Trả lời nhanh
Với hình thang vuông ABCD (vuông tại A và D) có AB = 4a, CD = 2a, AD = 3a, cách nhanh nhất là chọn hệ trục Axy với A(0; 0), B(4a; 0), D(0; 3a), C(2a; 3a). Khi đó AC = BC = a√13, BD = 5a, |AB + AD| = 5a, |AB + DC| = 6a, diện tích hình thang bằng 9a². Dưới đây là cách tính từng đại lượng hay gặp.
Đề bài này thường là phần đầu của một câu hỏi tính độ dài vectơ (ví dụ |AB + AD|, |AC + BD|…) hoặc tính tích vô hướng. Vì bản gốc không cho sẵn phương án nên ở đây thầy/cô giải theo phương pháp và liệt kê các kết quả hay gặp để em đối chiếu với đề của mình.
Vẽ hình và chọn hệ trục
Hình thang vuông ABCD có AB ∥ CD, góc A và góc D vuông, nên AD vuông góc với cả hai đáy. Đặt A làm gốc, AB nằm trên trục hoành, AD nằm trên trục tung.
- A(0; 0), B(4a; 0).
- D(0; 3a) vì AD = 3a và AD ⊥ AB.
- C(2a; 3a) vì CD ∥ AB, CD = 2a và C nằm cùng phía với B so với AD.
Các vectơ cần dùng: AB = (4a; 0), AD = (0; 3a), DC = (2a; 0), AC = (2a; 3a), BD = (−4a; 3a), BC = (−2a; 3a).
Độ dài các đoạn thẳng
| Đoạn | Tính | Kết quả |
|---|---|---|
| AC | √((2a)² + (3a)²) | a√13 |
| BC | √((−2a)² + (3a)²) | a√13 |
| BD | √((−4a)² + (3a)²) | 5a |
Kiểm tra bằng Pythagore: BD² = AB² + AD² = 16a² + 9a² = 25a², nên BD = 5a. Kẻ CH ⊥ AB thì HB = 4a − 2a = 2a, CH = 3a nên BC² = 4a² + 9a² = 13a². Hai cách cho cùng kết quả.
Độ dài tổng và hiệu vectơ hay gặp
| Biểu thức | Toạ độ vectơ | Độ dài |
|---|---|---|
| AB + AD | (4a; 3a) | 5a |
| AB − AD = DB | (4a; −3a) | 5a |
| AB + DC | (6a; 0) | 6a |
| AB + CD | (2a; 0) | 2a |
| AC + BD | (−2a; 6a) | 2a√10 |
| AC − BD | (6a; 0) | 6a |
| DA + DC | (2a; −3a) | a√13 |
Lưu ý: AB + AD = AE với E(4a; 3a) là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật ABED, nên độ dài là đường chéo hình chữ nhật 4a × 3a, bằng 5a.
Tích vô hướng, chu vi, diện tích
- AB · AC = 4a·2a + 0·3a = 8a².
- AC · BD = 2a·(−4a) + 3a·3a = −8a² + 9a² = a².
- Chu vi = AB + BC + CD + DA = 4a + a√13 + 2a + 3a = (9 + √13)a.
- Diện tích = (AB + CD) · AD / 2 = (4a + 2a) · 3a / 2 = 9a².
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm AB + CD với AB + DC. CD và AB ngược hướng nên AB + CD có độ dài 4a − 2a = 2a; còn DC cùng hướng với AB nên AB + DC có độ dài 6a.
- Cho rằng BC = 5a. 5a là độ dài BD (đường chéo), không phải cạnh bên BC.
- Đặt sai toạ độ C (ví dụ C(3a; 2a)): nhớ CD nằm ngang, độ cao của C bằng AD = 3a.
Bài luyện tập
- Tính |BC + BD| với cùng hình thang. Đáp án: BC + BD = (−6a; 6a) nên độ dài 6a√2.
- Gọi M là trung điểm AB. Tính độ dài CM. Đáp án: M(2a; 0), C(2a; 3a) nên CM = 3a.
- Tính côsin góc giữa hai đường chéo AC và BD. Đáp án: cos = (AC·BD)/(AC·BD độ dài) = a² / (a√13 · 5a) = 1/(5√13) = √13/65.
Câu hỏi thường gặp
Hình thang vuông ABCD có AB = 4a, CD = 2a, AD = 3a thì đường chéo BD bằng bao nhiêu?
BD = 5a, vì tam giác ABD vuông tại A nên BD² = AB² + AD² = 16a² + 9a² = 25a².
Độ dài vectơ AB + AD bằng bao nhiêu?
Bằng 5a. Tổng AB + AD là đường chéo của hình chữ nhật dựng trên AB = 4a và AD = 3a, nên độ dài là √(16a² + 9a²) = 5a.
Cạnh bên BC của hình thang dài bao nhiêu?
BC = a√13. Kẻ CH vuông góc AB thì HB = 2a, CH = 3a, suy ra BC² = 4a² + 9a² = 13a².
Diện tích hình thang vuông này là bao nhiêu?
S = (4a + 2a) · 3a / 2 = 9a².