Trả lời nhanh
Đáp án C: 0° < α < 90° và 90° < α < 180°. Vì tan α·cos α = (sin α / cos α)·cos α = sin α (khi cos α ≠ 0), nên tích này dương khi sin α > 0, tức 0° < α < 180°. Riêng α = 90° bị loại vì tan 90° không xác định.
Đề bài
Tìm giá trị của góc α (với 0° ≤ α ≤ 180°) để tan α·cos α > 0. Các phương án:
- A. 0° < α < 90°
- B. 90° < α < 180°
- C. 0° < α < 90° và 90° < α < 180°
- D. α = 0° và α = 180°
Lời giải chi tiết
- Điều kiện xác định: tan α chỉ có nghĩa khi α ≠ 90°, nên cos α ≠ 0.
- Rút gọn: tan α·cos α = (sin α / cos α)·cos α = sin α.
- Xét dấu: với 0° ≤ α ≤ 180°, sin α ≥ 0 và sin α = 0 chỉ khi α = 0° hoặc α = 180°. Do đó sin α > 0 khi 0° < α < 180°.
- Kết hợp điều kiện: bỏ α = 90°, ta được 0° < α < 90° hoặc 90° < α < 180°.
Vậy chọn C.
Loại trừ từng phương án
| Phương án | Nhận xét |
|---|---|
| A | Thiếu. Với α = 120° ta có tan 120° = −√3 và cos 120° = −1/2, tích bằng √3/2 > 0 nhưng 120° không nằm trong khoảng ở A. |
| B | Thiếu. Với α = 60° ta có tan 60° = √3, cos 60° = 1/2, tích bằng √3/2 > 0 nhưng 60° không thuộc B. |
| C | Đúng. Gồm mọi góc có sin α > 0 và tan α xác định. |
| D | Sai. Tại 0° và 180° có sin α = 0 nên tích bằng 0, không lớn hơn 0. |
Khi nào cos α lớn hơn 0?
Nhiều bạn tìm kiếm câu hỏi này với ý “với giá trị nào của α thì cos α lớn hơn 0”. Với góc 0° ≤ α ≤ 180°, ta dựa vào nửa đường tròn đơn vị: cos α là hoành độ của điểm M trên đường tròn.
- Điểm M nằm bên phải trục tung (hoành độ dương) khi 0° ≤ α < 90°, nên cos α > 0.
- Tại α = 90°, cos α = 0.
- Điểm M nằm bên trái trục tung khi 90° < α ≤ 180°, nên cos α < 0.
| Khoảng của α | sin α | cos α | tan α |
|---|---|---|---|
| 0° < α < 90° | + | + | + |
| α = 90° | 1 | 0 | không xác định |
| 90° < α < 180° | + | − | − |
Nếu mở rộng α ra các góc lớn hơn (theo đường tròn lượng giác đầy đủ), cos α > 0 còn đúng cho các góc thuộc góc phần tư thứ IV, nhưng với chương trình góc từ 0° đến 180° thì chỉ cần nhớ khoảng 0° ≤ α < 90°.
Mẹo nhớ và lỗi sai thường gặp
- Mẹo: thấy tích dạng tan α·cos α, hãy đổi ngay thành sin α. Tương tự cot α·sin α = cos α (khi sin α ≠ 0).
- Lỗi 1: quên điều kiện xác định, chọn luôn “0° < α < 180°” mà không loại 90°.
- Lỗi 2: nghĩ rằng tan và cos cùng dấu mới có tích dương. Thực tế ở góc tù cả hai cùng âm nên tích vẫn dương.
- Lỗi 3: chọn D vì thấy “đặc biệt”, trong khi tích tại các góc đó bằng 0.
Bài luyện tập
- Với 0° < α < 180°, tìm α để cot α·sin α > 0.
Đáp án: cot α·sin α = cos α (sin α ≠ 0), dương khi 0° < α < 90°. - Với 0° < α < 180°, tan α·sin α > 0 khi nào?
Đáp án: sin α > 0 nên cần tan α > 0, tức 0° < α < 90°. - Với 0° ≤ α ≤ 180°, tìm α để cos α < 0.
Đáp án: 90° < α ≤ 180°.
Câu hỏi thường gặp
Với giá trị nào của α thì cos α lớn hơn 0?
Với góc 0° ≤ α ≤ 180°, cos α > 0 khi 0° ≤ α < 90°. Tại 90° cos α = 0 và với 90° < α ≤ 180° thì cos α < 0.
Vì sao tan α·cos α bằng sin α?
Vì tan α = sin α / cos α. Nhân với cos α (khác 0) thì cos α được giản ước, còn lại sin α.
Tại sao không chọn α = 90° trong câu này?
Vì tan 90° không xác định (cos 90° = 0), nên biểu thức tan α·cos α không có nghĩa tại α = 90°.
Tại α = 0° hoặc 180°, tan α·cos α bằng bao nhiêu?
Tại hai góc này sin α = 0 nên tan α·cos α = 0, không thoả mãn điều kiện lớn hơn 0.