Trả lời nhanh
Quy tắc đổi dấu: đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được phân thức bằng nó, tức là A/B = (−A)/(−B). Khi hai mẫu là hai biểu thức đối nhau (như x − 2 và 2 − x), ta đổi dấu một phân thức để hai mẫu giống nhau, rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu, sau đó rút gọn nếu được.
Quy tắc đổi dấu là gì?
Với hai đa thức A, B (B khác 0), ta có:
- A/B = (−A)/(−B): đổi dấu cả tử và mẫu thì giá trị phân thức không đổi.
- −(A/B) = (−A)/B = A/(−B): đổi dấu một trong hai (tử hoặc mẫu) thì phân thức đổi dấu.
- Hai biểu thức đối nhau: B − A = −(A − B). Ví dụ 2 − x = −(x − 2).
Vì sao đúng? Nhân cả tử và mẫu với −1 là dùng tính chất cơ bản của phân thức, nên phân thức mới bằng phân thức cũ.
Các bước cộng phân thức khi mẫu đối nhau
- Nhận ra mẫu đối nhau. Phân tích mẫu thành nhân tử nếu cần (ví dụ x² − 1 = (x − 1)(x + 1)) rồi so sánh với mẫu kia.
- Đổi dấu một phân thức để hai mẫu giống hệt nhau. Nên đổi dấu phân thức có mẫu “ngược” so với dạng quen thuộc. Chú ý đổi dấu cả tử lẫn mẫu.
- Cộng các tử, giữ nguyên mẫu chung.
- Rút gọn kết quả nếu tử và mẫu có nhân tử chung, và ghi điều kiện của biến (mẫu khác 0).
Ví dụ có lời giải
Ví dụ 1
Tính 1/(x − 2) + 3/(2 − x).
Vì 2 − x = −(x − 2) nên 3/(2 − x) = −3/(x − 2). Do đó:
1/(x − 2) + 3/(2 − x) = 1/(x − 2) − 3/(x − 2) = (1 − 3)/(x − 2) = −2/(x − 2), với x ≠ 2.
Ví dụ 2
Tính x/(x − y) + y/(y − x).
Ta có y/(y − x) = −y/(x − y). Suy ra tổng bằng (x − y)/(x − y) = 1, với x ≠ y.
Ví dụ 3 (mẫu có hằng đẳng thức)
Tính x/(x² − 1) + 1/(1 − x²).
Vì 1 − x² = −(x² − 1) nên 1/(1 − x²) = −1/(x² − 1). Khi đó:
x/(x² − 1) − 1/(x² − 1) = (x − 1)/(x² − 1) = (x − 1)/[(x − 1)(x + 1)] = 1/(x + 1), với x ≠ 1 và x ≠ −1.
Ví dụ 4 (ba phân thức)
Tính 1/(x − 1) + 2/(1 − x) + 3/(x − 1).
Đổi dấu phân thức giữa: 2/(1 − x) = −2/(x − 1). Tổng bằng (1 − 2 + 3)/(x − 1) = 2/(x − 1), với x ≠ 1.
Loại trừ các lỗi sai thường gặp
- Chỉ đổi dấu mẫu, quên đổi dấu tử. Ví dụ viết 3/(2 − x) = 3/(x − 2) là sai; phải là −3/(x − 2).
- Đổi dấu nhưng không đổi phép tính. Có thể đưa dấu trừ ra trước phân thức rồi chuyển phép cộng thành trừ, nhưng phải nhất quán.
- Mẫu có lũy thừa. (2 − x)² = (x − 2)² nên không cần đổi dấu; còn (2 − x)³ = −(x − 2)³. Mẹo: số mũ chẵn thì “dấu trừ biến mất”, số mũ lẻ thì “dấu trừ ở lại”.
- Quên điều kiện xác định khi rút gọn, ví dụ ở Ví dụ 3 phải loại x = 1 và x = −1.
- Đổi dấu khi chưa phân tích nhân tử. Ví dụ x² − 4 và 4 − x² đối nhau, nhưng x² − 4 và 2 − x thì không đối nhau, phải quy đồng bình thường.
Mẹo nhớ
Thấy hai mẫu “giống nhau nhưng đảo vị trí hai số hạng” (a − b và b − a) thì nghĩ ngay đến đổi dấu. Đặt dấu trừ ra trước phân thức có mẫu ngược rồi cộng tử, việc tính sẽ gọn hơn nhiều so với quy đồng.
Bài luyện tập tự đặt (có đáp án)
- Tính 4/(x − 5) + 1/(5 − x).
Đáp án: 4/(x − 5) − 1/(x − 5) = 3/(x − 5), x ≠ 5. - Tính 2x/(x − 4) + 8/(4 − x).
Đáp án: (2x − 8)/(x − 4) = 2(x − 4)/(x − 4) = 2, x ≠ 4. - Tính x²/(x − 1) + 1/(1 − x).
Đáp án: (x² − 1)/(x − 1) = (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1, x ≠ 1.
Lưu ý: đề bài trên trang này là dạng bài chung của quy tắc đổi dấu; các ví dụ và bài tập đều do thầy cô tự đặt để em luyện cách làm.
Câu hỏi thường gặp
Quy tắc đổi dấu của phân thức đại số là gì?
Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được phân thức bằng nó: A/B = (−A)/(−B). Nếu chỉ đổi dấu tử hoặc mẫu thì phân thức đổi dấu.
Khi nào cần dùng quy tắc đổi dấu để cộng phân thức?
Khi hai mẫu là hai biểu thức đối nhau, ví dụ x − 2 và 2 − x, hoặc x² − 1 và 1 − x². Đổi dấu một phân thức sẽ đưa chúng về cùng mẫu thức.
2 − x có bằng x − 2 không?
Không. 2 − x = −(x − 2). Nhưng (2 − x)² = (x − 2)² vì số mũ chẵn.
Sau khi cộng các phân thức cùng mẫu có cần rút gọn không?
Nên rút gọn nếu tử và mẫu có nhân tử chung, đồng thời ghi điều kiện để mẫu khác 0.