Trả lời nhanh
Một số tự nhiên chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Một số chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 9. Ví dụ 4 725 có tổng chữ số 4 + 7 + 2 + 5 = 18, chia hết cho cả 3 và 9. Số chia hết cho 9 thì luôn chia hết cho 3, nhưng chiều ngược lại không đúng.
1. Dấu hiệu chia hết cho 9
Muốn biết một số có chia hết cho 9 hay không, em cộng tất cả các chữ số của số đó rồi kiểm tra tổng vừa tìm được.
- Tổng các chữ số chia hết cho 9 ⇒ số đó chia hết cho 9.
- Tổng các chữ số không chia hết cho 9 ⇒ số đó không chia hết cho 9.
Ví dụ.
- 4 725: 4 + 7 + 2 + 5 = 18, mà 18 chia hết cho 9 nên 4 725 chia hết cho 9. (Kiểm tra: 4 725 : 9 = 525.)
- 2 058: 2 + 0 + 5 + 8 = 15, mà 15 không chia hết cho 9 nên 2 058 không chia hết cho 9.
2. Dấu hiệu chia hết cho 3
Quy tắc hoàn toàn tương tự, chỉ đổi số 9 thành số 3.
- Tổng các chữ số chia hết cho 3 ⇒ số đó chia hết cho 3.
- Tổng các chữ số không chia hết cho 3 ⇒ số đó không chia hết cho 3.
Ví dụ.
- 2 058: tổng chữ số là 15, chia hết cho 3 nên 2 058 chia hết cho 3. (2 058 : 3 = 686.)
- 6 116: 6 + 1 + 1 + 6 = 14, không chia hết cho 3 nên 6 116 không chia hết cho 3.
Như vậy 2 058 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9. Ví dụ này cho thấy hai dấu hiệu không thể thay cho nhau.
3. Vì sao quy tắc này đúng?
Thầy giải thích bằng một ví dụ để em hiểu bản chất, không cần học thuộc máy móc. Lấy số 4 725 và tách theo hàng:
4 725 = 4 · 1 000 + 7 · 100 + 2 · 10 + 5
Ta viết 1 000 = 999 + 1, 100 = 99 + 1, 10 = 9 + 1. Khi đó:
4 725 = (4 · 999 + 7 · 99 + 2 · 9) + (4 + 7 + 2 + 5)
Các số 999, 99, 9 đều chia hết cho 9 (và cho 3). Vì vậy phần trong ngoặc thứ nhất luôn chia hết cho 9 và cho 3. Số đã cho chia hết cho 9 (hoặc 3) hay không chỉ còn phụ thuộc vào phần thứ hai, tức là tổng các chữ số.
Từ cách tách này ta còn rút ra: một số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư khi chia cho 9 (và cho 3). Ví dụ 7 325 có tổng chữ số 17, mà 17 chia 9 dư 8, nên 7 325 chia 9 dư 8. Kiểm tra: 9 · 813 = 7 317, 7 325 − 7 317 = 8. Đúng.
4. So sánh các dấu hiệu chia hết đã học
| Chia hết cho | Em nhìn vào | Điều kiện |
|---|---|---|
| 2 | Chữ số tận cùng | 0, 2, 4, 6, 8 |
| 5 | Chữ số tận cùng | 0 hoặc 5 |
| 3 | Tổng các chữ số | Tổng chia hết cho 3 |
| 9 | Tổng các chữ số | Tổng chia hết cho 9 |
Mẹo nhớ: với 2 và 5 em chỉ nhìn một chữ số cuối; với 3 và 9 em phải nhìn tất cả các chữ số. Phần dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 em xem lại ở bài trước qua liên kết sau: Lý thuyết Bài 7: Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5.
5. Chia hết cho 3 và 9 với tổng, hiệu, tích
- Nếu mọi số hạng của tổng (hiệu) đều chia hết cho 3 (hoặc 9) thì tổng (hiệu) chia hết cho 3 (hoặc 9).
- Nếu trong tích có một thừa số chia hết cho 3 (hoặc 9) thì cả tích chia hết cho 3 (hoặc 9).
- Nếu một số hạng không chia hết còn các số hạng còn lại đều chia hết thì tổng không chia hết.
Ví dụ. Xét A = 7 · 8 · 9 + 45. Số hạng 7 · 8 · 9 có thừa số 9 nên chia hết cho 9. Số 45 có tổng chữ số 9 nên cũng chia hết cho 9. Vậy A chia hết cho 9 và cho 3. Kiểm tra: A = 504 + 45 = 549, tổng chữ số 5 + 4 + 9 = 18, đúng.
Lưu ý: khi cả hai số hạng đều không chia hết thì chưa kết luận ngay được, em cần tính ra tổng rồi xét dấu hiệu. Chẳng hạn 4 + 5 = 9 chia hết cho 9 dù 4 và 5 đều không chia hết cho 9.
6. Các dạng bài thường gặp
Dạng 1: Nhận biết số chia hết
Tính tổng các chữ số rồi đối chiếu. Số 111 111 111 (chín chữ số 1) có tổng chữ số 9 nên chia hết cho 9. Thật vậy 111 111 111 = 9 · 12 345 679.
Dạng 2: Tìm chữ số chưa biết
Ví dụ. Tìm chữ số x để số 3×47 chia hết cho 9, rồi tìm x để số đó chia hết cho 3.
- Tổng các chữ số: 3 + x + 4 + 7 = 14 + x, với 0 ≤ x ≤ 9 nên 14 ≤ 14 + x ≤ 23.
- Trong khoảng từ 14 đến 23 chỉ có số 18 chia hết cho 9. Suy ra 14 + x = 18, x = 4. Số cần tìm là 3 447.
- Chia hết cho 3: 14 + x ∈ {15, 18, 21}, suy ra x ∈ {1, 4, 7}.
Cách làm chung: viết tổng chứa chữ số cần tìm, xác định khoảng giá trị của tổng, rồi chọn các bội của 3 hoặc 9 nằm trong khoảng đó.
Dạng 3: Lập số từ các chữ số cho trước
Ví dụ. Dùng ba chữ số 1, 2, 3 lập các số có ba chữ số khác nhau. Các số này có chia hết cho 3 không? Chia hết cho 9 không?
Mỗi số lập được đều có tổng chữ số 1 + 2 + 3 = 6. Số 6 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9. Vậy cả sáu số 123, 132, 213, 231, 312, 321 đều chia hết cho 3 và đều không chia hết cho 9. Hoán đổi vị trí chữ số không làm đổi tổng, nên đây là một cách nhận xét rất nhanh.
Dạng 4: Xét tổng, hiệu, tích
Ví dụ. Tổng 2 340 + 1 215 có chia hết cho 9 không?
2 340 có tổng chữ số 2 + 3 + 4 + 0 = 9, chia hết cho 9. 1 215 có tổng chữ số 1 + 2 + 1 + 5 = 9, cũng chia hết cho 9. Do đó tổng chia hết cho 9. Kiểm tra: 2 340 + 1 215 = 3 555, tổng chữ số 18. Đúng.
Dạng 5: Tìm số dư
Số 8 654 chia cho 9 dư bao nhiêu? Tổng chữ số 8 + 6 + 5 + 4 = 23, mà 23 = 2 · 9 + 5 nên 8 654 chia 9 dư 5. Chia cho 3: 23 chia 3 dư 2 nên 8 654 chia 3 dư 2.
7. Lỗi sai thường gặp
- Nhầm với dấu hiệu chia hết cho 2, 5: chỉ nhìn chữ số tận cùng. Số 1 233 tận cùng là 3 nhưng vẫn chia hết cho 3 vì 1 + 2 + 3 + 3 = 9.
- Cộng sai tổng chữ số: nên cộng hai lần theo hai thứ tự khác nhau, hoặc ghép các chữ số cho tổng 9 (như 4 và 5) để kiểm tra.
- Kết luận “chia hết cho 3 thì chia hết cho 9”: sai. Số 15 chia hết cho 3, không chia hết cho 9.
- Quên điều kiện của chữ số: chữ số hàng cao nhất không được bằng 0, mỗi chữ số chỉ từ 0 đến 9.
- Quên rằng 0 chia hết cho mọi số khác 0: khi tổng chữ số bằng 0 thì chỉ xảy ra với số 0.
8. Bài luyện tập có đáp án
Bài 1. Tìm chữ số a để số 6a54 chia hết cho 9. Với a nào thì số đó chia hết cho 3?
Đáp án. Tổng chữ số: 6 + a + 5 + 4 = 15 + a, nằm trong khoảng từ 15 đến 24. Chỉ có 18 chia hết cho 9 nên a = 3 (số 6 354). Để chia hết cho 3 thì 15 + a ∈ {15, 18, 21, 24}, tức a ∈ {0, 3, 6, 9}.
Bài 2. Tìm số nhỏ nhất có bốn chữ số chia hết cho 9.
Đáp án. Số nhỏ nhất có bốn chữ số là 1 000, tổng chữ số 1. Ta cần tổng chữ số bằng 9 mà số nhỏ nhất, nên chữ số hàng nghìn là 1 và dồn phần còn lại về hàng đơn vị: 1 008. Kiểm tra: 1 008 : 9 = 112.
Bài 3. Chứng tỏ tổng của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3.
Đáp án. Gọi ba số là n, n + 1, n + 2. Tổng bằng n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3 · (n + 1), chia hết cho 3.
Bài 4. Tìm số lớn nhất có bốn chữ số khác nhau và chia hết cho 9.
Đáp án. Bốn chữ số khác nhau có tổng lớn nhất là 9 + 8 + 7 + 6 = 30, nên tổng chia hết cho 9 chỉ có thể là 27. Để số lớn nhất, ưu tiên chữ số 9 rồi 8 ở hai hàng đầu, hai chữ số còn lại có tổng 10 và phải nhỏ hơn 8: lớn nhất là 7 và 3. Số cần tìm là 9 873. Kiểm tra: 9 873 : 9 = 1 097.
9. Học tiếp và luyện thêm
- Giải SGK Toán 6 Bài 8: Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9
- Sách bài tập Toán 6 Bài 8
- 19 câu trắc nghiệm Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9
- Lý thuyết Bài 9: Ước và bội
- Tổng hợp lý thuyết Toán 6 Chân trời sáng tạo
Câu hỏi thường gặp
Số chia hết cho 9 có chia hết cho 3 không?
Có. Vì 9 chia hết cho 3 nên mọi số chia hết cho 9 đều chia hết cho 3. Ngược lại không đúng: 15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
Dấu hiệu chia hết cho 3 là gì?
Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Ví dụ 2 058 có tổng chữ số 15 nên chia hết cho 3.
Vì sao chỉ cần cộng các chữ số mà biết được số có chia hết cho 9?
Vì các số 9, 99, 999,… đều chia hết cho 9. Khi tách số theo hàng, phần còn lại sau khi bỏ các bội của 9 chính là tổng các chữ số, nên tổng này quyết định phép chia hết.
Số dư khi chia cho 9 tính nhanh như thế nào?
Lấy tổng các chữ số rồi chia cho 9, số dư nhận được chính là số dư của số ban đầu. Ví dụ 7 325 có tổng chữ số 17, chia 9 dư 8 nên 7 325 chia 9 dư 8.