Trả lời nhanh
Hàm số y = 1/x có tập xác định D = ℝ \ {0} và tập giá trị cũng là ℝ \ {0}. Vì vậy phát biểu “tập giá trị là ℝ” là sai, còn phát biểu “tập xác định và tập giá trị cùng là ℝ \ {0}” là đúng. Lý do: phân số 1/x chỉ có nghĩa khi x ≠ 0, và 1/x không bao giờ bằng 0 với mọi x thuộc tập xác định.
Hai phát biểu cần phân biệt
Đề bài thường đưa ra hai nhận định gần giống nhau, chỉ khác ở tập giá trị:
- Nhận định 1: “Hàm số y = 1/x có tập xác định là ℝ \ {0} và tập giá trị là ℝ” → Sai (đúng nửa đầu, sai nửa sau).
- Nhận định 2: “Tập xác định và tập giá trị cùng là ℝ \ {0}” → Đúng.
Tìm tập xác định của y = 1/x
Tập xác định của hàm số cho bởi công thức là tập các giá trị x để biểu thức có nghĩa. Với phân số, mẫu phải khác 0.
Biểu thức 1/x có nghĩa ⇔ x ≠ 0. Vậy D = ℝ \ {0} = (−∞; 0) ∪ (0; +∞).
Tìm tập giá trị của y = 1/x
Tập giá trị T gồm các số m sao cho phương trình 1/x = m có nghiệm x thuộc D. Ta xét hai trường hợp:
- Nếu m ≠ 0: 1/x = m ⇔ x = 1/m. Nghiệm này khác 0 nên thuộc D. Vậy mọi m ≠ 0 đều là giá trị của hàm số.
- Nếu m = 0: 1/x = 0 ⇔ 1 = 0·x = 0, vô lý. Phương trình vô nghiệm nên 0 không là giá trị của hàm số.
Kết luận: T = ℝ \ {0}. Đây chính là lý do nhận định “tập giá trị là ℝ” bị loại.
Nhìn trên đồ thị
Đồ thị của y = 1/x là đường hypebol gồm hai nhánh, nằm ở góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Đồ thị không cắt trục tung (vì x = 0 không thuộc D) và không cắt trục hoành (vì y = 0 không thuộc T). Hai trục toạ độ là hai đường tiệm cận mà đồ thị tiến sát tới nhưng không chạm.
Mẹo nhớ
- Muốn biết tập xác định: hỏi “x nào làm mẫu bằng 0?” → loại x đó.
- Muốn biết tập giá trị: đặt y = m, giải x theo m, rồi xem m nào làm x không tồn tại hoặc rơi vào giá trị đã bị loại.
- Với y = 1/x, x và y “đối xứng vai trò” (xy = 1) nên hai tập đều bỏ số 0.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm tập giá trị với tập xác định của một biến khác: thấy tập xác định bỏ 0 rồi mặc định giá trị là ℝ. Phải kiểm tra bằng phương trình 1/x = m.
- Viết D = ℝ \ 0: phải viết ℝ \ {0}, vì 0 là phần tử, còn {0} mới là tập hợp.
- Cho rằng hàm số “tiến tới 0 nên bằng 0”: khi x rất lớn, 1/x rất nhỏ nhưng vẫn khác 0.
Luyện tập
- Tìm tập xác định và tập giá trị của y = 1/(x − 2).
Đáp án: D = ℝ \ {2}. Đặt 1/(x − 2) = m: với m ≠ 0 có x = 2 + 1/m; m = 0 vô nghiệm. Vậy T = ℝ \ {0}. - Tìm tập giá trị của y = 1/x + 3.
Đáp án: D = ℝ \ {0}. Vì 1/x nhận mọi giá trị khác 0 nên y nhận mọi giá trị khác 3. T = ℝ \ {3}. - Tìm tập giá trị của y = 1/x² (x ≠ 0).
Đáp án: x² > 0 nên 1/x² > 0; với m > 0, x = ±1/√m thoả mãn. Vậy T = (0; +∞), khác với y = 1/x.
Câu hỏi thường gặp
Hàm số y = 1/x có tập xác định là gì?
Tập xác định là ℝ \ {0}, tức mọi số thực khác 0, vì mẫu số x không được bằng 0.
Tập giá trị của hàm số y = 1/x là ℝ hay ℝ \ {0}?
Là ℝ \ {0}. Phương trình 1/x = 0 vô nghiệm nên y không bao giờ bằng 0, còn mọi giá trị m ≠ 0 đều đạt được tại x = 1/m.
Vì sao đồ thị y = 1/x không cắt hai trục toạ độ?
Vì x = 0 không thuộc tập xác định nên không cắt trục tung, và y = 0 không thuộc tập giá trị nên không cắt trục hoành.
Cách tìm tập giá trị của hàm phân thức đơn giản là gì?
Đặt y = m rồi giải phương trình theo x. Những giá trị m làm phương trình có nghiệm thuộc tập xác định chính là tập giá trị.