Bài 4.24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức trang 70

Trả lời nhanh

Bài 4.24 trang 70 thuộc phần bài tập cuối chương IV (Vectơ), Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức. Dạng bài thường gặp ở phần này là tìm toạ độ điểm, tính tích vô hướng, tính góc hoặc chứng minh vuông góc. Em hãy đối chiếu đề của mình với các dạng bên dưới rồi làm theo các bước tương ứng.

Bài 4.24 nằm ở đâu trong chương trình?

Các bài tập cuối chương IV tổng hợp kiến thức của năm bài: khái niệm vectơ, tổng và hiệu hai vectơ, tích của vectơ với một số, vectơ trong mặt phẳng toạ độ và tích vô hướng. Vì vậy một bài ở cuối chương có thể kết hợp nhiều công thức.

Trang này không thay thế đề bài trong sách. Các ví dụ dưới đây do chúng tôi tự đặt để luyện cùng dạng. Em hãy đọc kỹ đề trong sách, xác định dạng rồi áp dụng cách làm.

Công thức cần thuộc

Với a = (x₁; y₁), b = (x₂; y₂):

Toạ độ vectơ: AB = (x_B − x_A; y_B − y_A).
Độ dài: |a| = √(x₁² + y₁²).
Tích vô hướng: a·b = x₁x₂ + y₁y₂.
Góc: cos(a, b) = a·b / (|a|·|b|).
Vuông góc: a ⊥ b ⇔ a·b = 0.
Trung điểm M của AB: M = ((x_A + x_B)/2; (y_A + y_B)/2).
Trọng tâm G của tam giác ABC: lấy trung bình cộng toạ độ ba đỉnh.

Dạng 1: Tìm đỉnh còn lại của hình bình hành

Ví dụ (tự đặt). Cho A(1; 2), B(4; 6), C(−1; 5). Tìm D để ABCD là hình bình hành.

ABCD là hình bình hành nên AB = DC (hai vectơ bằng nhau).

AB = (3; 4).
Gọi D(x; y) thì DC = (−1 − x; 5 − y).
Cho bằng nhau: −1 − x = 3 và 5 − y = 4, suy ra x = −4, y = 1.

Vậy D(−4; 1).

Lỗi hay gặp: viết nhầm thứ tự thành AB = CD. Hình bình hành ABCD có AB và DC cùng hướng, nên phải là AB = DC.

Dạng 2: Chứng minh tam giác vuông, tính diện tích

Ví dụ (tự đặt). Cho A(1; 1), B(4; 1), C(1; 5). Chứng minh tam giác ABC vuông và tính diện tích.

AB = (3; 0), AC = (0; 4).
AB·AC = 3·0 + 0·4 = 0, nên AB ⊥ AC, tam giác vuông tại A.
AB = 3, AC = 4, nên diện tích S = ½·3·4 = 6.
BC = √(3² + 4²) = 5, kiểm tra theo Pythagore khớp.

Mẹo: khi đề nói “vuông” hoặc “vuông góc”, hãy nghĩ ngay đến tích vô hướng bằng 0. Cách này nhanh hơn việc tính độ dài ba cạnh.

Dạng 3: Tính góc giữa hai vectơ

Ví dụ (tự đặt). Cho a = (1; 2), b = (3; −1). Tính góc giữa a và b.

a·b = 1·3 + 2·(−1) = 1.
|a| = √5, |b| = √10, nên |a|·|b| = √50 = 5√2.
cos(a, b) = 1/(5√2) = √2/10 ≈ 0,1414, suy ra góc ≈ 81,87°.

Lưu ý: nếu tích vô hướng dương thì góc nhọn, âm thì góc tù, bằng 0 thì góc vuông. Dùng nhận xét này để kiểm tra kết quả.

Cách làm chung cho bài cuối chương

Chọn hệ trục toạ độ hợp lý (nếu hình chưa có toạ độ) hoặc ghi toạ độ các điểm đã cho.
Viết toạ độ các vectơ cần dùng, nhớ lấy “điểm cuối trừ điểm đầu”.
Chọn công thức: bằng nhau (so sánh toạ độ), vuông góc (tích vô hướng = 0), góc (công thức cos), độ dài (căn bậc hai).
Thay số, tính cẩn thận và kiểm tra lại bằng nhận xét hình học.

Bài luyện tập có đáp án

Cho M(2; −1), N(5; 3), P(0; 4). Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác MNP.
Đáp án: x = (2 + 5 + 0)/3 = 7/3, y = (−1 + 3 + 4)/3 = 2. Vậy G(7/3; 2).
Cho a = (2; m), b = (m + 1; 3). Tìm m để a ⊥ b.
Đáp án: a·b = 2(m + 1) + 3m = 5m + 2 = 0, nên m = −2/5.
Cho A(0; 0), B(2; 1), C(1; 3). Tính góc BAC.
Đáp án: AB = (2; 1), AC = (1; 3), AB·AC = 5, |AB|·|AC| = √5·√10 = 5√2. Do đó cos BAC = 1/√2, suy ra góc BAC = 45°.

Lỗi sai thường gặp

Tính toạ độ vectơ bị ngược dấu do lấy điểm đầu trừ điểm cuối.
Nhầm tích vô hướng với tích hai độ dài, quên nhân với cos.
Quên điều kiện: a·b = 0 chỉ dùng khi cả hai vectơ khác vectơ không.

Câu hỏi thường gặp

Bài 4.24 trang 70 Toán 10 tập 1 Kết nối tri thức thuộc chương nào?

Bài này nằm trong phần bài tập cuối chương IV (Vectơ), Toán 10 tập 1 bộ Kết nối tri thức với cuộc sống.

Bài tập cuối chương Vectơ thường kiểm tra những kiến thức nào?

Thường gồm tổng và hiệu vectơ, tích vectơ với một số, toạ độ vectơ, tích vô hướng, góc và điều kiện vuông góc.

Khi nào dùng tích vô hướng để giải bài?

Khi đề yêu cầu tính góc, chứng minh hai đường thẳng vuông góc hoặc tìm tham số để hai vectơ vuông góc.

Làm sao tìm điểm thứ tư của hình bình hành ABCD?

Dùng điều kiện AB = DC, viết toạ độ hai vectơ rồi cho các toạ độ tương ứng bằng nhau để tìm toạ độ điểm cần tìm.