Trả lời nhanh
Trang 97 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo gồm bài tập 1–7 của bài “Tích của một số với một vectơ”. Các kết quả chính: bài 1 và 4 chứng minh MA+MB+MC+MD = 4MO (hoặc 4MG); bài 3: M thuộc đoạn AB với MB = AB/5; bài 5: b = −(4/3)a; bài 6: OB = AB/4; bài 7: MP = 2MN nên M, N, P thẳng hàng.
Cần nhớ trước khi làm bài
Các bài ở trang này đều xoay quanh ba công cụ. Nắm chắc chúng thì bài nào cũng làm được.
- Quy tắc ba điểm (chèn điểm): AB→ = AO→ + OB→ với mọi điểm O.
- Trung điểm: I là trung điểm AB ⇔ IA→ + IB→ = 0→ ⇔ MA→ + MB→ = 2MI→ với mọi M.
- Hình bình hành ABCD: AB→ + AD→ = AC→.
- Hai vectơ cùng phương: a→ = k·b→; k > 0 thì cùng hướng, k < 0 thì ngược hướng, |a→| = |k|·|b→|.
Mẹo: muốn chứng minh đẳng thức vectơ, hãy “chèn” một điểm đặc biệt (trung điểm, giao điểm hai đường chéo, trọng tâm) vào mọi vectơ để các cặp triệt tiêu nhau.
Bài 1 trang 97
Đề: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo, M tuỳ ý. Chứng minh: a) MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = 4MO→; b) AB→ + AC→ + AD→ = 2AC→.
a) Vì O là trung điểm của AC và BD nên MA→ + MC→ = 2MO→ và MB→ + MD→ = 2MO→. Cộng lại được tổng bằng 4MO→.
b) ABCD là hình bình hành nên AB→ + AD→ = AC→. Do đó AB→ + AC→ + AD→ = (AB→ + AD→) + AC→ = AC→ + AC→ = 2AC→.
Lưu ý: không nên biến đổi tương đương hai vế “cho đến khi luôn đúng” mà thiếu giải thích; hãy biến đổi một vế thành vế kia sẽ gọn và chặt hơn.
Bài 2 trang 97
Đề: Cho tứ giác ABCD, M và N là trung điểm AB và CD. Chứng minh: a) AC→ + BD→ = 2MN→; b) AC→ + BD→ = BC→ + AD→.
a) Chèn M và N: AC→ = AM→ + MN→ + NC→ và BD→ = BM→ + MN→ + ND→. Cộng lại: AC→ + BD→ = (AM→ + BM→) + 2MN→ + (NC→ + ND→). Vì AM→ + BM→ = 0→ và NC→ + ND→ = 0→ nên AC→ + BD→ = 2MN→.
b) Làm tương tự với BC→ = BM→ + MN→ + NC→ và AD→ = AM→ + MN→ + ND→, ta cũng được BC→ + AD→ = 2MN→. Suy ra AC→ + BD→ = BC→ + AD→.
Cách khác: chuyển vế, AC→ − AD→ = DC→ và BC→ − BD→ = DC→, hai vế bằng nhau.
Bài 3 trang 97
Đề: Cho hai điểm phân biệt A, B. Xác định M sao cho MA→ + 4MB→ = 0→.
Từ giả thiết, MA→ = −4MB→. Suy ra hai vectơ ngược hướng và MA = 4MB, tức M nằm giữa A và B, chia đoạn AB theo tỉ lệ MA : MB = 4 : 1.
Kiểm tra bằng cách chèn điểm: MA→ = MB→ + BA→ nên MA→ + 4MB→ = 5MB→ + BA→ = 0→, hay 5MB→ = AB→, tức MB = AB/5. Hai cách cho cùng kết quả.
Sai thường gặp: viết 5MB→ = BA→ (nhầm dấu). Phải là 5MB→ = −BA→ = AB→.
Bài 4 trang 97
Đề: Tứ giác ABCD; E, F, G lần lượt là trung điểm AB, CD, EF. Chứng minh MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = 4MG→ với M tuỳ ý.
Cách ngắn gọn: E là trung điểm AB nên MA→ + MB→ = 2ME→. F là trung điểm CD nên MC→ + MD→ = 2MF→. G là trung điểm EF nên ME→ + MF→ = 2MG→. Vậy tổng bằng 2(ME→ + MF→) = 2·2MG→ = 4MG→.
Nhận xét: G chính là trọng tâm của hệ bốn điểm A, B, C, D. Cách làm “trung điểm của trung điểm” rất đáng nhớ.
Bài 5 trang 97
Đề: Máy bay A bay hướng Đông Bắc với tốc độ 600 km/h, máy bay B bay hướng Tây Nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vận tốc của B theo vận tốc của A.
Gọi a→, b→ là vectơ vận tốc của A và B. Đông Bắc và Tây Nam là hai hướng đối nhau nên a→, b→ ngược hướng, do đó hệ số là số âm. Độ dài: |b→| / |a→| = 800/600 = 4/3.
Vậy b→ = −(4/3)·a→.
Bài 6 trang 97
Đề: Cho hai điểm phân biệt A, B. a) Xác định O sao cho OA→ + 3OB→ = 0→. b) Chứng minh MA→ + 3MB→ = 4MO→ với mọi M.
a) OA→ = OB→ + BA→ nên OA→ + 3OB→ = 4OB→ + BA→ = 0→, suy ra 4OB→ = AB→, tức OB→ = (1/4)AB→. Vậy O thuộc đoạn AB sao cho OB = AB/4.
b) Chèn O: MA→ + 3MB→ = (MO→ + OA→) + 3(MO→ + OB→) = 4MO→ + (OA→ + 3OB→) = 4MO→ + 0→ = 4MO→.
Ý b) là trường hợp tổng quát của bài 3 và là công thức “tâm tỉ cự” rất hay dùng về sau.
Bài 7 trang 97
Đề: Cho tam giác ABC. a) Xác định M, N, P thoả MB→ = (1/2)BC→, AN→ = 3NB→, CP→ = PA→. b) Biểu thị MN→, MP→ theo BC→, BA→. c) Chứng minh M, N, P thẳng hàng.
a)
- MB→ = (1/2)BC→ nên BM→ = −(1/2)BC→: M nằm trên đường thẳng BC, phía ngoài đoạn BC về phía B, với BM = BC/2.
- AN→ = 3NB→: N nằm trên đoạn AB, AN = (3/4)AB, tức BN→ = (1/4)BA→.
- CP→ = PA→: P là trung điểm AC.
b) Lấy B làm gốc. Ta có BM→ = −(1/2)BC→, BN→ = (1/4)BA→, BP→ = (1/2)(BA→ + BC→). Khi đó:
- MN→ = BN→ − BM→ = (1/4)BA→ + (1/2)BC→.
- MP→ = BP→ − BM→ = (1/2)BA→ + (1/2)BC→ + (1/2)BC→ = (1/2)BA→ + BC→.
c) So sánh: MP→ = (1/2)BA→ + BC→ = 2·[(1/4)BA→ + (1/2)BC→] = 2MN→. Hai vectơ MP→, MN→ cùng phương nên M, N, P thẳng hàng (N nằm giữa M và P, N là trung điểm MP).
Bài luyện tập tự đặt
- Cho hai điểm phân biệt A, B. Xác định I sao cho IA→ + 2IB→ = 0→ và chứng minh MA→ + 2MB→ = 3MI→ với mọi M.
Đáp án: IA→ = IB→ + BA→ nên 3IB→ + BA→ = 0→, suy ra IB→ = (1/3)AB→: I thuộc đoạn AB, IB = AB/3. Chèn I: MA→ + 2MB→ = 3MI→ + (IA→ + 2IB→) = 3MI→. - Tàu P chạy hướng Bắc với tốc độ 300 km/h, tàu Q chạy hướng Nam với tốc độ 450 km/h. Biểu diễn vận tốc q→ của Q theo p→ của P.
Đáp án: ngược hướng, tỉ số 450/300 = 3/2 nên q→ = −(3/2)p→. - Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. Chứng minh AB→ + AC→ = 2AM→.
Đáp án: chèn M: AB→ + AC→ = (AM→ + MB→) + (AM→ + MC→) = 2AM→ + 0→ = 2AM→.
Tài liệu cùng bài học
- Giải SGK Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ
- Lý thuyết Tích của một số với một vectơ
- Sách bài tập Toán 10 Bài 3
- 20 câu trắc nghiệm Tích của một số với một vectơ
Câu hỏi thường gặp
Trang 97 Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo học bài nào?
Trang 97 là phần bài tập của Bài 3 "Tích của một số với một vectơ" (Chương Vectơ), gồm các bài tập 1–7.
Làm sao chứng minh đẳng thức vectơ có nhiều điểm như MA + MB + MC + MD = 4MO?
Chèn điểm đặc biệt (giao điểm hai đường chéo, trung điểm) rồi dùng tính chất trung điểm: MA + MC = 2MO và MB + MD = 2MO.
Làm thế nào xác định điểm M thoả MA + 4MB = 0?
Chèn điểm để đưa về một vectơ chung: MA = MB + BA nên 5MB = AB, suy ra M thuộc đoạn AB và MB = AB/5.
Muốn chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng vectơ thì làm thế nào?
Biểu thị hai vectơ có chung một điểm đầu (như MN và MP) theo cùng cặp vectơ cơ sở rồi chỉ ra vectơ này bằng k lần vectơ kia, như MP = 2MN ở bài 7.