Trả lời nhanh
Vẽ hai đường thẳng a // b, lấy hai điểm A, B trên a và điểm C trên b. Dùng compa vẽ cung tròn tâm B, bán kính AC, cung này cắt b tại điểm D (chọn giao điểm không tạo thành hình bình hành). Nối A, B, C, D ta được hình thang ABCD có AC = BD. Đó là hình thang cân.
Các bước vẽ hình thang có hai đường chéo bằng nhau
Bài toán yêu cầu dựng hình thang ABCD (đáy AB // CD) sao cho hai đường chéo AC và BD bằng nhau. Em làm theo các bước sau:
- Vẽ hai đường thẳng song song a và b (dùng thước kẻ và ê ke, hoặc kẻ theo hai dòng của vở).
- Lấy hai điểm A, B phân biệt trên đường thẳng a.
- Lấy điểm C trên đường thẳng b, nằm về phía B (để tứ giác lồi). Nối A với C.
- Đặt compa đo độ dài đoạn AC. Giữ nguyên độ mở, đặt mũi nhọn tại B và vẽ cung tròn cắt đường thẳng b.
- Cung tròn cắt b tại hai điểm. Chọn điểm D nằm về phía A so với C (không chọn điểm tạo ra hình bình hành). Nối B với D.
- Nối C, D rồi tô đậm bốn cạnh AB, BC, CD, DA. Ta được hình thang ABCD với AC = BD.
Vì sao phải chọn đúng giao điểm?
Cung tròn tâm B bán kính AC cắt đường thẳng b tại hai điểm. Một điểm cho BD // AC, khi đó ABDC là hình bình hành. Hình bình hành có hai cạnh đối bằng nhau, nhưng hai đường chéo của nó nói chung không bằng nhau. Điểm còn lại mới cho hình thang cân.
Mẹo nhớ: điểm D cần chọn nằm đối xứng với C qua đường trung trực của đoạn AB. Nếu vẽ xong mà hai cạnh bên AD và BC cắt nhau ở ngoài hình thì em đã chọn đúng. Nếu AD // BC thì em đã chọn nhầm.
Chứng minh hình vừa vẽ là hình thang cân
Gọi AH và BK là hai đường cao kẻ từ A, B xuống đường thẳng CD. Vì AB // CD nên AH = BK (khoảng cách giữa hai đường thẳng song song).
- Hai tam giác vuông AHC và BKD có: cạnh huyền AC = BD, cạnh góc vuông AH = BK.
- Suy ra △AHC = △BKD (cạnh huyền – cạnh góc vuông), nên góc ACD = góc BDC.
Hình thang ABCD có hai góc kề đáy CD bằng nhau (góc C = góc D), vậy ABCD là hình thang cân. Do đó hai cạnh bên AD = BC và góc A = góc B.
Tính chất cần nhớ về hình thang cân
| Nội dung | Phát biểu |
|---|---|
| Định nghĩa | Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau |
| Cạnh bên | Hai cạnh bên bằng nhau |
| Đường chéo | Hai đường chéo bằng nhau |
| Dấu hiệu nhận biết | Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân |
Cách dựng ở trên chính là minh hoạ cho dấu hiệu cuối cùng: đường chéo bằng nhau thì hình thang đó cân.
Lỗi sai thường gặp
- Thay đổi độ mở compa giữa lúc đo AC và lúc vẽ cung tâm B, nên BD ≠ AC.
- Chọn nhầm giao điểm, ra hình bình hành.
- Vẽ hai đường a, b không song song thật sự, nên tứ giác không phải hình thang.
- Chọn C quá gần phía A so với B, khiến AD và BC cắt nhau và tứ giác bị “xoắn”.
Bài luyện tập
Bài 1. Vẽ hình thang cân ABCD (AB // CD) có AB = 4 cm, CD = 8 cm, cạnh bên 3 cm. Có vẽ được không?
Đáp án: Có. Hình chiếu của mỗi cạnh bên lên CD dài (8 − 4) : 2 = 2 cm, nhỏ hơn 3 cm nên tồn tại. Chiều cao là √(3² − 2²) = √5 cm. Cách vẽ: vẽ CD = 8 cm, lấy H, K trên CD cách C, D đúng 2 cm, dựng đường vuông góc cao √5 cm (khoảng 2,24 cm) rồi lấy A, B cách nhau 4 cm.
Bài 2. Hình thang cân ABCD (AB // CD) có góc D = 70°. Tính các góc còn lại.
Đáp án: Góc C = góc D = 70°. Hai góc kề cạnh bên bù nhau nên góc A = góc B = 180° − 70° = 110°.
Bài 3. Hình thang ABCD (AB // CD) có AC = BD = 6 cm. Chứng minh AD = BC.
Đáp án: Theo chứng minh ở trên, ABCD là hình thang cân nên AD = BC. Cách khác: △ACD = △BDC (c.g.c) vì AC = BD, góc ACD = góc BDC, CD chung, suy ra AD = BC.
Câu hỏi thường gặp
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau có phải hình thang cân không?
Có. Đây là dấu hiệu nhận biết: hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân, vì khi đó hai tam giác vuông tạo bởi đường cao bằng nhau nên hai góc kề đáy bằng nhau.
Vì sao cung tròn tâm B bán kính AC cắt đường thẳng b tại hai điểm?
Vì khoảng cách từ B đến đường thẳng b nhỏ hơn AC nên cung cắt b tại hai điểm đối xứng nhau qua chân đường vuông góc hạ từ B. Một điểm cho hình thang cân, điểm kia cho hình bình hành.
Có thể vẽ hình thang cân mà không dùng compa không?
Có. Em có thể vẽ đoạn AB và CD song song, rồi lấy hai đáy có cùng đường trung trực (trung điểm của hai đáy nằm trên một đường thẳng vuông góc với đáy). Khi đó hai cạnh bên bằng nhau và hình vẽ là hình thang cân.