Một mảnh đất hình chữ nhật: cách giải bài toán x, y

Trả lời nhanh

Với bài toán “một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài x (m), chiều rộng y (m), 1 ≤ y ≤ x”, em làm ba bước: (1) viết hệ thức giữa x và y từ dữ kiện chu vi, diện tích hay chiều dài hàng rào; (2) biến đổi để chỉ còn một ẩn kèm điều kiện của ẩn đó; (3) tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức cần tối ưu bằng hàm bậc hai hoặc bất đẳng thức. Điều kiện 1 ≤ y ≤ x cho biết y là cạnh ngắn, y ít nhất 1 m, và x không nhỏ hơn y.

Đọc đúng điều kiện 1 ≤ y ≤ x

Điều kiện này có hai tác dụng. Thứ nhất, nó chốt tên gọi: x luôn là cạnh dài, y là cạnh ngắn, nên không phải xét hai trường hợp đổi vai. Thứ hai, nó giới hạn miền giá trị của ẩn. Ví dụ nếu x + y = 20 thì từ y ≤ x suy ra y ≤ 10, vì vậy 1 ≤ y ≤ 10. Rất nhiều bài làm sai vì quên bước thu hẹp này.

Mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài x, chiều rộng y, rào ba cạnh dựa vào bờ tường — Hình 1. Mô hình mảnh đất hình chữ nhật x × y rào ba cạnh, cạnh còn lại là bờ tường.

Dạng 1: chu vi cho trước, tìm diện tích lớn nhất

Đề: Rào mảnh đất bằng 40 m lưới thép bao quanh bốn cạnh. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.

Chu vi: 2(x + y) = 40 nên x + y = 20, x = 20 − y.
Điều kiện: y ≤ x suy ra y ≤ 10, vậy 1 ≤ y ≤ 10.
Diện tích S = y(20 − y) = −y² + 20y. Đỉnh parabol tại y = 10, thuộc đoạn [1; 10].
S lớn nhất = 100 m² khi y = 10, x = 10 (mảnh đất là hình vuông).

Dạng 2: diện tích cho trước, tìm chu vi nhỏ nhất

Đề: Mảnh đất có diện tích 36 m². Tìm kích thước để tổng chiều dài hàng rào là ít nhất.

xy = 36, chu vi P = 2(x + y).
Theo bất đẳng thức Cauchy: x + y ≥ 2√(xy) = 12, dấu bằng khi x = y = 6.
Điều kiện 1 ≤ y ≤ x thoả mãn (6 ≤ 6). Vậy P nhỏ nhất bằng 24 m.

Dạng 3: hàng rào dựa vào bờ tường hoặc bờ sông

Đề: Có 60 m lưới, rào ba cạnh, cạnh thứ tư là bức tường có sẵn. Cạnh dọc tường là x. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.

Ba cạnh rào gồm một cạnh x và hai cạnh y: x + 2y = 60, nên x = 60 − 2y.
Điều kiện y ≤ x cho y ≤ 60 − 2y, tức y ≤ 20. Vậy 1 ≤ y ≤ 20.
S = y(60 − 2y) = −2y² + 60y, đỉnh tại y = 15 thuộc [1; 20].
S lớn nhất = 450 m² khi y = 15, x = 30.

Chú ý: nếu đỉnh parabol rơi ra ngoài đoạn điều kiện, em phải so sánh giá trị tại hai đầu mút. Đây là chỗ phân biệt bài làm đủ điểm và bài làm thiếu.

Khi nào dùng công cụ nào?

Tình huống	Công cụ nên dùng
Tổng x + y cố định, tìm tích lớn nhất	Hàm bậc hai hoặc bất đẳng thức Cauchy
Tích xy cố định, tìm tổng nhỏ nhất	Bất đẳng thức Cauchy
Có nhiều ràng buộc bất đẳng thức	Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Biểu thức bậc cao (lớp 12)	Đạo hàm, lập bảng biến thiên

Lỗi sai thường gặp

Quên điều kiện y ≤ x nên nhận cả nghiệm có chiều rộng lớn hơn chiều dài.
Quên đổi đơn vị khi đề cho cả m và cm.
Quên rào mấy cạnh: bài có bờ tường thì chỉ cộng ba cạnh.
Kết luận thiếu: phải trả lời cả hai kích thước và giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

Luyện tập có đáp án

Rào mảnh đất hình chữ nhật bằng 100 m lưới. Tìm diện tích lớn nhất. Đáp án: x + y = 50, y ≤ 25; S lớn nhất 625 m² khi x = y = 25.
Mảnh đất có diện tích 64 m². Tìm chu vi nhỏ nhất. Đáp án: x + y ≥ 16, nên P nhỏ nhất 32 m khi x = y = 8.
Có 80 m lưới, rào ba cạnh dựa vào tường. Tìm diện tích lớn nhất. Đáp án: x = 80 − 2y, đỉnh y = 20 và x = 40 thoả y ≤ x; S lớn nhất 800 m².

Câu hỏi thường gặp

Điều kiện 1 ≤ y ≤ x có ý nghĩa gì?

Cho biết y là cạnh ngắn và x là cạnh dài, đồng thời chiều rộng ít nhất 1 m. Điều kiện này giới hạn miền giá trị của ẩn khi tối ưu.

Cùng chu vi thì hình nào có diện tích lớn nhất?

Hình vuông. Với x + y không đổi thì tích xy lớn nhất khi x = y.

Cùng diện tích thì hình nào có chu vi nhỏ nhất?

Cũng là hình vuông, nhờ bất đẳng thức Cauchy x + y ≥ 2√(xy).

Nếu đỉnh parabol nằm ngoài đoạn điều kiện thì làm sao?

So sánh giá trị của hàm tại hai đầu mút của đoạn điều kiện, giá trị lớn hơn hoặc nhỏ hơn tuỳ yêu cầu là kết quả.