Trả lời nhanh
Đây là bài toán tối ưu với hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Gọi x, y là số kg sản phẩm loại I, loại II; lập các ràng buộc về nguyên liệu và thời gian, vẽ miền nghiệm rồi tính tiền lãi tại các đỉnh. Với đề phổ biến (loại I: 2 kg nguyên liệu, 30 giờ, lãi 40 nghìn; loại II: 4 kg, 15 giờ, lãi 30 nghìn; có 200 kg và 1200 giờ) thì sản xuất 20 kg loại I và 40 kg loại II, lãi lớn nhất 2 triệu đồng.
Đề bài về “một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm” có nhiều bản với số liệu khác nhau. Vì vậy, thay vì học thuộc đáp số, em hãy nắm quy trình giải. Dưới đây thầy dùng một đề điển hình làm ví dụ; nếu đề của em có số khác, em giữ nguyên các bước và thay số vào.
Đề ví dụ
Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm. Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, thu lãi 40 000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, thu lãi 30 000 đồng. Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Hỏi nên sản xuất mỗi loại bao nhiêu kg để tiền lãi lớn nhất?
Bước 1: Đặt ẩn và lập bảng số liệu
Gọi x là số kg loại I, y là số kg loại II (x ≥ 0, y ≥ 0). Lập bảng giúp em không nhầm cột:
| Loại | Nguyên liệu (kg) | Thời gian (giờ) | Lãi (nghìn đồng) |
|---|---|---|---|
| I (x kg) | 2 | 30 | 40 |
| II (y kg) | 4 | 15 | 30 |
| Tối đa có | 200 | 1200 | — |
Bước 2: Viết hệ bất phương trình ràng buộc
- Nguyên liệu: 2x + 4y ≤ 200, rút gọn thành x + 2y ≤ 100.
- Thời gian: 30x + 15y ≤ 1200, rút gọn (chia 15) thành 2x + y ≤ 80.
- Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ 0.
Hàm mục tiêu (tiền lãi, đơn vị nghìn đồng): L = 40x + 30y. Cần tìm giá trị lớn nhất của L trên miền nghiệm.
Bước 3: Vẽ miền nghiệm
Vẽ hai đường thẳng x + 2y = 100 và 2x + y = 80. Vì gốc O(0; 0) thoả cả hai bất phương trình nên miền nghiệm nằm về phía gốc tọa độ, trong góc phần tư thứ nhất. Đó là một tứ giác lồi OACB như hình.
Bước 4: Tìm toạ độ các đỉnh
- O(0; 0).
- A: giao của 2x + y = 80 với trục Ox (y = 0) nên A(40; 0).
- C: giao của x + 2y = 100 với trục Oy (x = 0) nên C(0; 50).
- B: giải hệ x + 2y = 100 và 2x + y = 80. Nhân phương trình đầu với 2: 2x + 4y = 200; trừ cho phương trình sau được 3y = 120, y = 40, suy ra x = 20. Vậy B(20; 40).
Kiểm tra B: 2·20 + 4·40 = 200 (đúng bằng 200 kg) và 30·20 + 15·40 = 1200 (đúng bằng 1200 giờ). Cả hai nguồn lực đều dùng hết.
Bước 5: Tính L tại các đỉnh
| Đỉnh | (x; y) | L = 40x + 30y (nghìn đồng) |
|---|---|---|
| O | (0; 0) | 0 |
| A | (40; 0) | 1600 |
| B | (20; 40) | 2000 |
| C | (0; 50) | 1500 |
Kết luận: L lớn nhất bằng 2000 nghìn đồng (2 triệu đồng) tại B(20; 40). Xưởng nên sản xuất 20 kg loại I và 40 kg loại II.
Vì sao chỉ cần xét các đỉnh?
Hàm L = 40x + 30y là hàm bậc nhất nên giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên một miền đa giác lồi (đóng, bị chặn) luôn đạt tại một đỉnh của miền. Nhờ vậy em không phải thử vô số điểm, chỉ tính L tại vài đỉnh rồi so sánh.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm cột: ghi thời gian vào chỗ nguyên liệu. Hãy lập bảng như trên trước khi viết bất phương trình.
- Quên điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0 nên miền nghiệm bị sai.
- Chỉ lấy giao điểm hai đường thẳng mà bỏ qua các đỉnh nằm trên trục toạ độ (A, C). Điểm tối ưu có thể nằm ở đó.
- Đề yêu cầu số sản phẩm là số nguyên (cái, chiếc) mà đỉnh lại ra số thập phân: cần kiểm tra các điểm nguyên gần đỉnh nằm trong miền.
- Quên đổi đơn vị: lãi ghi nghìn đồng thì kết quả cũng tính theo nghìn đồng.
Mẹo nhớ
Nhớ ba chữ “Ẩn – Ràng buộc – Đỉnh”: đặt ẩn, viết ràng buộc từ bảng, rồi thử từng đỉnh của miền nghiệm. Mỗi nguồn lực (nguyên liệu, giờ công, vốn…) cho đúng một bất phương trình.
Bài luyện tập
Bài 1 (đề tự đặt). Một cửa hàng làm hai loại bánh. Mỗi cái bánh A cần 1 kg bột và 2 giờ, lãi 30 nghìn đồng. Mỗi cái bánh B cần 2 kg bột và 1 giờ, lãi 20 nghìn đồng. Cửa hàng có 80 kg bột và 70 giờ. Tìm số bánh mỗi loại để lãi lớn nhất.
Đáp án. Gọi x, y là số bánh A, B. Ràng buộc: x + 2y ≤ 80, 2x + y ≤ 70, x, y ≥ 0. Đỉnh: (0; 0), (35; 0), (0; 40) và giao điểm (20; 30) (giải: 3x = 60 nên x = 20, y = 30). L = 30x + 20y có các giá trị: 0; 1050; 800; 1200. Vậy lãi lớn nhất 1200 nghìn đồng khi làm 20 bánh A và 30 bánh B.
Bài 2. Với đề ví dụ ở trên, nếu lãi loại II tăng lên 80 nghìn đồng/kg thì phương án tối ưu thay đổi thế nào?
Đáp án. L = 40x + 80y. Tại O: 0; A: 1600; B: 40·20 + 80·40 = 4000; C: 80·50 = 4000. Lãi lớn nhất 4000 nghìn đồng, đạt tại cả B và C (và mọi điểm trên cạnh BC). Phương án 0 kg loại I, 50 kg loại II cũng tối ưu.
Câu hỏi thường gặp
Bài toán một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm thuộc dạng nào?
Đây là bài toán quy hoạch tuyến tính trong chương hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Toán 10): tìm giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu (tiền lãi) trên miền nghiệm của hệ ràng buộc.
Vì sao chỉ cần tính tiền lãi tại các đỉnh của miền nghiệm?
Hàm lãi là hàm bậc nhất của x và y, nên trên miền đa giác lồi nó đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại một trong các đỉnh. Vì vậy chỉ cần so sánh giá trị tại các đỉnh.
Nếu số liệu đề của em khác thì làm thế nào?
Giữ nguyên quy trình: lập bảng, viết bất phương trình cho từng nguồn lực, vẽ miền nghiệm, tìm toạ độ các đỉnh rồi tính hàm mục tiêu tại mỗi đỉnh để chọn giá trị lớn nhất.
Khi đỉnh tối ưu không nguyên mà sản phẩm phải là số nguyên thì sao?
Em xét các điểm có toạ độ nguyên nằm trong miền nghiệm và gần đỉnh đó, tính hàm mục tiêu tại các điểm ấy rồi chọn điểm cho giá trị tốt nhất.