = 5. Tính OA→·OB→. Đáp án: −15.
Xem thêm
Các bài giải cùng bài học: Giải SGK Toán 10 Bài 4 – Tích vô hướng của hai vectơ, Sách bài tập Toán 10 Bài 4 và 20 câu trắc nghiệm Tích vô hướng.
Câu hỏi thường gặp
Toán 10 Chân trời sáng tạo trang 101 Tập 1 học bài nào?
Trang 101 thuộc Bài 4 – Tích vô hướng của hai vectơ, gồm Thực hành 4, Vận dụng 2 và các bài tập tính tích vô hướng trong hình vuông, hình chữ nhật, ba điểm thẳng hàng.
Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ là gì?
a→·b→ = |a→|·|b→|·cos(a→, b→). Nếu hai vectơ vuông góc thì tích bằng 0; cùng hướng thì bằng tích hai độ dài; ngược hướng thì bằng âm tích hai độ dài.
Vì sao AC→·CB→ trong hình vuông bằng −a² chứ không phải a²?
Vì AC→ đi vào điểm C còn CB→ đi ra từ C, góc giữa hai vectơ là 135° (góc bù của 45°), cos135° âm nên tích âm.
Làm sao kiểm tra nhanh đáp số các bài tích vô hướng trong hình vuông, hình chữ nhật?
Đặt hệ trục toạ độ với một đỉnh là gốc, viết toạ độ các vectơ rồi dùng công thức x₁x₂ + y₁y₂; kết quả phải trùng với cách dùng định nghĩa.