Tìm parabol y = ax² + bx + 2 biết đỉnh I(2; −2)

Trả lời nhanh

Parabol cần tìm là y = x² − 4x + 2 (a = 1, b = −4). Vì đỉnh I(2; −2) nên hoành độ đỉnh −b/(2a) = 2, suy ra b = −4a; đồng thời điểm I thuộc parabol nên 4a + 2b + 2 = −2. Giải hệ hai phương trình này ta được a = 1 và b = −4.

Đề bài

Tìm parabol y = ax² + bx + 2, biết rằng parabol đó có đỉnh I(2; −2).

Cần nhớ gì trước khi giải?

Parabol y = ax² + bx + c (a ≠ 0) có đỉnh I với:

Hoành độ đỉnh: x_I = −b/(2a).
Tung độ đỉnh: y_I = −Δ/(4a), với Δ = b² − 4ac; hoặc đơn giản hơn là thay x_I vào hàm số.
Đỉnh nằm trên parabol, nên toạ độ đỉnh luôn thoả mãn phương trình y = ax² + bx + c.

Ở bài này có hai ẩn a, b nên ta cần đúng hai phương trình. Thông tin “đỉnh I(2; −2)” chính là hai dữ kiện: hoành độ đỉnh bằng 2 và tung độ đỉnh bằng −2.

Cách 1: Lập hệ phương trình theo a và b

Bước 1. Hoành độ đỉnh bằng 2 nên:

−b/(2a) = 2 ⇒ b = −4a. (1)

Bước 2. Đỉnh I(2; −2) thuộc parabol nên thay x = 2, y = −2 vào y = ax² + bx + 2:

a·2² + b·2 + 2 = −2 ⇒ 4a + 2b = −4 ⇒ 2a + b = −2. (2)

Bước 3. Thế (1) vào (2): 2a + (−4a) = −2 ⇒ −2a = −2 ⇒ a = 1. Suy ra b = −4·1 = −4.

Kết luận: a = 1 ≠ 0 (thoả điều kiện), parabol cần tìm là y = x² − 4x + 2.

Cách 2: Dùng dạng toạ độ đỉnh

Parabol có đỉnh I(2; −2) luôn viết được dưới dạng y = a(x − 2)² − 2. Khai triển:

y = a(x² − 4x + 4) − 2 = ax² − 4ax + 4a − 2.

Đồng nhất với y = ax² + bx + 2 ta có: b = −4a và 4a − 2 = 2 ⇒ a = 1, b = −4. Kết quả trùng với cách 1.

Cách này gọn hơn vì chỉ phải giải một phương trình một ẩn, nhất là khi hệ số tự do c đã cho sẵn.

Kiểm tra lại kết quả

Hoành độ đỉnh: −b/(2a) = −(−4)/(2·1) = 2 ✓.
Tung độ đỉnh: y(2) = 2² − 4·2 + 2 = 4 − 8 + 2 = −2 ✓.
Hệ số tự do bằng 2, khớp với đề ✓. Vì a = 1 > 0 nên parabol quay bề lõm lên trên và I là điểm thấp nhất.

Đồ thị parabol y = x² − 4x + 2 có đỉnh I(2; −2), trục đối xứng x = 2 và cắt trục tung tại (0; 2) — Đồ thị parabol y = x² − 4x + 2: đỉnh I(2; −2), trục đối xứng x = 2, cắt Oy tại (0; 2).

Lỗi sai thường gặp

Chỉ dùng một dữ kiện. Nhiều bạn chỉ thay toạ độ I vào hàm số, được một phương trình hai ẩn rồi bí. Phải nhớ thêm điều kiện x_I = −b/(2a).
Sai dấu khi dùng công thức đỉnh. Công thức là −b/(2a), có dấu trừ phía trước. Ở đây b = −4a nên mới có −(−4a)/(2a) = 2.
Quên điều kiện a ≠ 0. Sau khi tìm được a, hãy kiểm tra a khác 0.
Nhầm tung độ đỉnh với hệ số c. Tung độ đỉnh là −2, còn hệ số tự do là 2 (giao điểm với trục Oy là (0; 2)).

Mẹo nhớ

Đề cho “đỉnh I(p; q)” thì nghĩ ngay đến hai cách: (i) hệ gồm −b/(2a) = p và a·p² + b·p + c = q; (ii) viết y = a(x − p)² + q rồi tìm a từ một điểm đã biết (ở đây là điểm (0; 2) trên trục Oy). Cách (ii) thường nhanh hơn: thay x = 0, y = 2 vào y = a(x − 2)² − 2 được 4a − 2 = 2, tức a = 1.

Bài luyện tập

Tìm parabol y = ax² + bx + 1 có đỉnh I(1; −2).
Tìm parabol y = ax² + bx + 3 có đỉnh I(−1; 1).
Tìm parabol y = ax² + 4x + c có đỉnh I(2; 5).

Đáp án

b = −2a; a + b + 1 = −2 ⇒ −a = −3 ⇒ a = 3, b = −6. Parabol: y = 3x² − 6x + 1.
−b/(2a) = −1 ⇒ b = 2a; a − b + 3 = 1 ⇒ −a = −2 ⇒ a = 2, b = 4. Parabol: y = 2x² + 4x + 3.
−4/(2a) = 2 ⇒ a = −1; y(2) = −4 + 8 + c = 5 ⇒ c = 1. Parabol: y = −x² + 4x + 1.

Câu hỏi thường gặp

Parabol y = ax² + bx + 2 có đỉnh I(2; −2) là parabol nào?

Đó là parabol y = x² − 4x + 2, với a = 1 và b = −4. Kiểm tra: hoành độ đỉnh −b/(2a) = 2 và y(2) = −2.

Vì sao cần hai phương trình để tìm a và b?

Vì có hai ẩn a, b. Toạ độ đỉnh I(2; −2) cho hai điều kiện: hoành độ đỉnh bằng 2 và điểm I thuộc parabol, nên lập được hệ hai phương trình hai ẩn.

Có cách nào giải nhanh hơn lập hệ không?

Có. Viết y = a(x − 2)² − 2 rồi dùng điểm (0; 2) trên trục Oy (vì c = 2): 4a − 2 = 2 nên a = 1, sau đó khai triển để có b = −4.

Công thức tọa độ đỉnh của parabol y = ax² + bx + c là gì?

Đỉnh I có hoành độ −b/(2a) và tung độ −Δ/(4a) với Δ = b² − 4ac. Cũng có thể thay hoành độ đỉnh vào hàm số để tìm tung độ.