Tìm tọa độ giao điểm lớp 10: cách làm và ví dụ

Trả lời nhanh

Để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂, em giải hệ gồm hai phương trình của chúng; nghiệm (x; y) chính là toạ độ giao điểm (hệ vô nghiệm thì song song, vô số nghiệm thì trùng nhau). Góc φ giữa hai đường thẳng tính theo công thức cos φ = |n₁·n₂| / (|n₁|·|n₂|), trong đó n₁, n₂ là vectơ pháp tuyến của d₁, d₂, và 0° ≤ φ ≤ 90°.

Bước 1: xét vị trí tương đối

Với d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0, em tính định thức D = a₁b₂ − a₂b₁.

D ≠ 0: hai đường thẳng cắt nhau tại đúng một điểm.
D = 0: hai vectơ pháp tuyến cùng phương, đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Thử một điểm của d₁ vào d₂ để phân biệt.

Bước 2: giải hệ để lấy giao điểm

Dùng phương pháp cộng đại số hoặc thế. Nếu một đường cho dạng tham số, em thay x, y theo t vào phương trình của đường còn lại để tìm t, sau đó tính ngược toạ độ.

Bước 3: tính góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn hoặc vuông, nên có giá trị tuyệt đối ở tử số. Nếu đường thẳng cho bằng vectơ chỉ phương u thì công thức giống hệt, chỉ thay n bằng u. Hai đường vuông góc khi n₁·n₂ = 0, song song khi không có giao điểm và góc bằng 0°.

Đồ thị hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại M(1; 2) để tìm tọa độ giao điểm và góc giữa chúng — Hình 1. Hai đường thẳng d₁: 2x + y − 4 = 0 và d₂: x − y + 1 = 0 cắt nhau tại M(1; 2), góc giữa chúng khoảng 71,57°.

Ví dụ 1: hai đường dạng tổng quát

Cho d₁: 2x + y − 4 = 0 và d₂: x − y + 1 = 0.

Cộng hai phương trình: 3x − 3 = 0, suy ra x = 1; thay vào d₂ được y = 2. Giao điểm M(1; 2).
n₁ = (2; 1), n₂ = (1; −1). Tích vô hướng bằng 2 − 1 = 1; |n₁| = √5, |n₂| = √2.
cos φ = 1/√10 ≈ 0,3162, suy ra φ ≈ 71,57°.

Ví dụ 2: một đường dạng tham số

Cho d₁: x = 1 + 2t, y = 3 − t và d₂: x + y − 5 = 0.

Thay vào d₂: (1 + 2t) + (3 − t) − 5 = t − 1 = 0, nên t = 1; giao điểm (3; 2).
Vectơ chỉ phương của d₁: u = (2; −1). Vectơ pháp tuyến của d₂: n = (1; 1), nên vectơ chỉ phương của d₂ là (1; −1).
cos φ = |2·1 + (−1)(−1)| / (√5·√2) = 3/√10 ≈ 0,9487, suy ra φ ≈ 18,43°.

Ví dụ 3: hai đường song song

d₁: 2x − 4y + 3 = 0 và d₂: x − 2y − 1 = 0. Ở đây D = 2·(−2) − 1·(−4) = 0. Lấy điểm (0; 3/4) thuộc d₁, thay vào d₂: 0 − 3/2 − 1 ≠ 0. Vậy hai đường thẳng song song, không có giao điểm và góc bằng 0°.

Ví dụ 4: hai đường vuông góc

d₁: 3x + 2y − 12 = 0 và d₂: 2x − 3y + 5 = 0. Tích vô hướng n₁·n₂ = 3·2 + 2·(−3) = 0 nên φ = 90°. Giải hệ: nhân phương trình đầu với 3, phương trình sau với 2 rồi cộng, được 13x − 26 = 0, suy ra x = 2, y = 3. Giao điểm (2; 3).

Mẹo kiểm tra kết quả

Thay toạ độ giao điểm vào cả hai phương trình, cả hai phải bằng 0.
Nếu cos φ ra số âm, em đã quên dấu giá trị tuyệt đối.
Dùng máy tính: bấm cos⁻¹ của giá trị tìm được để đổi sang độ, kiểm tra máy đang ở chế độ độ (DEG).

Lỗi sai thường gặp

Nhầm vectơ chỉ phương với vectơ pháp tuyến khi đường thẳng có dạng tham số.
Quên phân biệt song song và trùng nhau khi D = 0.
Giải hệ sai dấu khi nhân hệ số, nên luôn thử lại nghiệm.
Viết góc tù: góc giữa hai đường thẳng không bao giờ vượt quá 90°.

Luyện tập có đáp án

d₁: x + 2y − 5 = 0, d₂: 3x − y − 1 = 0. Đáp án: giao điểm (1; 2); cos φ = 1/√50 ≈ 0,1414 nên φ ≈ 81,87°.
d₁: y = 2x + 1, d₂: y = −2x + 9. Đáp án: giao điểm (2; 5); n₁ = (2; −1), n₂ = (2; 1) nên cos φ = 3/5 = 0,6, φ ≈ 53,13°.
d₁: x − y + 2 = 0, d₂: x = 3. Đáp án: giao điểm (3; 5); cos φ = 1/√2 nên φ = 45°.

Câu hỏi thường gặp

Làm sao tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng?

Giải hệ gồm phương trình của hai đường thẳng. Nghiệm (x; y) của hệ chính là toạ độ giao điểm.

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng là gì?

cos φ = |n1·n2| / (|n1|·|n2|) với n1, n2 là vectơ pháp tuyến; có thể dùng vectơ chỉ phương thay cho vectơ pháp tuyến.

Khi nào hai đường thẳng không có giao điểm?

Khi chúng song song (hệ vô nghiệm), lúc đó góc giữa chúng bằng 0°.

Góc giữa hai đường thẳng có thể là góc tù không?

Không. Góc giữa hai đường thẳng luôn thuộc đoạn từ 0° đến 90°, vì vậy công thức có dấu giá trị tuyệt đối.