Lý thuyết Toán 10 Cánh diều: tóm tắt kiến thức trọng tâm 7 chương

Cách dùng bài tổng hợp này để ôn cho hiệu quả

Đừng đọc một lèo từ chương 1 đến chương 7. Em nên đọc phần tóm tắt của chương, tự thử trả lời “công thức này dùng khi nào?”, rồi mới bấm sang bài chi tiết để xem đầy đủ định nghĩa, ví dụ.

• Trước kiểm tra 15 phút, 1 tiết: đọc phần “Kiến thức cốt lõi” của chương liên quan.
• Trước thi học kì: làm lại các bài luyện tập cuối trang rồi ôn lý thuyết chương còn yếu.
• Khi làm bài tập SGK, SBT: tra nhanh công thức, sau đó đối chiếu với lời giải ở các trang giải bài tập.

Tập 1

Chương 1: Mệnh đề toán học. Tập hợp

• Lý thuyết Bài 1: Mệnh đề toán học
• Lý thuyết Bài 2: Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp
• Lý thuyết Chương 1: Mệnh đề toán học. Tập hợp

Kiến thức cốt lõi

• Mệnh đề là câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai. Câu hỏi, câu cảm thán, hoặc câu chứa biến chưa gán giá trị thì chưa phải mệnh đề.
• Mệnh đề kéo theo “P ⇒ Q” chỉ sai trong đúng một trường hợp: P đúng mà Q sai.
• Phủ định của “với mọi x, P(x)” là “tồn tại x sao cho không P(x)” và ngược lại.
• Công thức đếm: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).

Lỗi hay gặp: phủ định “x² = 2” bằng “x² > 2” là sai; phủ định đúng là “x² ≠ 2”. Ví dụ: phủ định của “tồn tại số thực x để x² = 2” là “với mọi số thực x, x² ≠ 2”.

Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

• Lý thuyết Bài 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
• Lý thuyết Bài 2: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
• Lý thuyết Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Kiến thức cốt lõi

• Biểu diễn miền nghiệm của ax + by ≤ c: vẽ đường thẳng ax + by = c, lấy một điểm không nằm trên đường (thường là O(0; 0)) thay vào để chọn nửa mặt phẳng.
• Miền nghiệm của hệ là phần giao của các miền nghiệm từng bất phương trình.
• Bài toán tối ưu F = ax + by trên miền đa giác: giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đạt tại một đỉnh của miền, nên chỉ cần tính F tại các đỉnh rồi so sánh.

Mẹo: bất phương trình có dấu “≤, ≥” thì vẽ đường thẳng nét liền (lấy cả biên); dấu “<, >” thì vẽ nét đứt.

Chương 3: Hàm số và đồ thị

• Lý thuyết Bài 1: Hàm số và đồ thị
• Lý thuyết Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng
• Lý thuyết Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai
• Lý thuyết Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn
• Lý thuyết Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai
• Lý thuyết Chương 3: Hàm số và đồ thị

Kiến thức cốt lõi

• Hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (a ≠ 0) có đồ thị là parabol, trục đối xứng x = −b/(2a), đỉnh có hoành độ −b/(2a). Parabol quay lên khi a > 0, quay xuống khi a < 0.
• Dấu của f(x) = ax² + bx + c với Δ = b² − 4ac:
  • Δ < 0: f(x) cùng dấu với a với mọi x.
  • Δ = 0: f(x) cùng dấu với a, trừ tại x = −b/(2a) thì bằng 0.
  • Δ > 0: f(x) trái dấu với a khi x nằm giữa hai nghiệm, cùng dấu với a khi x nằm ngoài hai nghiệm.
• Phương trình chứa căn: √f(x) = g(x) ⇔ g(x) ≥ 0 và f(x) = g(x)²; với √f(x) = √g(x) thì bình phương hai vế rồi thử lại điều kiện.

Ví dụ: giải x² − 4x + 3 > 0. Tam thức có hai nghiệm 1 và 3, hệ số a = 1 > 0, nên dương ở ngoài hai nghiệm: x < 1 hoặc x > 3.

Lỗi hay gặp: quên thử lại nghiệm sau khi bình phương hai vế, hoặc quên điều kiện g(x) ≥ 0 nên nhận nghiệm ngoại lai.

Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

• Lý thuyết Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác
• Lý thuyết Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác
• Lý thuyết Bài 3: Khái niệm vectơ
• Lý thuyết Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ
• Lý thuyết Bài 5: Tích của một số với một vectơ
• Lý thuyết Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ
• Lý thuyết Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác. Vectơ

Kiến thức cốt lõi

• Góc bù nhau: sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α, tan(180° − α) = −tan α. Góc phụ nhau: sin(90° − α) = cos α.
• Với tam giác ABC có a = BC, b = CA, c = AB, bán kính đường tròn ngoại tiếp R (xem hình bên dưới):
  • Định lí côsin: a² = b² + c² − 2bc·cos A.
  • Định lí sin: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R.
  • Diện tích: S = ½·bc·sin A = abc/(4R) = pr (p là nửa chu vi, r là bán kính đường tròn nội tiếp).
• Vectơ: quy tắc ba điểm AB + BC = AC; quy tắc hình bình hành; hiệu OA − OB = BA. Nếu I là trung điểm AB thì IA + IB = 0; nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA + GB + GC = 0 (đều là vectơ).
• Tích vô hướng: a·b = |a|·|b|·cos(a, b). Hai vectơ khác 0 vuông góc khi và chỉ khi a·b = 0.

Ví dụ: tam giác ABC có b = 3, c = 5, góc A = 60°. Khi đó a² = 9 + 25 − 2·3·5·½ = 19, suy ra a = √19.

Mẹo nhớ: đề cho hai cạnh và góc xen giữa, hoặc ba cạnh, thì dùng định lí côsin; đề cho cặp góc – cạnh đối diện thì dùng định lí sin.

Tập 2

Chương 5: Đại số tổ hợp

• Lý thuyết Bài 1: Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây
• Lý thuyết Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp
• Lý thuyết Bài 3: Tổ hợp
• Lý thuyết Bài 4: Nhị thức Newton
• Lý thuyết Bài tập cuối chương 5

Kiến thức cốt lõi

• Quy tắc cộng: công việc làm theo phương án 1 hoặc phương án 2 (không trùng nhau) thì cộng số cách. Quy tắc nhân: công việc gồm các bước liên tiếp thì nhân số cách.
• Hoán vị: P_n = n!. Chỉnh hợp chập k của n: A_n^k = n!/(n − k)!. Tổ hợp chập k của n: C_n^k = n!/[k!(n − k)!].
• Tính chất: C_n^k = C_n^n−k; C_n^k + C_n^k+1 = C_n+1^k+1.
• Nhị thức Newton: (a + b)ⁿ = tổng của C_n^k·a^n−k·b^k, k chạy từ 0 đến n.

Mẹo phân biệt: hỏi “chọn ra” mà không quan tâm thứ tự thì dùng tổ hợp; có xếp thứ tự, phân công chức vụ thì dùng chỉnh hợp hoặc hoán vị.

Chương 6: Một số yếu tố thống kê và xác suất

• Lý thuyết Bài 1: Số gần đúng. Sai số
• Lý thuyết Bài 2: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm
• Lý thuyết Bài 3: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm
• Lý thuyết Bài 4: Xác suất của biến cố trong một số trò chơi đơn giản
• Lý thuyết Bài 5: Xác suất của biến cố
• Lý thuyết Bài tập cuối chương 6

Kiến thức cốt lõi

• Sai số tuyệt đối của số gần đúng a so với giá trị đúng: Δ = |a − giá trị đúng|; sai số tương đối: δ = Δ/|a|.
• Xu thế trung tâm: số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt.
• Độ phân tán: khoảng biến thiên R = max − min; khoảng tứ phân vị Δ_Q = Q₃ − Q₁; phương sai s² = trung bình của (x_i − x̄)²; độ lệch chuẩn s = √(s²).
• Giá trị ngoại lệ: nhỏ hơn Q₁ − 1,5·Δ_Q hoặc lớn hơn Q₃ + 1,5·Δ_Q.
• Xác suất cổ điển: P(A) = n(A)/n(Ω) khi các kết quả đồng khả năng; P(Ā) = 1 − P(A). Hai biến cố xung khắc thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B); hai biến cố độc lập thì P(AB) = P(A)·P(B).

Lỗi hay gặp: tính trung vị mà chưa sắp xếp dãy số theo thứ tự tăng dần; nhầm “xung khắc” (không cùng xảy ra) với “độc lập” (xảy ra hay không của biến cố này không ảnh hưởng biến cố kia).

Chương 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

• Lý thuyết Bài 1: Tọa độ của vectơ
• Lý thuyết Bài 2: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
• Lý thuyết Bài 3: Phương trình đường thẳng
• Các bài còn lại của chương 7 và phần tổng kết chương: đang cập nhật.

Kiến thức cốt lõi

• Với A(x_A; y_A), B(x_B; y_B): vectơ AB = (x_B − x_A; y_B − y_A), độ dài AB = √[(x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²].
• Trung điểm M của AB: M((x_A + x_B)/2; (y_A + y_B)/2). Trọng tâm G của tam giác ABC: tọa độ bằng trung bình cộng tọa độ ba đỉnh.
• Với a = (x; y), b = (x’; y’): a + b = (x + x’; y + y’); ka = (kx; ky); a·b = xx’ + yy’; a ⊥ b khi và chỉ khi xx’ + yy’ = 0.
• Đường thẳng đi qua M(x₀; y₀) có vectơ chỉ phương (a; b): phương trình tham số x = x₀ + at, y = y₀ + bt. Có vectơ pháp tuyến (A; B): A(x − x₀) + B(y − y₀) = 0.

Mẹo: vectơ chỉ phương (a; b) và vectơ pháp tuyến (−b; a) luôn vuông góc nhau; đổi qua lại bằng cách hoán vị hai tọa độ rồi đổi dấu một tọa độ.

Bài luyện tập tự kiểm tra

1. Giải bất phương trình x² − 5x + 6 ≤ 0.
2. Lớp có 6 bạn đăng ký tham gia câu lạc bộ, cần chọn 3 bạn đi thi. Có bao nhiêu cách chọn?
3. Mẫu số liệu: 2; 4; 4; 6; 9. Tìm số trung bình, trung vị, mốt và phương sai.
4. Cho a = (1; 2), b = (3; −1). Tính a·b và cho biết hai vectơ có vuông góc không.

Đáp án

1. Tam thức có hai nghiệm 2 và 3, a = 1 > 0 nên không dương trong đoạn giữa hai nghiệm: tập nghiệm [2; 3].
2. Không phân biệt thứ tự nên dùng tổ hợp: C₆³ = 20 cách.
3. Trung bình = 25/5 = 5; trung vị = 4; mốt = 4; phương sai = (9 + 1 + 1 + 1 + 16)/5 = 5,6.
4. a·b = 1·3 + 2·(−1) = 1 ≠ 0 nên hai vectơ không vuông góc.

Tài liệu học cùng lý thuyết

• Giải SGK Toán 10 – Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 – Cánh diều
• Trắc nghiệm Toán 10 – Cánh diều
• Đề thi Toán 10 – Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
• Chuyên đề dạy thêm Toán 10 – Cánh diều

Câu hỏi thường gặp

Toán 10 Cánh diều có bao nhiêu chương?

Có 7 chương: Tập 1 gồm chương 1 đến 4 (Mệnh đề – Tập hợp; Bất phương trình bậc nhất hai ẩn; Hàm số và đồ thị; Hệ thức lượng – Vectơ), Tập 2 gồm chương 5 đến 7 (Đại số tổ hợp; Thống kê và xác suất; Phương pháp tọa độ).

Chương nào trong Toán 10 Cánh diều cần học kĩ nhất?

Chương 3 (hàm số bậc hai, dấu tam thức) và chương 4 (hệ thức lượng, vectơ) thường chiếm nhiều điểm trong kiểm tra học kì 1; chương 5, 7 là trọng tâm của học kì 2. Em nên ưu tiên chương nào còn yếu nhất.

Nên học lý thuyết Toán 10 thế nào để nhớ công thức lâu?

Sau mỗi chương hãy tự viết ra công thức, điều kiện áp dụng và một ví dụ nhỏ, rồi làm vài bài trắc nghiệm. Hiểu khi nào dùng công thức quan trọng hơn học thuộc.

Lý thuyết này có dùng được cho sách Kết nối tri thức hay Chân trời sáng tạo không?

Kiến thức toán học cơ bản giống nhau, nhưng thứ tự bài và cách trình bày khác. Trang này bám mục lục sách Cánh diều nên em đối chiếu theo đúng sách mình học.

Bài học liên quan

• Lý thuyết Toán 10 Chân trời sáng tạo: tóm tắt đủ 10 chương
• Giải Toán 10 Bài 8 Kết nối tri thức: Tổng và hiệu của hai vectơ
• Tọa độ của vectơ lớp 10 (Chân trời sáng tạo): lý thuyết, cách tìm, bài tập
• Cách tính tọa độ vectơ tổng, hiệu, tích với một số – Toán 10
• Lý thuyết giải tam giác, tính diện tích tam giác Toán 10 Cánh Diều
• Lý thuyết Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm: tứ phân vị Toán 10 CTST