Diện tích tam giác lớp 10: S = (1/2)·a·b·sin C, mẫu 30° ra 12
Lớp 10ToánCánh Diều

Lý thuyết giải tam giác, tính diện tích tam giác Toán 10 Cánh Diều

Trả lời nhanh

Giải tam giác là tìm tất cả cạnh và góc còn lại khi biết ba yếu tố (hai cạnh và góc xen giữa, ba cạnh, hoặc một cạnh và hai góc kề) bằng định lí côsin, định lí sin và tổng ba góc bằng 180°. Diện tích tam giác: S = 1/2·ab·sinC (tương tự với hai công thức còn lại) hoặc công thức Heron S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)], với p là nửa chu vi.

1. Giải tam giác là gì?

Một tam giác được xác định hoàn toàn khi ta biết một trong ba bộ dữ kiện: hai cạnh và góc xen giữa, ba cạnh, hoặc một cạnh cùng hai góc kề cạnh đó. Giải tam giác là dùng các dữ kiện ấy để tính nốt ba yếu tố còn lại (cạnh và góc) của tam giác.

Quy ước kí hiệu: tam giác ABC có a = BC, b = CA, c = AB; góc A đối diện cạnh a, góc B đối diện cạnh b, góc C đối diện cạnh c. Nếu cần ôn kĩ hai định lí nền tảng, em xem lại bài trước tại Lý thuyết Bài 1: Định lí côsin và định lí sin.

2. Các công cụ cần nhớ

  • Định lí côsin: a2 = b2 + c2 − 2bc·cosA (và hai biểu thức tương tự).
  • Hệ quả: cosA = (b2 + c2 − a2)/(2bc).
  • Định lí sin: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.
  • Tổng ba góc: A + B + C = 180°.

3. Ba trường hợp giải tam giác

Dữ kiện Bước 1 Bước 2 Bước 3
Hai cạnh b, c và góc xen giữa A Định lí côsin tính a Hệ quả côsin tính cosB C = 180° − A − B
Ba cạnh a, b, c Hệ quả côsin tính cosA Hệ quả côsin tính cosB C = 180° − A − B
Cạnh a và hai góc kề B, C A = 180° − B − C Định lí sin tính b Định lí sin tính c

Mẹo chọn công cụ: khi dữ kiện có “góc xen giữa” hoặc “ba cạnh” thì nghĩ đến côsin; khi có “một cạnh và hai góc” thì nghĩ đến sin. Lý do: côsin của góc từ 0° đến 180° cho ta biết ngay góc nhọn hay tù (cos dương là góc nhọn, cos âm là góc tù), còn sin thì không phân biệt được, vì sin α = sin(180° − α).

Ví dụ 1 (hai cạnh và góc xen giữa)

Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8, góc A = 60°. Giải tam giác và tính diện tích.

  • BC2 = 52 + 82 − 2·5·8·cos60° = 25 + 64 − 40 = 49, nên BC = 7.
  • cosB = (AB2 + BC2 − AC2)/(2·AB·BC) = (25 + 49 − 64)/70 = 1/7, suy ra B ≈ 81,79°.
  • C = 180° − 60° − 81,79° ≈ 38,21°. (Kiểm tra: cosC = (64 + 49 − 25)/(2·8·7) = 11/14 ≈ 0,7857, ứng với khoảng 38,21°.)
  • Diện tích: S = 1/2·5·8·sin60° = 20·(√3/2) = 10√3 ≈ 17,32 (đơn vị diện tích).

Ví dụ 2 (ba cạnh)

Cho tam giác ABC có a = 7, b = 8, c = 9. Tính các góc.

  • cosA = (b2 + c2 − a2)/(2bc) = (64 + 81 − 49)/144 = 96/144 = 2/3, nên A ≈ 48,19°.
  • cosB = (a2 + c2 − b2)/(2ac) = (49 + 81 − 64)/126 = 66/126 = 11/21, nên B ≈ 58,41°.
  • C = 180° − 48,19° − 58,41° ≈ 73,40°. (Kiểm tra: cosC = (49 + 64 − 81)/112 = 2/7 ≈ 0,2857.)

Cả ba côsin đều dương nên đây là tam giác nhọn.

Ví dụ 3 (một cạnh và hai góc kề)

Cho tam giác ABC có BC = 12, góc B = 40°, góc C = 65°. Tính hai cạnh còn lại.

  • A = 180° − 40° − 65° = 75°.
  • Theo định lí sin: AC = BC·sinB/sinA = 12·sin40°/sin75° ≈ 12·0,6428/0,9659 ≈ 7,99.
  • AB = BC·sinC/sinA = 12·sin65°/sin75° ≈ 12·0,9063/0,9659 ≈ 11,26.

4. Các công thức tính diện tích tam giác

Dưới đây là hình minh hoạ kí hiệu cạnh, góc và đường cao dùng cho các công thức.

Tam giác ABC với các cạnh a, b, c, các góc A, B, C và đường cao AH
Tam giác ABC: a = BC, b = CA, c = AB và đường cao AH ứng với cạnh BC.

4.1. Công thức dùng sin của một góc

S = 1/2·bc·sinA = 1/2·ca·sinB = 1/2·ab·sinC.

Vì sao đúng? Kẻ đường cao AH ứng với cạnh BC thì ha = c·sinB, nên S = 1/2·a·ha = 1/2·ac·sinB. Hai công thức còn lại suy ra tương tự. Chú ý: góc phải là góc xen giữa hai cạnh được nhân.

4.2. Công thức Heron

Gọi p = (a + b + c)/2 là nửa chu vi. Khi đó:

S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)].

Ý tưởng chứng minh: từ S = 1/2·ab·sinC và sinC = √(1 − cos2C) với cosC = (a2 + b2 − c2)/(2ab), ta được 16S2 = 4a2b2 − (a2 + b2 − c2)2. Phân tích hiệu hai bình phương hai lần, ta có 16S2 = (a + b + c)(a + b − c)(a − b + c)(−a + b + c), mà vế phải chính bằng 16·p(p − a)(p − b)(p − c).

Công thức Heron rất tiện khi đề cho ba cạnh, không cần tính góc.

4.3. Các công thức liên quan đến R và r

  • S = abc/(4R), với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.
  • S = p·r, với r là bán kính đường tròn nội tiếp.

Ví dụ tiếp tục với tam giác 7, 8, 9 ở trên: p = 12, S = √(12·5·4·3) = √720 = 12√5 ≈ 26,83. Từ đó r = S/p = √5 ≈ 2,24 và R = abc/(4S) = 504/(48√5) ≈ 4,70.

Ví dụ 4 (so sánh hai cách tính)

Với tam giác 7, 8, 9: dùng sin, S = 1/2·8·9·sinA = 36·sinA. Vì cosA = 2/3 nên sinA = √(1 − 4/9) = √5/3, suy ra S = 36·√5/3 = 12√5. Kết quả trùng với công thức Heron, một cách kiểm tra rất hữu ích khi làm bài.

5. Áp dụng vào bài toán thực tiễn

Hệ thức lượng trong tam giác giúp ta tính khoảng cách mà không đo trực tiếp được (qua ao, hồ, sông) hoặc diện tích mảnh đất có hình tam giác.

Ví dụ 5. Hai điểm A và B nằm hai bên một cái hồ. Từ điểm C, người ta đo được CA = 120 m, CB = 150 m, góc ACB = 50°. Tính khoảng cách AB và diện tích mảnh đất tam giác ABC.

  • AB2 = 1202 + 1502 − 2·120·150·cos50° = 36 900 − 36 000·0,6428 ≈ 13 760, nên AB ≈ 117,3 m.
  • S = 1/2·120·150·sin50° = 9 000·0,7660 ≈ 6 894 m2.

Các bước làm: (1) vẽ hình, đặt kí hiệu; (2) xác định dữ kiện thuộc trường hợp nào; (3) chọn định lí; (4) tính và ghi đơn vị.

6. Lỗi sai thường gặp

  • Quên chuyển máy tính sang chế độ độ (DEG) nên sin, cos ra số lạ.
  • Nhầm p với chu vi: p là nửa chu vi, phải chia 2.
  • Dùng sai góc trong S = 1/2·ab·sinC: C phải là góc nằm giữa hai cạnh a và b.
  • Dùng định lí sin để tìm góc mà không kiểm tra góc tù: sinα cho hai giá trị α và 180° − α. Nếu cạnh đối diện là cạnh lớn nhất, hãy dùng côsin.
  • Làm tròn quá sớm: giữ ít nhất 4 chữ số thập phân trong bước trung gian, chỉ làm tròn ở kết quả cuối.
  • Quên điều kiện tam giác: ba cạnh a, b, c chỉ lập thành tam giác khi tổng hai cạnh bất kì lớn hơn cạnh còn lại (khi đó biểu thức dưới căn của Heron mới dương).

7. Bài luyện tập có đáp án

  1. Tam giác ABC có a = 6, b = 8, c = 10. Tính diện tích.
    Đáp án: p = 12, S = √(12·6·4·2) = √576 = 24. (Đây là tam giác vuông tại C vì 62 + 82 = 102, và 1/2·6·8 = 24, kết quả trùng khớp.)
  2. Tam giác ABC có AB = 6, AC = 9, góc A = 120°. Tính BC và diện tích.
    Đáp án: BC2 = 36 + 81 − 2·6·9·(−1/2) = 171, nên BC = 3√19 ≈ 13,08. S = 1/2·6·9·sin120° = 27·(√3/2) = 27√3/2 ≈ 23,38.
  3. Tam giác ABC có BC = 10, góc A = 30°, góc B = 45°. Tính AC.
    Đáp án: AC = BC·sinB/sinA = 10·(√2/2)/(1/2) = 10√2 ≈ 14,14.

8. Tài liệu học tiếp

  • Giải SGK Toán 10 Bài 2 (Cánh Diều)
  • Sách bài tập Toán 10 Bài 2 (Cánh Diều)
  • 20 câu trắc nghiệm Giải tam giác có đáp án
  • Lý thuyết Bài 3: Khái niệm vectơ
  • Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Cánh Diều

Câu hỏi thường gặp

Khi nào dùng công thức Heron để tính diện tích tam giác?

Khi đề cho biết độ dài ba cạnh mà không cho góc nào. Tính nửa chu vi p rồi thay vào S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)], không cần tính góc.

Có mấy trường hợp giải tam giác trong chương trình Toán 10 Cánh Diều?

Có ba trường hợp: biết hai cạnh và góc xen giữa, biết ba cạnh, biết một cạnh và hai góc kề. Mỗi trường hợp dùng định lí côsin hoặc định lí sin kết hợp tổng ba góc bằng 180°.

Vì sao nên dùng định lí côsin để tìm góc thay vì định lí sin?

Vì côsin phân biệt được góc nhọn (cos dương) và góc tù (cos âm), còn sin của hai góc bù nhau bằng nhau nên dễ chọn nhầm góc.

Công thức S = pr và S = abc/(4R) có bắt buộc phải học không?

Đây là các công thức mở rộng rất hay gặp trong bài tập. Nên nhớ vì chúng giúp tính nhanh bán kính đường tròn nội tiếp r và ngoại tiếp R khi đã biết diện tích.

Bài học liên quan