Trả lời nhanh
Phương trình tan3x = tanx có nghiệm x = kπ (k ∈ ℤ). Đưa về 3x = x + kπ nên x = kπ/2, nhưng điều kiện cos x ≠ 0 loại các giá trị x = π/2 + mπ (k lẻ). Chỉ còn k chẵn, tức x = kπ.
Bước 1: Tìm điều kiện xác định
Hàm tan chỉ có nghĩa khi cos của góc khác 0. Vì vậy phương trình tan3x = tanx cần đồng thời:
- cos3x ≠ 0, tức 3x ≠ π/2 + kπ;
- cos x ≠ 0, tức x ≠ π/2 + kπ.
Nhiều bạn quên bước này rồi giải ra thừa nghiệm. Hãy viết điều kiện ra trước, dù chỉ một dòng.
Bước 2: Giải bằng công thức tan u = tan v
Ta có tan u = tan v ⇔ u = v + kπ (k ∈ ℤ). Áp dụng với u = 3x, v = x:
3x = x + kπ ⇔ 2x = kπ ⇔ x = kπ/2 (k ∈ ℤ).
Đây mới là tập “nghiệm thô”. Ta phải đối chiếu với điều kiện ở bước 1.
Bước 3: Đối chiếu điều kiện, loại nghiệm
Xét x = kπ/2 theo tính chẵn lẻ của k:
| Trường hợp | Giá trị x | cos x | Kết luận |
|---|---|---|---|
| k = 2m (chẵn) | x = mπ | ±1 ≠ 0; cos3x = ±1 ≠ 0 | Nhận |
| k = 2m + 1 (lẻ) | x = π/2 + mπ | cos x = 0 | Loại |
Với k lẻ, tanx không xác định, nên dù 3x = x + kπ vẫn đúng về mặt đại số, hai vế của phương trình đều vô nghĩa.
Kết luận: x = kπ, k ∈ ℤ.
Cách 2: Biến đổi hiệu hai tan về tích
Dùng công thức tan a − tan b = sin(a − b) / (cos a · cos b) (khi cos a, cos b đều khác 0):
tan3x − tanx = sin2x / (cos3x · cosx) = 0 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x = kπ/2.
Điều kiện cosx ≠ 0 vẫn loại x = π/2 + mπ. Kết quả trùng cách 1: x = kπ. Cách này tiện để kiểm tra chéo đáp án.
Kiểm tra nhanh bằng số
- x = 0: tan0 = 0 và tan0 = 0, thỏa mãn.
- x = π: tan3π = 0 và tanπ = 0, thỏa mãn.
- x = π/2: tan(π/2) không xác định, đúng là bị loại.
- x = π/4 (không phải nghiệm): tan(3π/4) = −1 còn tan(π/4) = 1, khác nhau.
Lỗi sai thường gặp
- Quên điều kiện và trả lời x = kπ/2. Đây là lỗi hay gặp nhất với dạng này.
- Dùng 2kπ thay vì kπ: tan có chu kì π, không phải 2π, nên phải cộng kπ.
- Chia hai vế cho tanx rồi bỏ mất nghiệm tanx = 0.
- Nhầm với sin, cos: sin3x = sinx cho hai họ nghiệm, còn tan chỉ cho một họ.
Mẹo nhớ: với tan và cot, luôn “cộng kπ rồi lọc điều kiện”.
Bài luyện tập có đáp án
Bài 1. Giải tan2x = tan(x + π/3).
Giải. Điều kiện: cos2x ≠ 0 và cos(x + π/3) ≠ 0. Ta có 2x = x + π/3 + kπ ⇔ x = π/3 + kπ. Khi đó 2x = 2π/3 + 2kπ có cos = −1/2 ≠ 0 và x + π/3 = 2π/3 + kπ có cos ≠ 0. Vậy nghiệm là x = π/3 + kπ (k ∈ ℤ).
Bài 2. Tìm nghiệm của tan3x = tanx thuộc đoạn [0; 2π].
Giải. x = kπ nên 0 ≤ kπ ≤ 2π ⇒ k ∈ {0, 1, 2}. Các nghiệm: x = 0, x = π, x = 2π.
Bài 3. Giải tan3x = −tanx.
Giải. Viết −tanx = tan(−x). Khi đó 3x = −x + kπ ⇔ x = kπ/4. Điều kiện cosx ≠ 0 loại x = π/2 + mπ, tức loại k = 4m + 2. Với các k còn lại, cos3x ≠ 0. Vậy x = kπ/4 với k ∈ ℤ, k ≠ 4m + 2 (tức là x = mπ hoặc x = π/4 + mπ/2).
Câu hỏi thường gặp
Phương trình tan3x = tanx có nghiệm là gì?
Nghiệm là x = kπ với k là số nguyên. Từ 3x = x + kπ ta có x = kπ/2, sau đó loại các giá trị x = π/2 + mπ vì tanx không xác định tại đó.
Vì sao phải loại nghiệm x = π/2 + kπ?
Tại các điểm này cos x = 0 nên tanx không có nghĩa. Một phương trình chỉ có nghiệm khi cả hai vế đều xác định, nên các giá trị đó không phải nghiệm.
Giải phương trình tan u = tan v có cần điều kiện không?
Có. Cần cos u ≠ 0 và cos v ≠ 0. Sau khi giải ra u = v + kπ, hãy thay lại để kiểm tra điều kiện, nhất là khi hệ số của x ở hai vế khác nhau.
Có thể giải tan3x = tanx bằng cách khác không?
Có. Dùng tan3x − tanx = sin2x / (cos3x·cosx) = 0 suy ra sin2x = 0, x = kπ/2. Sau đó loại x = π/2 + mπ do cos x = 0, kết quả vẫn là x = kπ.