Bài 4.21 trang 70 Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức: cách giải
Lớp 10ToánKết nối tri thức

Bài 4.21 trang 70 Toán 10 Tập 1 Kết nối tri thức: cách giải

Trả lời nhanh

Bài 4.21 trang 70 nằm trong chương IV – Vectơ, Toán 10 Kết nối tri thức tập 1. Để giải, em chọn một trong ba hướng: biến đổi vectơ bằng quy tắc ba điểm, trung điểm, trọng tâm; dùng tích vô hướng a·b = |a|·|b|·cos(a, b); hoặc đặt hệ toạ độ rồi tính theo toạ độ. Bên dưới là từng bước kèm ví dụ minh hoạ.

Bài 4.21 thuộc phần kiến thức nào?

Các bài đánh số 4.x đều nằm ở chương IV, gồm năm bài: khái niệm vectơ, tổng và hiệu hai vectơ, tích của vectơ với một số, vectơ trong mặt phẳng toạ độ và tích vô hướng. Những bài ở gần cuối chương thường yêu cầu phối hợp nhiều công cụ trong cùng một bài.

Vì vậy trước khi tính toán, em hãy đọc đề và tự hỏi: đề cho điều kiện bằng vectơ, bằng độ dài – góc, hay bằng toạ độ? Câu trả lời quyết định em chọn hướng nào dưới đây. Em nên đối chiếu với đề in trong sách của mình để áp dụng cho đúng.

Ba công cụ cần nhớ

Công cụ Nội dung Dùng khi
Quy tắc ba điểm AB + BC = AC; AB − AC = CB Chứng minh đẳng thức vectơ, phân tích vectơ
Trung điểm, trọng tâm I là trung điểm AB: MA + MB = 2MI. G là trọng tâm: GA + GB + GC = 0 Đề có trung điểm, trọng tâm, đường trung tuyến
Tích vô hướng a·b = |a|·|b|·cos(a, b); theo toạ độ: a·b = x1x2 + y1y2 Tính góc, độ dài, chứng minh vuông góc (a·b = 0)

Ví dụ 1: phân tích vectơ (ví dụ tự đặt)

Đề: Cho tam giác ABC, D là trung điểm AB, E nằm trên cạnh AC sao cho AE = (1/3)AC. Biểu diễn DE theo AB và AC.

Giải: Dùng quy tắc ba điểm với gốc A:

  • DE = AE − AD (hiệu hai vectơ cùng gốc A).
  • AE = (1/3)AC vì E nằm trên tia AC và AE = (1/3)AC.
  • AD = (1/2)AB vì D là trung điểm AB.

Suy ra DE = (1/3)AC − (1/2)AB.

Mẹo: Muốn phân tích mọi vectơ theo hai vectơ cho trước, hãy đưa tất cả về cùng một điểm gốc chung (ở đây là A).

Ví dụ 2: tích vô hướng trong hình vuông (ví dụ tự đặt)

Đề: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB·AC và AC·BD.

  1. Đường chéo AC = a√2, góc giữa AB và AC bằng 45°.
  2. AB·AC = a · a√2 · cos45° = a · a√2 · (√2/2) = a2.
  3. Hai đường chéo hình vuông vuông góc nên AC·BD = 0.

Lỗi hay gặp: lấy nhầm góc giữa hai vectơ. Góc (AB, AC) lấy khi hai vectơ cùng gốc A; nếu hai vectơ khác gốc, phải tịnh tiến về cùng gốc trước. Ví dụ góc (AB, CB) không bằng góc ABC mà bằng 180° trừ đi góc đó.

Ví dụ 3: dùng toạ độ (ví dụ tự đặt)

Đề: Cho A(1; 2), B(4; 3), C(2; 6). Tính góc A của tam giác ABC.

  1. AB = (3; 1), AC = (1; 4).
  2. AB·AC = 3·1 + 1·4 = 7.
  3. |AB| = √10, |AC| = √17.
  4. cos A = 7/√170 ≈ 0,537, nên góc A ≈ 57,5°.

Đáp số này là góc nhọn, phù hợp vì tích vô hướng dương. Em dùng được dấu của tích vô hướng để kiểm tra nhanh: dương là góc nhọn, bằng 0 là góc vuông, âm là góc tù.

Quy trình làm bài cuối chương vectơ

  1. Vẽ hình, ghi rõ các điểm đặc biệt (trung điểm, trọng tâm, chân đường cao).
  2. Chọn công cụ: vectơ thuần tuý, tích vô hướng hay toạ độ.
  3. Biến đổi từng bước, ghi rõ quy tắc đang dùng.
  4. Kiểm tra lại bằng một trường hợp đặc biệt hoặc dấu của kết quả.

Bài luyện tập có đáp án

Bài 1. Cho A(0; 1), B(3; 5), C(−2; 2). Tìm toạ độ D để ABCD là hình bình hành.

Đáp án: ABCD là hình bình hành khi AB = DC. AB = (3; 4), DC = (−2 − x; 2 − y). Từ đó −2 − x = 3 và 2 − y = 4, suy ra D(−5; −2).

Bài 2. Cho |a| = 2, |b| = 3, góc giữa a và b bằng 60°. Tính a·b và |a + b|.

Đáp án: a·b = 2·3·cos60° = 3. |a + b|2 = 4 + 9 + 2·3 = 19, nên |a + b| = √19.

Bài 3. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh với mọi điểm M: MA + MB + MC = 3MG.

Gợi ý: viết MA = MG + GA, MB = MG + GB, MC = MG + GC rồi cộng lại, dùng GA + GB + GC = 0.

Lưu ý khi đối chiếu đáp án

Hãy chép lại đề đúng từng chữ, vì chỉ cần đổi một điều kiện (trung điểm thành điểm chia tỉ lệ) là cách phân tích thay đổi. Sau khi làm xong, nên đọc lại để chắc chắn mình đã dùng đúng kí hiệu vectơ, không viết nhầm vectơ với độ dài.

Câu hỏi thường gặp

Bài 4.21 trang 70 Toán 10 Kết nối tri thức thuộc chương nào?

Các bài đánh số 4.x thuộc chương IV – Vectơ trong Toán 10 Kết nối tri thức tập 1. Em cần nắm quy tắc ba điểm, trung điểm, trọng tâm, toạ độ vectơ và tích vô hướng.

Khi nào nên dùng toạ độ để giải bài vectơ?

Khi hình có thể đặt vào hệ trục dễ dàng, như hình vuông, hình chữ nhật, tam giác vuông, hoặc đề đã cho sẵn toạ độ các điểm. Lúc đó mọi phép tính quy về cộng, trừ, nhân số.

Làm sao chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng vectơ?

Lấy hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng rồi tính tích vô hướng. Nếu bằng 0 thì hai đường thẳng vuông góc.

Góc giữa hai vectơ khác gốc tính thế nào?

Tịnh tiến một vectơ để hai vectơ có cùng gốc rồi mới đo góc. Nếu không, em dễ nhầm góc với góc bù của nó.

Bài học liên quan