Trả lời nhanh
Muốn nhớ công thức lượng giác, hãy học theo nhóm và gắn mỗi nhóm với một câu vè ngắn: “sin đối huyền, cos kề huyền”, “nhất cả, nhì sin, tam tan, tứ cos”, “cos đối, sin bù, phụ chéo”, “sin thì sin cos, cos sin, cos thì cos cos, sin sin dấu trái”. Bài này gom các câu vè đó cùng công thức chuẩn và cách kiểm tra lại khi lỡ quên.
Công thức lượng giác nhiều nhưng không hề ngẫu nhiên. Chúng có “nếp” riêng: chỗ nào giữ dấu, chỗ nào đổi dấu, chỗ nào sin biến thành cos. Các câu vè bên dưới chỉ là cái móc để kéo công thức ra khỏi trí nhớ. Học xong mỗi nhóm, em nhớ thử một ví dụ số để chắc là mình không nhớ nhầm.
1. Tỉ số lượng giác: câu vè về cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền
Trong tam giác vuông, với góc nhọn α:
- sin α = cạnh đối / cạnh huyền
- cos α = cạnh kề / cạnh huyền
- tan α = cạnh đối / cạnh kề
- cot α = cạnh kề / cạnh đối
Vè gợi nhớ:
“Sin nhìn đối diện, huyền làm mẫu,
Cos ghé cạnh kề, mẫu vẫn huyền.
Tan lấy đối trên, kề ở dưới,
Cot lật ngược lên, thế là yên.”
Trên đường tròn lượng giác, cos α là hoành độ và sin α là tung độ của điểm cuối cung α. Từ đó tan α = sin α / cos α và cot α = cos α / sin α. Em chỉ cần nhớ sin, cos, các hàm còn lại tự suy ra được.
Hai hằng đẳng thức nền tảng: sin2α + cos2α = 1 và tan α · cot α = 1. Hai công thức mở rộng: 1 + tan2α = 1 / cos2α và 1 + cot2α = 1 / sin2α.
2. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Mẹo “đếm căn”: với sin, các góc 0°, 30°, 45°, 60°, 90° có giá trị là √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. Cos thì viết ngược lại.
| Góc | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | không xác định |
| cot | không xác định | √3 | 1 | √3/3 | 0 |
Vè gợi nhớ: “Sin đi lên, căn không đến căn bốn, chia hai; cos đi xuống, đúng bài ngược lại.”
Mẹo thêm: hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia. Vì vậy sin 30° = cos 60° = 1/2 và sin 60° = cos 30° = √3/2. Chỉ cần nhớ một nửa bảng là đủ.
3. Dấu của các giá trị lượng giác theo góc phần tư
Vè gợi nhớ: “Nhất cả, nhì sin, tam tan (và cot), tứ cos.”
Nghĩa là: góc phần tư I thì cả bốn giá trị đều dương; II chỉ sin dương (cos và tan âm); III chỉ tan và cot dương; IV chỉ cos dương.
Vì sao đúng? Cos là hoành độ, sin là tung độ. Ở góc phần tư II, hoành độ âm và tung độ dương nên sin dương, cos âm, và tan = sin/cos âm. Em có thể tự dựng lại bảng này trong 10 giây mà không cần học thuộc.
4. Cung liên kết: cos đối, sin bù, phụ chéo, π thì tan
Vè gợi nhớ:
“Đối thì cos giữ nguyên hình,
Sin bù giữ lại, không dành đổi thay.
Phụ nhau thì chéo sin – cos,
Hơn kém π: tan, cot giữ nguyên.”
| Cung | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| −a (đối) | −sin a | cos a | −tan a |
| π − a (bù) | sin a | −cos a | −tan a |
| π + a (hơn kém π) | −sin a | −cos a | tan a |
| π/2 − a (phụ) | cos a | sin a | cot a |
| π/2 + a (hơn kém π/2) | cos a | −sin a | −cot a |
Cách kiểm tra khi quên dấu: coi a là góc nhọn rất nhỏ, rồi xét cung mới nằm ở góc phần tư nào để lấy dấu theo mục 3. Ví dụ cos(π/2 + a): cung này ở góc phần tư II nên cos âm; kết quả là −sin a. Đúng.
Với cung π/2 ± a, ta đổi tên hàm (sin thành cos, tan thành cot). Với cung π ± a hoặc −a, ta giữ nguyên tên hàm. Chỉ cần nhớ hai quy tắc này kèm quy tắc dấu là đủ.
5. Công thức cộng
- sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
- cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b
- tan(a ± b) = (tan a ± tan b) / (1 ∓ tan a tan b)
Vè gợi nhớ:
“Sin thì sin cos, cos sin, dấu giữ nguyên,
Cos thì cos cos, sin sin, coi chừng dấu ngược.
Tan cộng thì tử cộng tan, mẫu 1 trừ tích,
Tan trừ thì ngược lại, nhớ hoài không quên.”
Mẹo kiểm tra: thay b = a vào cos(a − b) thì phải ra cos 0 = 1. Công thức cos a cos b + sin a sin b với b = a cho cos2a + sin2a = 1. Đúng. Nếu em nhớ nhầm thành dấu trừ, kết quả sẽ không bằng 1.
6. Công thức nhân đôi, nhân ba, hạ bậc
- sin 2a = 2 sin a cos a
- cos 2a = cos2a − sin2a = 2cos2a − 1 = 1 − 2sin2a
- tan 2a = 2 tan a / (1 − tan2a)
- sin 3a = 3 sin a − 4 sin3a; cos 3a = 4 cos3a − 3 cos a
- Hạ bậc: cos2a = (1 + cos 2a)/2; sin2a = (1 − cos 2a)/2
Vè gợi nhớ: “Sin đôi là hai sin cos. Cos đôi có ba dạng: bình cos trừ bình sin, hai bình cos trừ một, một trừ hai bình sin.”
Hai công thức hạ bậc chính là công thức cos 2a viết ngược lại. Cos2 có dấu cộng, sin2 có dấu trừ, nên “cos cộng, sin trừ”.
7. Công thức biến tích thành tổng
- cos a cos b = ½[cos(a − b) + cos(a + b)]
- sin a sin b = ½[cos(a − b) − cos(a + b)]
- sin a cos b = ½[sin(a + b) + sin(a − b)]
Vè gợi nhớ:
“Cos cos: nửa cos hiệu cộng cos tổng,
Sin sin: nửa cos hiệu trừ cos tổng,
Sin cos: nửa sin tổng cộng sin hiệu.”
Nhận xét: về vế phải, tích có cos thì ra cos (trừ trường hợp sin cos ra sin). Tích có hai sin thì dấu trừ. Em có thể dựng lại từ công thức cộng: cộng hoặc trừ hai vế của cos(a − b) và cos(a + b) là ra ngay.
8. Công thức biến tổng thành tích
- cos a + cos b = 2 cos((a + b)/2) cos((a − b)/2)
- cos a − cos b = −2 sin((a + b)/2) sin((a − b)/2)
- sin a + sin b = 2 sin((a + b)/2) cos((a − b)/2)
- sin a − sin b = 2 cos((a + b)/2) sin((a − b)/2)
Vè gợi nhớ:
“Cos cộng cos: hai cos cos,
Cos trừ cos: trừ hai sin sin.
Sin cộng sin: hai sin cos,
Sin trừ sin: hai cos sin.”
Lỗi thường gặp: nhiều bạn viết sin a − cos b thành tích. Hiệu “sin trừ cos” không có công thức trực tiếp. Muốn biến đổi, hãy đưa cos b về sin(π/2 − b) trước rồi mới áp dụng công thức sin trừ sin.
9. Nghiệm các phương trình lượng giác cơ bản
- sin x = sin α ⇔ x = α + k2π hoặc x = π − α + k2π
- cos x = cos α ⇔ x = ±α + k2π
- tan x = tan α ⇔ x = α + kπ
- cot x = cot α ⇔ x = α + kπ
Vè gợi nhớ: “Sin có hai họ nghiệm (α và π trừ α), cos cộng trừ α, tan cot chỉ cần kπ.” Vì chu kì của sin và cos là 2π, còn chu kì của tan và cot là π.
Muốn luyện thêm các dạng phương trình, em xem tiếp: Công thức giải các phương trình lượng giác thường gặp và Phương pháp phân tích thành nhân tử trong giải phương trình lượng giác.
10. Lỗi sai thường gặp khi học bằng bài vè
- Nhớ vè mà quên điều kiện. “Tan = đối/kề” chỉ dùng trong tam giác vuông. Với góc bất kì phải dùng tan = sin/cos.
- Đảo dấu cos(a ± b). Dấu của vế phải ngược với dấu ở vế trái; sin(a ± b) thì giữ nguyên.
- Nhầm “hơn kém π” với “hơn kém π/2”. π thì giữ tên hàm, π/2 thì đổi tên hàm.
- Quên chia 2 khi biến tích thành tổng. Mỗi công thức đều có hệ số ½.
- Bỏ sót họ nghiệm thứ hai của sin x = sin α.
11. Bài luyện tập có đáp án
Bài 1. Tính sin 105° mà không dùng máy tính.
Giải: sin 105° = sin(60° + 45°) = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45° = (√3/2)(√2/2) + (1/2)(√2/2) = (√6 + √2)/4.
Bài 2. Rút gọn B = sin(π/2 + x) − cos(π − x) + tan(π + x) · cot x.
Giải: sin(π/2 + x) = cos x; cos(π − x) = −cos x; tan(π + x) = tan x nên tan(π + x) · cot x = 1. Vậy B = cos x + cos x + 1 = 2cos x + 1.
Bài 3. Tính C = cos 75° cos 15°.
Giải: Áp dụng biến tích thành tổng: C = ½[cos 60° + cos 90°] = ½(1/2 + 0) = 1/4.
Bài 4. Biến đổi sin 5x + sin x thành tích rồi giải phương trình sin 5x + sin x = 0.
Giải: sin 5x + sin x = 2 sin 3x cos 2x. Phương trình trở thành sin 3x = 0 hoặc cos 2x = 0. Với sin 3x = 0 thì x = kπ/3. Với cos 2x = 0 thì x = π/4 + kπ/2 (k ∈ ℤ).
12. Học tiếp ở đâu?
Sau khi thuộc công thức, em nên làm bài tập theo chủ đề để công thức “ngấm” vào tay. Các tài liệu gợi ý:
- Chuyên đề Lượng giác môn Toán lớp 11
- 50 câu trắc nghiệm chuyên đề Lượng giác
- Thủ thuật giải trắc nghiệm lượng giác bằng máy tính Casio
- 172 bài tập trắc nghiệm hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
- Giải Toán 11 Ôn tập chương I
Câu hỏi thường gặp
Bài thơ "sin đối huyền, cos kề huyền" có dùng được cho mọi góc không?
Không. Câu vè này chỉ đúng với góc nhọn trong tam giác vuông. Với góc bất kì, em dùng đường tròn lượng giác: cos là hoành độ, sin là tung độ, tan = sin/cos.
Làm sao nhớ dấu của sin, cos, tan theo góc phần tư?
Dùng câu "nhất cả, nhì sin, tam tan (và cot), tứ cos". Cũng có thể suy ra từ việc cos là hoành độ, sin là tung độ của điểm trên đường tròn lượng giác.
Công thức nào hay bị nhớ nhầm dấu nhất?
Công thức cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b. Dấu ở vế phải ngược với dấu trong ngoặc. Em kiểm tra bằng cách thay b = a, kết quả cos(a − a) phải bằng 1.
Có cần học thuộc cả công thức biến tích thành tổng và tổng thành tích không?
Chương trình lớp 11 vẫn dùng các công thức này khi giải phương trình và rút gọn biểu thức. Em nên nhớ cách dựng lại từ công thức cộng, đồng thời học thuộc vè để làm nhanh khi đi thi.