Trả lời nhanh
Với ABCD là hình bình hành và O là điểm bất kì, đẳng thức luôn đúng là OA + OC = OB + OD (các vectơ). Lý do: hình bình hành có vectơ AB = vectơ DC; chèn điểm O vào hai vế rồi chuyển vế sẽ ra ngay đẳng thức này. Cả hai vế đều bằng 2 lần vectơ OI, với I là tâm hình bình hành.
Quy ước trong bài: chữ in đậm như OA là vectơ từ O đến A. Đây là dạng câu hỏi quen thuộc ở chương Vectơ lớp 10. Đề thường cho bốn đẳng thức na ná nhau và yêu cầu chọn cái luôn đúng với mọi vị trí của O. Nếu đề của bạn có phương án khác, cứ áp dụng cách kiểm tra ở phần dưới.
Hình minh hoạ
Chứng minh OA + OC = OB + OD
- ABCD là hình bình hành nên AB = DC (cùng hướng, cùng độ dài).
- Chèn điểm O: AB = OB − OA và DC = OC − OD.
- Do đó OB − OA = OC − OD.
- Chuyển vế: OA + OC = OB + OD. ∎
Cách khác: gọi I là giao điểm hai đường chéo, I là trung điểm của AC và BD. Khi đó OA + OC = 2OI và OB + OD = 2OI. Hai vế bằng nhau với mọi O.
Cách kiểm tra nhanh một đẳng thức bất kì
Mẹo: đưa mọi đẳng thức về dạng quan hệ giữa các vectơ cạnh, rồi so với hai hệ thức gốc AB = DC và AD = BC. Cụ thể, chuyển các vectơ có cùng “kiểu” về cùng một vế để xuất hiện hiệu dạng OB − OA = AB.
| Đẳng thức | Đưa về | Kết luận |
|---|---|---|
| OA + OC = OB + OD | AB = DC | Đúng |
| OA − OB = OD − OC | BA = CD | Đúng (tương đương) |
| OA − OD = OB − OC | DA = CB | Đúng (tương đương) |
| OA + OB = OC + OD | CB = AD | Sai, vì AD = BC là vectơ đối của CB |
| OA − OB = OC − OD | BA = DC | Sai, vì AB = DC |
| OA + OB + OC + OD = 0 | 4OI = 0 | Chỉ đúng khi O trùng I, không đúng với O bất kì |
Các dòng trong bảng là những dạng hay xuất hiện trong đề trắc nghiệm. Hãy đối chiếu với bốn phương án của bạn.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm hướng vectơ: viết AB = CD. Hình bình hành ABCD có AB = DC, không phải CD. Hãy nhớ “đi từ A đến B giống đi từ D đến C”.
- Nhầm với trọng tâm: đẳng thức OA + OB + OC + OD = 4OI đúng với mọi O, nhưng bằng 0 chỉ khi O ≡ I.
- Thử một vị trí O đặc biệt rồi kết luận: chọn O = A có thể làm nhiều đẳng thức sai tình cờ đúng. Muốn loại phương án thì thử O ở vị trí tuỳ ý, hoặc dùng cách biến đổi ở trên.
Bài luyện tập
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD, O bất kì. Chứng minh OA − OB + OC − OD = 0.
Đáp án: nhóm (OA + OC) − (OB + OD) = 2OI − 2OI = 0.
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD có tâm I, O bất kì. Tính OA + OB + OC + OD theo OI.
Đáp án: 2OI + 2OI = 4OI.
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD, điểm M thoả MA + MC = MB + MD. M nằm ở đâu?
Đáp án: đẳng thức này đúng với mọi M (đúng như kết quả ở trên), nên M có thể là bất kì điểm nào trong mặt phẳng.
Câu hỏi thường gặp
Cho hình bình hành ABCD và O bất kì thì đẳng thức nào đúng?
Đẳng thức OA + OC = OB + OD (vectơ) luôn đúng, kể cả các dạng tương đương như OA − OB = OD − OC. Nó suy ra từ AB = DC.
Vì sao OA + OB + OC + OD = 0 không đúng với mọi O?
Tổng bốn vectơ này bằng 4OI với I là tâm hình bình hành, nên chỉ bằng vectơ không khi O trùng I.
Làm sao loại nhanh phương án sai trong câu trắc nghiệm này?
Đưa đẳng thức về quan hệ giữa các vectơ cạnh, ví dụ AB = DC hay AD = BC. Nếu ra AB = CD hoặc CB = AD thì sai hướng, phương án đó sai.
Đẳng thức này có liên hệ gì với trung điểm hai đường chéo?
Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường, nên OA + OC = 2OI = OB + OD.