Trả lời nhanh
A = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + … + 99 – 100 + 101 = 51. Ta nhóm 100 số hạng đầu thành 50 cặp (1 – 2), (3 – 4), …, (99 – 100), mỗi cặp bằng -1 nên tổng các cặp là -50. Cộng thêm số hạng cuối 101 được -50 + 101 = 51.
Đề bài và cách đọc đề
Đề yêu cầu tính giá trị của tổng:
A = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + … + 99 – 100 + 101
Quy luật: các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 101, số lẻ mang dấu cộng, số chẵn mang dấu trừ. Tổng có 101 số hạng. Vì 101 là số lẻ nên không thể chia hết thành các cặp, và đó là chỗ nhiều bạn dễ làm sai.
Cách 1: Ghép cặp từ đầu
Tách riêng số hạng cuối 101, rồi ghép 100 số hạng còn lại thành từng cặp hai số liền nhau:
A = (1 – 2) + (3 – 4) + (5 – 6) + … + (99 – 100) + 101
- Mỗi cặp có dạng (số lẻ – số chẵn liền sau) = -1.
- Số cặp: 100 : 2 = 50 cặp.
- Tổng các cặp: 50 . (-1) = -50.
Vậy A = -50 + 101 = 51.
Cách 2: Giữ lại số 1, ghép cặp từ số 2
A = 1 + (-2 + 3) + (-4 + 5) + … + (-100 + 101)
- Mỗi cặp (-số chẵn + số lẻ liền sau) = +1.
- Các số chẵn từ 2 đến 100 có 50 số nên có 50 cặp.
Vậy A = 1 + 50 . 1 = 51. Hai cách cho cùng kết quả, đây là cách tự kiểm tra rất tiện.
Cách 3: Tính tổng các số dương và tổng các số âm
Viết A = (1 + 3 + 5 + … + 101) – (2 + 4 + 6 + … + 100).
| Nhóm | Số số hạng | Tổng |
|---|---|---|
| Số lẻ từ 1 đến 101 | (101 – 1) : 2 + 1 = 51 | (101 + 1) . 51 : 2 = 2601 |
| Số chẵn từ 2 đến 100 | (100 – 2) : 2 + 1 = 50 | (100 + 2) . 50 : 2 = 2550 |
A = 2601 – 2550 = 51. Cách này dài hơn nhưng dùng được cho cả những tổng không đều như vậy.
Công thức tổng quát cho tổng đan dấu
- 1 – 2 + 3 – 4 + … + (2n – 1) – 2n = -n (kết thúc bằng số chẵn, n cặp, mỗi cặp bằng -1).
- 1 – 2 + 3 – 4 + … – 2n + (2n + 1) = n + 1 (kết thúc bằng số lẻ).
Với bài này, 2n = 100 nên n = 50, do đó A = 50 + 1 = 51.
Lỗi sai thường gặp
- Quên số 101: chỉ tính 50 cặp rồi kết luận A = -50. Đó là kết quả của tổng dừng ở -100, không phải của đề này.
- Đếm sai số cặp: cho rằng có 101 : 2 cặp. Phải bỏ số hạng lẻ 101 ra trước rồi mới chia cặp.
- Sai dấu: cặp (1 – 2) bằng -1 chứ không phải 1.
Mẹo nhớ: nhìn số hạng cuối. Kết thúc bằng số chẵn (dấu trừ) thì kết quả là âm, bằng -(số cặp). Kết thúc bằng số lẻ thì kết quả dương.
Bài luyện tập
- Tính B = 1 – 2 + 3 – 4 + … + 49 – 50.
Đáp án: 25 cặp, mỗi cặp -1 nên B = -25. - Tính C = 1 – 2 + 3 – 4 + … – 100.
Đáp án: 50 cặp nên C = -50. - Tính D = 1 – 2 + 3 – 4 + … – 2024 + 2025.
Đáp án: 2024 = 2 . 1012 nên có 1012 cặp, D = -1012 + 2025 = 1013. - Tính E = 2 – 4 + 6 – 8 + … + 98 – 100.
Đáp án: 25 cặp, mỗi cặp (2 – 4) = -2 nên E = 25 . (-2) = -50.
Câu hỏi thường gặp
Tổng 1 - 2 + 3 - 4 + ... + 99 - 100 + 101 bằng bao nhiêu?
Bằng 51. Có 50 cặp (1 - 2), ..., (99 - 100), mỗi cặp bằng -1 nên tổng là -50, cộng với 101 được 51.
Nếu tổng chỉ đến -100 (không có +101) thì kết quả là bao nhiêu?
Khi đó tổng 1 - 2 + 3 - 4 + ... + 99 - 100 gồm 50 cặp, mỗi cặp bằng -1 nên kết quả là -50.
Tại sao phải tách số 101 ra trước khi ghép cặp?
Tổng có 101 số hạng, là số lẻ, nên không chia hết thành các cặp. Tách số hạng cuối ra thì 100 số còn lại chia đúng thành 50 cặp.
Có công thức nhanh cho tổng đan dấu 1 - 2 + 3 - ... không?
Có. Kết thúc ở -2n thì tổng bằng -n. Kết thúc ở +(2n + 1) thì tổng bằng n + 1.