Trả lời nhanh
Hàm số y = 1/√(mx² − 2mx + 5) có tập xác định R khi và chỉ khi mx² − 2mx + 5 > 0 với mọi số thực x. Trường hợp m = 0 thoả mãn (biểu thức bằng 5). Trường hợp m ≠ 0 cần m > 0 và Δ’ = m² − 5m < 0, tức 0 < m < 5. Vậy đáp số là 0 ≤ m < 5.
Lưu ý: theo cách đọc tên bài, đề được hiểu là hàm số y = 1/√(mx² − 2mx + 5). Nếu đề của bạn là hàm khác (ví dụ không có mẫu số), hãy xem phần “Biến thể” bên dưới.
Bước 1: Viết điều kiện xác định
Hàm số có căn thức nằm ở mẫu, nên cần đồng thời hai điều kiện: biểu thức dưới căn không âm và căn thức khác 0. Gộp lại, ta được:
mx² − 2mx + 5 > 0.
Tập xác định bằng R nghĩa là bất đẳng thức trên đúng với mọi x thuộc R, không chừa giá trị nào.
Bước 2: Xét hai trường hợp của hệ số a = m
Biểu thức mx² − 2mx + 5 chỉ là tam thức bậc hai khi m ≠ 0. Vì vậy phải tách riêng:
- Trường hợp m = 0: biểu thức trở thành 5 > 0, luôn đúng. Hàm số là y = 1/√5, xác định trên R. Nhận m = 0.
- Trường hợp m ≠ 0: tam thức bậc hai f(x) = mx² − 2mx + 5 luôn dương khi và chỉ khi hệ số a = m > 0 và biệt thức Δ < 0.
Tính Δ’ (dùng b’ = −m): Δ’ = (−m)² − m·5 = m² − 5m = m(m − 5).
Giải hệ: m > 0 và m(m − 5) < 0. Vì m > 0 nên m − 5 < 0, tức m < 5. Ta có 0 < m < 5.
Bước 3: Kết luận
Hợp hai trường hợp: m = 0 hoặc 0 < m < 5, tức m ∈ [0; 5).
Kiểm tra lại bằng giá trị cụ thể
| Giá trị m | Biểu thức dưới căn | Kết quả |
|---|---|---|
| m = 1 | x² − 2x + 5 = (x − 1)² + 4 > 0 | Nhận |
| m = 0 | 5 > 0 | Nhận |
| m = 5 | 5x² − 10x + 5 = 5(x − 1)² = 0 tại x = 1 | Loại (mẫu bằng 0) |
| m = −1 | −x² + 2x + 5 < 0 khi x đủ lớn | Loại |
Bảng cho thấy vì sao đầu mút m = 5 bị loại: khi đó tam thức có nghiệm kép x = 1, làm mẫu số bằng 0 tại đúng một điểm nên tập xác định mất điểm x = 1.
Quy tắc cần nhớ
Với f(x) = ax² + bx + c:
| Yêu cầu với mọi x ∈ R | Điều kiện của tham số |
|---|---|
| f(x) > 0 (căn ở mẫu, hoặc logarit) | (a = b = 0 và c > 0) hoặc (a > 0 và Δ < 0) |
| f(x) ≥ 0 (căn ở tử) | (a = b = 0 và c ≥ 0) hoặc (a > 0 và Δ ≤ 0) |
Mẹo nhớ: “Căn ở mẫu thì Δ âm hẳn; căn ở tử thì Δ được bằng 0”. Đồ thị parabol phải nằm hoàn toàn phía trên trục hoành (không chạm) hoặc chỉ được chạm một điểm.
Lỗi sai thường gặp
- Quên xét m = 0. Nếu chỉ giải m > 0 và Δ’ < 0 thì mất đáp số m = 0. Đây là lỗi mất điểm nhiều nhất.
- Dùng Δ ≤ 0 khi căn ở mẫu. Δ = 0 khiến mẫu bằng 0 tại một điểm, nên phải là Δ < 0.
- Tính sai Δ’. Hệ số b = −2m nên b’ = −m, Δ’ = m² − 5m. Nếu dùng Δ = b² − 4ac = 4m² − 20m thì cũng cho cùng nghiệm 0 < m < 5.
- Quên điều kiện a > 0. Chỉ có Δ < 0 chưa đủ, vì khi a < 0 tam thức luôn âm.
Biến thể: nếu căn không nằm ở mẫu
Với y = √(mx² − 2mx + 5), điều kiện là mx² − 2mx + 5 ≥ 0 với mọi x. Khi m = 0 thoả mãn; khi m ≠ 0 cần m > 0 và m(m − 5) ≤ 0, tức 0 < m ≤ 5. Kết luận: 0 ≤ m ≤ 5. Chỉ khác ở đầu mút m = 5.
Bài luyện tập (tự giải rồi đối chiếu đáp án)
- Tìm m để hàm số y = 1/√(x² − 2mx + 4) có tập xác định R.
- Tìm m để hàm số y = 1/√(mx² − 4mx + 3) có tập xác định R.
- Tìm m để hàm số y = √(mx² + 4x + m) có tập xác định R.
Đáp án:
- a = 1 > 0, Δ’ = m² − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2.
- m = 0: biểu thức bằng 3 > 0, nhận. m ≠ 0: m > 0 và Δ’ = 4m² − 3m = m(4m − 3) < 0 ⇔ 0 < m < 3/4. Kết luận 0 ≤ m < 3/4.
- m = 0: biểu thức bằng 4x, âm khi x < 0, loại. m ≠ 0: m > 0 và Δ’ = 4 − m² ≤ 0 ⇔ m ≥ 2. Kết luận m ≥ 2.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao phải xét riêng trường hợp m = 0?
Vì khi m = 0 biểu thức mx² − 2mx + 5 không còn là tam thức bậc hai mà chỉ là hằng số 5, nên không áp dụng được điều kiện về Δ. Trường hợp này thoả mãn và phải được nhận vào đáp số.
Tại sao căn ở mẫu thì dùng Δ < 0 mà không dùng Δ ≤ 0?
Nếu Δ = 0 thì tam thức bằng 0 tại nghiệm kép, làm mẫu số bằng 0 tại điểm đó nên hàm số không xác định tại điểm ấy. Do đó phải có Δ < 0.
Đáp số của bài này là gì?
Hàm số y = 1/√(mx² − 2mx + 5) có tập xác định R khi 0 ≤ m < 5, tức m thuộc nửa khoảng [0; 5).
Nếu đề là y = √(mx² − 2mx + 5) thì đáp số thay đổi thế nào?
Khi đó chỉ cần biểu thức dưới căn không âm, nên Δ' ≤ 0 được phép. Đáp số là 0 ≤ m ≤ 5, khác ở chỗ m = 5 được nhận.